江西省南昌市青山湖区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

江西省南昌市青山湖区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四五六总分评分一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x3+2x=0 B．x(x−3)=0 C．1x2．抛物线y=(x−1)A．(1，−3) B．(−1，3) C．3．下列事件中，是随机事件的是（）A．投一次骰子，朝上面的点数是7B．任意画一个三角形，其内角和是180°C．从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数4．数学家是对世界数学的发展作出创造性工作的人士，他们运用他们的特殊知识与专业方法解决许多在科学领域的显著问题．下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称形的是（）A．斐波那契螺旋线 B．阿基米德三角形C．赵爽弦图 D．笛卡尔心形线5．已知正比例函数y=mx(m≠0)的图象与反比例函数y=kx(k≠0)A．(−2，4) B．(4，2) C．(2，−4) D．(−2，−4)6．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E.若AC=42，DE=4，则A．1 B．2 C．2 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．一元二次方程5x2+x−3=08．圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0－9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是3的概率为9．若一元二次方程x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，则10．如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则正六边形的面积为．11．如图，为一幅三角板的两块，在△BAD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，在△ABC中，∠BCA=45°，将△BAD绕点A逆时针旋转90°得到△CAE，连接CE，则∠BCE的大小为．12．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，以AB为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点（不与A，D重合），连接AP、DP，当△ADP为锐角等腰三角形时，AP的长为．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．用适当方法解下列方程：（1）x(x−4)=0； （2）x214．临近毕业，甲、乙、丙三人相约去餐馆聚餐，丙先到达餐馆，选了一张方桌坐在如图所示的座位上，甲到达餐馆后，从座位①、②、③中随机选择一个坐下，乙到达餐馆后，从剩下的座位中再随机选择一个坐下．（1）甲坐在①号座位上的概率是；（2）用列表法或画树状图的方法，求甲、乙两人恰好相邻而坐的概率．15．如图，在方格网中已知格点△ABC和点P，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（1）画出△A'B'C'，使得（2）请在方格网中标出所有使以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形的D点．16．如图，线段AC过圆心O，交⊙O于B，C两点，线段AE交⊙O于D，E两点，且AD=OB，∠A=30°，求∠EOC的度数．17．南昌市秋水广场喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A(0，4)在y轴上，x轴上的点C(－4，0)和点D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为y=−x（1）求水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式；（2）求两个水柱的最高点M，N之间的距离．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，据有关部门统计，2022年全年全国电信诈骗共计达到2万亿元．为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：0≤x<85，B：85≤x<90，C：90≤x<95，D：95≤x≤100，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：七年级C组同学的分数分别为：94，92，93，91；八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94．七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数优秀率七91a95m八9193b65（1）填空：a=，b=，m=；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）（3）该校现有学生七年级780名，八年级800名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．19．如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且点E是DF的中点．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD=3，AE=32，求⊙O20．如图，一次函数y=x+3的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B，与（1）求反比例函数的表达式；（2）已知点P为反比例函数y=kx图象上一点，S△OBP五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．已知关于x的方程k2x2−2(k−1)x+1=0有两个实数根（1）求k的取值范围.（2）若x1、x2满足等式|x22．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连接DE，作EF⊥DE交BC于点F，以ED和EF为邻边作矩形EFGD．（1）猜想：AE，CG的位置关系是；（2）求证：△DAE≌△DCG．六、（本大题1小题，12分）23．如图，已知抛物线C：y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1（1）点N（，）；（2）若抛物线C1与抛物线C关于y轴对称，求抛物线C（3）若抛物线Cn的解析式为y=−(x+1)(x−2−n)(n=1，2，3，⋯)，抛物线①求：AB②判断抛物线的顶点P1，P

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：

A：x3+2x=0，是一元三次方程，不符合题意

B：x(x−3)=0，是一元二次方程，符合题意

C：1x−x故答案为：B

【分析】根据一元二次方程的定义逐一进行判定即可，一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0(a≠0)。2．【答案】D【解析】【解答】解：y=(x−1)2+3，二次函数解析式是顶点式故答案为：D

【分析】二次函数解析式一般有三种形式，顶点式为y=a(x−h)3．【答案】D【解析】【解答】解：

A：投一次骰子，朝上面的点数是7，正常的骰子点数是1-6，故为不可能事件，不符合题意

B：任意画一个三角形，其内角和是180°，描述符合三角形内角和定理，是必然事件，不符合题意

C：从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件，不符合题意

D：随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，页码可能是奇数也可能是偶数，是随机事件，符合题意。故答案为：D

【分析】了解事件的可能性分类，并了解随机事件的含义，结合生活经验和所学的数学知识判定事件发生的可能性大小。4．【答案】C【解析】【解答】解：

A：斐波那契螺旋线，不是中心对称图形，不符合题意

B：阿基米德三角形，不是中心对称图形，不符合题意

C：赵爽弦图，是中心对称图形，符合题意

D：笛卡尔心形线，不是中心对称图形，不符合题意故答案为：C

【分析】掌握中心对称图形的定义，C的图形绕正方形中心点旋转180°，旋转后的图形与原图形重合，因此C的图形是中心对称图形。5．【答案】D【解析】【解答】解：根据正、反比例函数的性质，可直接判定两交点坐标关于原点对称

∵一个交点坐标为(2，4)

∴它们的另一个交点坐标是（-2，-4）

故答案为：D

解法二：根据题意，

代入（2，4）到正比例函数

2m=4

∴m=2

∴y=2x

代入（2，4）到反比例函数k2=4

∴k=8

∴y=8x

∴y=2xy=【分析】常规思路是代入点坐标，由待定系数法求函数解析式再联立得方程组，解方程组得到交点坐标，本题两函数图象都是关于原点对称的，如果有交点，交点一定也是关于原点对称，掌握关于原点对称的点坐标特征，可直接选出D。6．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可得：

D为AC中点，O为AB中点

∴OD为△ABC的中位线

∴OD∥BC，OD=12BC

设OD=x，则BC=2x

∴OE=4-x

∴AB=2OE=8-2x

在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC27．【答案】-3【解析】【解答】解：根据题意

一元二次方程5x故答案为：-3

【分析】掌握一元二次方程的定义及各项系数，一元二次方程一般式ax2+bx+c=0(a≠0)，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。8．【答案】1【解析】【解答】解：根据题意

总可能结果是10种

出现3的结果是1种

∴出现3的概率是1÷10=故答案为：1

【分析】掌握简单事件的概率计算，先找到总可能结果的数值和定义事件的结果的数值，后者与前者的比值就是该定义事件的概率。9．【答案】4【解析】【解答】解：根据题意

一元二次方程x2−3x−1=0

∴x1故答案为：4

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），x1+x10．【答案】27【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB，过O作OH⊥AB于H

∵正六边形ABCDEF内接于⊙O

∴OA=OB,∠AOB=360°6=60°

∴△AOB是等边三角形，AB=OA=3

∴∠AOH=30°

∴OH=OA·cos30°=3×故答案为：27

【分析】根据圆内接图形性质得知圆心到正六边形各顶点连线都是半径，且正六边形被这六条半径分成六个完全相同的等边三角形，已知等边三角形的边长求三角形面积，可用传统的方法先作高，用公式S=12ah11．【答案】15°【解析】【解答】解：根据题意

△BAD绕点A逆时针旋转90°得到△CAE

∴∠ABD=∠ACE=30°

∴∠BCE=∠BCA-∠ACE=45°-30°=15°故答案为：15°

【分析】从问题入手思考和从已知条件入手都可以，根据旋转的性质可知旋转后的∠ACE=30°，所求角是45°角与它的差。12．【答案】6或310或【解析】【解答】解：根据题意，△ADP为锐角等腰三角形时，两腰相等的情况有三种：

(1)当AD=AP=6时，△ADP为锐角等腰三角形

即AP的长可为6

(2)当AD=DP=6时

过D作DP⊥OP，连接OP，OD，如图所示∵ABCD是矩形

∴∠DAB=90°

∴AD=DP,∠ADO=∠PDO(切线长定理)

∴DE⊥AP,AE=12AP（三线合一定理）

在直角三角形DAO中

DO=AD2+AO2=62+1022=61

∴AE=AD×AODO=6×561=306161

∴AP=2AE=2×306161=606161

(3)当AP=DP时

作AD的垂直平分线交AD于H，交圆于P和P'，

作OE⊥PP'于E，连接OP，如图所示

【分析】根据等腰三角形的定义可知两腰相等的情况有三种，分别计算；当AD=AP=6时，△ADP为锐角等腰三角形；当AD=DP=6时，根据切线长定理和三线合一定理可知E为AP中点，求出AE即可求出AP，观图可知AE是直角三角形底边上的高，直角三角形三边可知，AE和AP可求；当AP=DP时，根据中垂线的性质作辅助线找AP，发现P有两种位置情况，排除钝角等腰三角形的情况，在直角三角形中用勾股定理求斜边AP，一条直角边AH易求，另一直角边借助矩形性质和勾股定理可求得，进而可求AP。综合三种情况，可求AP的三个可能值。13．【答案】（1）解：x(x−4)=0，x=0或x−4=0，x1（2）解：x2(x−3)(x+1)=0，x−3=0或x+1=0，x1【解析】【分析】（1）掌握一元二次方程的解法，观察本题特点，直接使用因式分解法求解非常简便；

（2）观察一元二次方程的系数特点，采用十字相乘的方法进行因式分解，再求解。14．【答案】（1）1（2）解：画树状图如下：由图可得共有6种等可能的结果，甲、乙两人恰好相邻而坐的有4种，所以甲、乙两人恰好相邻而坐的概率为P=4【解析】【解答】解：因为甲座在①、②、③的概率相同，故甲坐在①号座位上的概率是：13

故答案为：【分析】（1）根据等可能事件的概率公式即可得解；（2）按照座位画出树状图，可得共有6种等可能的结果，甲、乙两人恰好相邻而坐的有4种，即可求解．15．【答案】（1）解：如图所示：即△A（2）解：如图所示：即点D为所求；【解析】【分析】（1）了解中心对称图形的定义，会作某图形关于某中心的对称图形；

（2）已知A、B、P三点，以其为顶点作平行四边形，理论上分别以AB、AP、BP为对角线可以找到3个D点，受图中网格所限，可根据平移作图找到其中2个D点。16．【答案】解：连接OD，∵AD=OB，OD=OB，∴AD=OD，∵∠A=30°，∴∠DOA=30°，∴∠EDO=60°，∵OD=OE，∴∠DEO=60°，∴∠EOC=∠A+∠DEO=90°．【解析】【分析】从已知条件入手，AD=OB，AD与半径相等，认识到这一点容易想到圆上的半径都相等，图中AD与OB的位置关系非常别扭，即不相连也不相交，故连接OD，AD=OD，两次应用等边对等角和外角定理，则未知角可求。17．【答案】（1）解：将点A(0，4)，D(4，0)代入函数解析式为y=−x则4=c0=−16+4b+4解得b=3c=4∴函数解析式为y=−x（2）解：∵抛物线第一象限部分的函数解析式为y=−x∴当x=32时，∴N点坐标为(3从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴M点坐标为(−3∴两个水柱的最高点M，N之间的距离为MN=|−3【解析】【分析】（1）函数解析式中含有2个未知系数，图示C点和D点对称，故可代入A点和C点坐标，用待定系数法可求出函数解析式，抛物线在第一象限故自变量大于0；

（2）根据题意M、N两点是关于y轴对称的，求出N的横坐标即可求出M，N之间的距离；根据函数性质可直接求x=-b18．【答案】（1）92.5；94（2）解：由于八年级竞赛成绩的中位数为93为大于七年级竞赛成绩的中位数92.∴八年级对“防灾减灾”的了解情况更好（3）解：780×60%∴两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为988人【解析】【解答】解：根据题意

20个数据，中位数是第10和第11个数据的平均数

∴七年级中位数92+93÷2=92.5

故第一空填：92.5

观察八年级的扇形统计图，C组出现5次94，占比25%

∴八年级众数94

故第二空填：94

∵得分在90分及以上为优秀

∴优秀率=4+820×100%=60%

故第三空填：60%

【分析】（1）掌握中位数、众数的定义及找到的方法，会计算优秀率；n个数据，当n是偶数时，中位数是第19．【答案】（1）证明：如图，连接OE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠BEO，又点E是DF的中点，∴∠EBC=∠DBE=∠BEO，∵BD为直径，∴∠DBE+∠BDE=90°，又AE⊥BC，∴∠EBC+∠BEC=90°，∴∠BEO+∠BEC=90°，即∠OEC=90°；∴OE⊥AC，则AC为⊙O的切线．（2）解：设⊙O半径为r，则AO=AD+OD=3+r，∵AC为⊙O的切线，∴∠OEC=90°，即△AOE为直角三角形，∴AE∴18+r∴r=1.∴⊙O的半径为1.【解析】【分析】（1）根据切线的定义，连接OE，需要证明OE⊥AC即问题转化为证明∠OEC=90°；把由已知能推出的条件在图上标示出来，等弧所对圆周角相等、半径都相等，等边对等角等，再从问题入手发现可有多种办法证明，比如内错角相等两直线BC、OE平行、BC⊥AC可得OE⊥AC；或者由角的等量代换得到∠BEO+∠BEC=90°，从而证明AC是⊙O的切线。

（2）在（1）的结论下，AC为⊙O的切线且E为切点，故首先考虑用勾股定理求半径；在直角三角形AEO中，已知线段AE是一条直角边，另一条直角边是半径，可设为未知数，斜边的表达式是已知线段AD与半径的和，利用勾股定理列等式，求解即可。20．【答案】（1）解：由题意，将A(1，m)代入∴m=1+3．∴m=4．∴A(1，将A(1，4)代入反比例函数∴k=1×4=4，∴反比例函数的解析式为y=（2）解：对于y=x+3，当y=0时，x=−3，∴OB=3，∵C(0，∴OC=3，过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，∵S△OBP∴12即12解得PD=2，∴点P的纵坐标为2或−2，将y=2代入y=4x得：或y=−2代入y=4x得∴点P(2，2)或【解析】【分析】（1）由一次函数解析式可以求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式，待定系数法求得反比例函数；

（2）根据题意先求出C点坐标，可计算出三角形OAC的面积，观察图形：三角形OBP的面积已知、底是OB，高是P点的纵坐标，则纵坐标可求且为2个值，因为高的数值是正是负都不影响面积的数值，所以注意应有2个值符合要求；代入反比例函数可求出点的坐标。21．【答案】（1）解：∴k2≠0[−2(k−1)]2（2）解：由（1）可得k≤12，∴x|x1∴2(k−1)解得：k1=3∴k的值为-1.【解析】【分析】（1）利用已知方程有两个实数根，可建立关于k的不等式组，然后求出不等式组的解集.（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1x2，再整体代入，可建立关于k的方程，解方程求出符合题意的k的值.22．【答案】（1）AE⊥CG．（2）证明：如图，作EQ⊥BC于点Q，EP⊥CD于点P，∴∠EQF=∠EPD=90°，∵正方形ABCD中，∠BCD=∠ADC=90°，AD=CD，AC平分∠BCD，∴四边形EQCP为正方形，∴∠QEP=90°，QE=PE，∵矩形EFGD中，∠FED=90°，∴∠QEP=∠FED，则∠QEP−∠FEP=∠FED−∠FEP，即∠QEF=∠PED，∴△EQF和△EPD中，∠QEF=∠PED∴△EQF≌△EPD(ASA)，∴EF=ED，∴矩形EFGD是正方形，∴DE=DG，∠EDG=90°，∴∠ADC=∠EDG，则∠ADC−∠EDC=∠EDG−∠EDC，即∠ADE=∠CDG，∵△DAE和△DCG中，AD=CD∴△DAE≌△DCG(SAS)．【解析】【解答】解：（1）AE⊥CG，如图，作EQ⊥BC于点Q，EP⊥CD于点P，∴∠EQF=∠EPD=90°，∵正方形ABCD中，∠BCD=∠ADC=90°，AD=CD，AC平分∠BCD，∴四边形EQCP为正方形，∴∠QEP=90°，QE=PE，∵矩形EFGD中，∠FED=90°，∴∠QEP=∠FED，则∠QEP−∠FEP=∠FED−∠FEP，即∠QEF=∠PED，∴△EQF和△EPD中∠QEF=∠PED∴△EQF≌△EPD(ASA)，∴EF=ED，∴矩形EFGD是正方形，∴DE=DG，∠EDG=90°，∴∠ADC=∠EDG，则∠ADC−∠EDC=∠EDG−∠EDC，即∠ADE=∠CDG，∵△DAE和△DCG中，AD=CD∴△DAE≌△DCG(SAS)，∴∠DAE=∠DCG，∵等腰直角△ACD中有∠DAE+∠DCA=90°，∴∠DCG+∠DCA=90°，即∠ACG=90°，AE