湖南省衡阳市城区2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

湖南省衡阳市城区2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．要使二次根式3x-9有意义，则实数x的取值范围是（）A．x>3 B．x≥3 C．x<3 D．x≤32．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简|a-1|-(a-2A．2a-3 B．-1 C．1 D．3-2a3．关于x的一元二次方程(m-3)x2+A．0 B．±3 C．3 D．-34．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC沿y轴翻折，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（）A．(0，2) B．(3，1) C．5．已知x1，x2是方程x2A．5 B．10 C．11 D．136．如图，若l1A．BCAC=EFDF B．ABAC=7．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km8．小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（）A．小亮明天的进球率为10% B．小亮明天每射球10次必进球1次C．小亮明天有可能进球 D．小亮明天肯定进球9．如图，一艘潜水艇在海面下300米的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是（）A．(4803+300)米 B．C．780米 D．1260米10．如图，能使△ABC∽△AED成立的条件是（）A．∠A=∠A B．∠ADE=∠AED C．ACAD=AB11．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA'：OA=3：5，四边形A'B'C'D'的面积为9cm2，则四边形A．15cm2 B．25cm2 C．1812．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．

例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2-12x+14的值的范围．

解：2x2-12x+14=2(x2-6x)+14=2(x2-6x+32-32)+14

=2[(x-3)2-9]+14=2(x-3)2-18+14=2(x-3A．有最大值-1 B．有最小值-1 C．有最大值1 D．有最小值1二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。13．若最简二次根式x+2和3-x是同类二次根式，则x的值为14．一元二次方程3(x-2)2=x(x-2)15．已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根，则a16．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB=12，CD=6，则EF=．17．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是米．18．“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C=90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km.若tan∠ABC=34，∠DEB=45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19．计算：（1）312-248+8； 20．解方程：x221．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．

（1）求证：△BDC∽△ABC；（2）若BC=4，AC=8，求CD的长．22．我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图.请你根据统计图解答下列问题.（1）成绩为“B等级”的学生人数有名；（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为，图中m的值为；（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛.已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率.23．某淘宝网店销售台灯，每个台灯售价为60元，每星期可卖出300个，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30个．已知该款台灯每个成本为40元，（1）若每个台灯降x元(x>0),则每星期能卖出个台灯，每个台灯的利润是元．（2）在顾客得实惠的前提下，该淘宝网店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为多少元？24．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如：在计算tan15°时，可构造如图1所示的图形.在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，设AC=x(x>0)，延长CB至点D，使得BD=AB，连结AD，易知∠D=15°，CD=BD+BC=AB+BC=2x+3x，所以tan15°=tanD=…

（1）请根据上面的步骤，完成tan15°的计算；（2）请类比这种方法，计算图2中tan22.5°的值．25．（1）问题背景：如图(1)，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；（2）尝试应用：如图(2)，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F.点D在BC边上，ADBD=326．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=a．（1）当点P在线段BC上时(点P与点B，C都不重合)，试用含a的代数式表示CE；（2）当a=3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；（3）当tan∠PAE=12

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】∵二次根式3x-9有意义，

∴3x-9≥0，

解得x≥3，

故答案为：B.

【分析】根据二次根式的非负性得到关于x的不等式，解不等式即可求解.2．【答案】A【解析】【解答】由数轴可得a>1，a<2，

∴a-1>0，a-2<0，

∴|a-1|-(a-2)2=a-1+(a-2)=2a-3,3．【答案】D【解析】【解答】一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式得(m-3)x2+（m2-9）x-5=0，

4．【答案】B【解析】【解答】∵△A'B'C'由△ABC沿y轴翻折而得，

∴点B的对应点B'关于y轴对称，

∵点B的坐标为（-3，1），

∴点B'的坐标为(3，1)，

故答案为：B.5．【答案】D【解析】【解答】∵x1，x2是方程x2-3x-2=0的两根，

∴x1+x2=3，x1x2=-2，

∴x6．【答案】D【解析】【解答】∵l1//l2//l3，

∴BCAC=EFDF，ABAC=DEDF

故A、B选项说法正确，不符合题意；

∵AB7．【答案】D【解析】【解答】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC=AM=1.2km．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，∴MC=12【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．8．【答案】C【解析】【解答】∵根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，∴他明天参加比赛，有可能进球。故答案为：C【分析】根据已知条件小亮进球率为10%，得出他明天参加比赛，有可能进球，即可得出答案。9．【答案】A【解析】【解答】过点C作AB延长线的垂线交于点E，交海面于点F，可得AB=960m，∠BAC=30°，∠EBC=60°，

∵∠BCA=∠EBC-∠BAC=30°，

∴∠BCA=∠BAC，

∴BC=AB=960m，

∴在Rt△BEC中，CE=BC·sin60°=960×32=4803m,

∴CF=CE+EF=(48010．【答案】C【解析】【解答】由图可得∠A=∠A，

∴若添加∠A=∠A，得不到△ABC∽△AED，不符合题意；

若添加∠ADE=∠AED，得不到△ABC∽△AED，不符合题意；

若添加ACAD=ABAE，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△AED，符合题意；

若添加BCED=ADAC，得不到11．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，OA'：OA=3：5．∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为：25：9．∵四边形A'B'C'D'的面积为9cm∴四边形ABCD的面积为：25cm故答案为：B．【分析】根据相似图形的面积之比是相似比的平方即可得．12．【答案】C【解析】【解答】由题意可得-3x2+12x-11=-3（x2-4x）-11=-3（x2-4x+22-22）-11，

=-3（x2-4x+22-22）-11=-3[（x-2]13．【答案】1【解析】【解答】∵最简二次根式x+2和3-x是同类二次根式，

∴x+2=3-x，

解得x=12，

故答案为：114．【答案】x1=2【解析】【解答】3(x-2)2=x(x-2)，

移项得3(x-2)2-x（x-2）=0，

因式分解得（x-2）[3(x-2)-x]=0，即（x-2）(2x-6)=0，

解得x1=2，x215．【答案】a>-13【解析】【解答】∵关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根，

∴∆=22-4×a×（-3）>0,且a≠0，

解得a>-13且16．【答案】3【解析】【解答】连接CF并延长交AB于点G，如图，

∵AB//CD，

∴∠FDC=∠FBG，

∵E，F分别是AC，BD的中点，

∴DF=FB，CE=AE，

∵∠CFDC=∠GFB，

∴△FDC≅△FBG(ASA),

∴BG=DC=6，CF=FG，

∴AG=AB-BG=12-6=6，

∵CE=AE，CF=FG，

∴EF=12AG=3,

故答案为：3.

【分析】连接CF并延长交AB于点G，利用ASA证明17．【答案】8【解析】【解答】根据题目中的条件易证△ABP∽△CDP，由相似三角形对应边的比相等可得ABBP=CDPD，即2318．【答案】24【解析】【解答】过点D作DF⊥BC，如图，

设EF=a（km），

∵∠DEB=45°，

∴EF=DF=a（km），

∵tan∠ABC=34=DFBF,

解得BF=43a（km），

由勾股定理可得：BD=BF2+DF2=(43a)2+a2=53a（km），

∵D地在AB正中位置，

∴AD=2BD=10319．【答案】（1）解：原式=63-83（2）解：原式=13×【解析】【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可求解；

（2）利用乘法运算律进行去括号计算，再利用二次根式的性质进行计算即可求解.20．【答案】解：方程整理得：x2-6x=18.2，

配方得：x2-6x+9=27.2，即(x-3)2=1365，

【解析】【分析】先将一元二次方程化为一般式，再进行配方、开方即可求解.21．【答案】（1）证明：∵∠DBC=∠A，∠BCD=∠ACB，

∴△BDC∽△ABC；（2）解：∵△BDC∽△ABC，

∴BCAC=DCBC，

∵BC=4，【解析】【分析】（1）直接利用三角形相似的判定定理：有两个角相等的三角形时相似三角形，即可求解；

（2）根据相似三角形的性质得到比例式BCAC22．【答案】（1）5（2）72°；40（3）解：根据题意画树状图如下：∴P（女生被选中）=4【解析】【解答】解：（1）学生总人数为3÷15%=20（人）∴成绩为“B等级”的学生人数有20-3-8-4=5（人）故答案为：5；（2）“D等级”的扇形的圆心角度数为4m=820故答案为：72°；40；【分析】（1）学生总人数=A等级的人数÷A等级的人数所占的百分比，列式计算可求出学生的总人数；根据各组的频数之和等于总人数求出成绩为“B等级”的学生人数；

（2）“D等级”的扇形的圆心角度数=360°×“D等级”的人数所占的百分比，列式计算即可；

（3）由题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，可得到所有的可能的结果数和女生被选中的情况数，然后利用概率公式可求解.23．【答案】（1）（300+30x）；（20-x）（2）解：设每个台灯降x元，根据题意得，(20-x)(300+30x)=6480,解得x=8,x=2(舍去）∴定价为52元答：在顾客得实惠的前提下，该淘宝网店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为52元【解析】【解答】解：（1）∵每降价1元，每星期可多卖30个．∴每个台灯降x元(x>0),则可多卖出30x个，∴每星期能卖出（300+30x）个台灯，降价前每个台灯的利润为：60-40=20元，由于每个台灯降价x元，所以降价后每个台灯的利润为：（20-x）元；【分析】（1）根据“每降价1元，每星期可多卖30个”求出降x元多卖出台灯的个数，然后再加上300即可得出每星期卖出台灯的总数；用降价前的利润减去降价数即可得到每个台灯的利润；（2）设每个台灯降x元，根据题意列出方程，求解后结合“顾客得实惠的前提”取舍即可.24．【答案】（1）解：由题知，

设AC=x(x>0)，延长CB至点D，使得BD=AB，连结AD，

因为∠ABC=30°，AB=BD，

所以∠D=∠DAB=15°．

在Rt△ABC中，

sin30°=ACAB，

则AB=2x，

同理可得，BC=3x，

所以CD=2x+3x．

在Rt△ACD中，

（2）解：延长CB到点D，使BD=BA，

因为∠ABC=45°，AB=DB，

所以∠D=∠DAB=22.5°．

令AC=x，则BC=x，AB=2x，

所以BD=AB=2x，

则CD=CB+DB=x+2x．

在Rt△ACD中，

【解析】【分析】（1）设AC=x(x>0)，延长CB至点D，使得BD=AB，连结AD，利用锐角三角函数的定义用含x的式子表示AB、CD的值，再利用锐角三角函数的定义得到tanD=ACAD，代入计算从而求解；

（2）延长CB到点D，使BD=BA，结合条件可得∠D=∠DAB=22.5°，令AC=x，则BC=x，AB=225．【答案】（1）证明：∵△ABC∽△ADE，

∴ABAD=ACAE，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，ABAC（2）解：如图1，连接EC，

∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，

∴△ABC∽△ADE，

由(1)知△ABD∽△ACE，

∴AECE=ADBD=3，∠