湖北省随州市广水市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

湖北省随州市广水市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题（共30分）1．下列计算正确的是（）A．(−1)2023C．4=±2 D．2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．3．下列事件中是不可能事件的是（）A．水滴石穿 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．守株待兔4．我国“DF－41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫＝340米/秒），则“DF－41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行x分钟能打击到目标，可以得到方程（）A．26×340×60x=12000 B．26×340x=12000C．26×340x1000=12000 5．如图，△AOB是以边长为2的等边三角形，则点A关于x轴的对称点的坐标为（）A．−1,3 B．−1,−3 C．1,36．在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3A．12 B．13 C．237．如图，在⊙O中，∠BAC=55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC的度数（）A．55° B．110° C．70° D．140°8．已知二次函数y=ax2−2ax+1（a为常数，且a>0）的图象上有三点A(−2，y1)，B(1，yA．y1<y2<y3 B．9．某网红店生产并销售一种特色食品，每天均能限量生产并销售完毕，如图中的线段AB，OC分别表示某天生产成本y1（单位：元），收入yA．30千克 B．42千克 C．45千克 D．48千克10．利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：x=2+1时，移项得x−1=2，两边平方得(x−1)2=(2A．4x2+4x+5=0 B．4x2+4x−5=0二、填空题（共18分）11．分解因式：m2−4=12．若关于x的一元二次方程k−5x2−2x+1=0有实数根，则k13．一座拱桥的轮廓是一段半径为250m的圆弧（如图所示），桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为m．14．小明要把一篇文章录入电脑，所需时间y（min）与录入文字的速度x（字/min）之间的函数关系如图所示．如果小明要在7min内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为字/min．15．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示抛物线的顶点坐标是1,1，有下列结论①a>0；②b2−4ac>0；③4a+b=1；④若点A16．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在线段BC，CD上，且CF=4，CE=2，若点M，N分别在线段AB，AD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中，始终保持∠PEB=∠PFC，则线段PN的最小值为．三、解答题（共72分）17．先化简，再求值：1−a+1a÷18．如图，在△ABC中，AB=AC，E为BA延长线上一点，且ED⊥BC交AC于点F．（1）求证：△AEF是等腰三角形；（2）若AB=13，EF=12，F为AC中点，求BC的长．19．某初中为增强学生亚运精神，举行了“迎亚运”书画作品创作比赛，评选小组从全校24个班中随机抽取4个班（用A，B，C，D表示），并对征集到的作品数量进行了统计分析，得到下列两幅不完整的统计图．（1）评选小组采用的调查方式是普查还抽样调查？（2）根据上图表中的数据，补充完整作品数量条形图，并求出C班扇形的圆心角度数；（3）请你估计该校在此次活动中征集到的作品数量．20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A−1,5，B−3,1和（1）平移线段AB，使点A平移到点C，则点B的对应点点D坐标为______；若点Pa,b（2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°，请在图1的网格图中画出旋转后所得的线段AE，并写出点E的坐标为______，连接点BE，EC，CB，得到△BEC，请说明△BEC的形状，并说明理由；（3）请在图2的y轴上找出一点F（保留画图痕迹），使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为______．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图1，其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒．接水槽MN所在的直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，当点P恰好在NM所在的直线上时．解决下面的问题：（1）求证：∠BAP=∠MPB；（2）若AB=AP，MB=8，MP=12，求BP的长．22．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物和“品牌图腾”，是天府之国享有极高知名度的个性名片．此次成都大运会吉祥物“蓉宝”（如图1）便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”的公仔毛绒玩具，进价为30元/件，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图2所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（a>0），如果规定该玩具售价不超过40元/件，该商品在今后的销售中，月销售量与销售价仍然满足（1）中的函数关系，若该商品的月销售最大利润是2400元，求a的值．23．据图回答下列各题．【问题：】如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点（不与B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD，CE之间满足的数量关系式为．【探索：】如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，请探索线段AD，BD，CD之间满足的数量关系，并证明你的结论．【应用：】如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=9，CD=3，求AD的长．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+2（1）求该抛物线的解析式．（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标．（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当EF∥OB，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、（-1）2023=-1，故此选项计算错误，不符合题意；

B、-32=-3×3=-9，故此选项计算错误，不符合题意；

C、4=22=2，故此选项计算错误，不符合题意；

D、（a3）2=a2×3=a6，故此选项计算正确，符合题意.

故答案为：D.

【分析】由“-1”的奇数次幂等于-1可判断A选项；由乘方的意义先计算32．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵原图是不是中心对称图形，也不是轴对称图形，∴A不符合题意；B、∵原图是中心对称图形，不是轴对称图形，∴B不符合题意；C、∵原图是不是中心对称图形，也不是轴对称图形，∴C不符合题意；D、∵原图既是轴对称图形又是中心对称图形，∴D符合题意．故答案为：D.

【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：A、水滴石穿，是必然事件；B、瓮中捉鳖，是必然事件；C、水中捞月，是不可能事件；D、守株待兔，是随机事件；故答案为：C．【分析】利用不可能事件的定义及特征（在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件）逐项分析判断即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：设飞行x分钟能打击到目标，根据题意得

26×340×60x1000=12000.

故答案为：D.5．【答案】D【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AC⊥OB，

∵△AOB是以边长为2的等边三角形，∴OA=OB=2,OC=BC=1∴AC=O∴点A的坐标是1,3∴点A关于x轴的对称点的坐标为1,−3故答案为：D．

【分析】过点A作AC⊥OB，利用等边三角形的性质可得OA=OB=2,OC=BC=16．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意列表如下．开关一开关二S1S2S3S1S2，S1S3，S1S2S1，S2S3，S2S3S1，S3S2，S3由上表可知共有6种等可能的结果，能让灯泡L1所以能让灯泡L1发光的概率是2故答案为：B．【分析】先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示，连接OB、OC，

∵∠BAC=55°，∴∠BOC=2∠BAC=110°，∵BP、CP均为⊙O的切线，∴∠OBP=∠OCP=90°，∵在四边形OBPC中，∠BOC+∠OBP+∠OCP+∠BPC=360°，∴∠BPC=360°−∠OBP−∠OCP−∠BOC=70°．故答案为：C．【分析】连接OB、OC，先利用切线的性质可得∠OBP=∠OCP=90°，再利用圆周角的性质可得∠BOC=2∠BAC=110°，最后利用四边形的内角和求出∠BPC=360°−∠OBP−∠OCP−∠BOC=70°即可．8．【答案】D【解析】【解答】解：因为二次函数y=ax2−2ax+1（a为常数，且a>0）的图象上有三点A(−2，y所以对称轴x=−b设点A的对称点为(x所以−2+x解得x0因为抛物线开口向上，所以对称轴的右侧y随x的增大而增大，所以y2故答案为：D．

【分析】先求出抛物线的对称轴，再利用二次函数的性质求解即可。9．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意：可设AB段的解析式为：y1=k1x+b∴240=b480=60解得：k1∴AB段的解析式为：y1设OC段的解析式为：y2=k∴720=60k解得：k2∴OC段的解析式为：y2∵该网红店某一天中盈利120元时，即y2∴12x−4x−240=120，解得：x=45．∴这天的产量是45千克．故答案为：C．【分析】先结合函数图象上的数据利用待定系数法求出直线AB和OC的解析式，再结合“该网红店某一天中盈利120元”列出方程12x−4x−240=120，再求出x的值即可.10．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意可得：x=6可变形为：2x=6则2x+1=故2x+12则可以构造出一个整系数方程是：4x故答案为：B．

【分析】参照题干中的定义及计算方法可得2x=6−1，再求出11．【答案】（m+2）（m﹣2）【解析】【解答】解：m2−4=(m+2)(m﹣2)．

故答案为：(m+2)(m﹣2)．

【分析】直接利用平方差公式a2-b12．【答案】k≤6且k≠5【解析】【解答】解：∵一元二次方程k−5x∴Δ=b2解得k≤6，k≠5∴k的取值范围是k≤6且k≠5，故答案为：k≤6且k≠5．

【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根；）分析可得Δ=b213．【答案】50【解析】【解答】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，如图所示：

则OA=OD=250，AC=BC=1∴OC=O∴CD=OD−OC=250−200=50m即这些钢索中最长的一根为50m，故答案为：50．【分析】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，利用垂径定理可得AC=BC=114．【答案】200【解析】【解答】解∶设y=k把140,10代入y=kx，得∴k=1400，∴y=1400当x=7时，y=1400∵k=1400>0，在第一象限内，y随x的增大而减小，∴小明录入文字的速度至少为200字/min．故答案为：200．【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式为y=140015．【答案】①③④【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，∴a>0；故①正确；∵抛物线与x轴没有交点，∴b2−4ac<0；故∵顶点坐标为1,1，图象过3,3，∴a+b+c=1,9a+3b+c=3，两式相减，得：8a+2b=2，∴4a+b=1；故③正确；∵当x=1时y=a+b+c=1值最小，∴am2+bm+c≥a+b+c故答案为：①③④．

【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.16．【答案】4−【解析】【解答】解：如图，连接EF，

∵∠PEB=∠PFC，∠PEC+∠PEB=180°，∴∠PEC+∠PFC=180°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，∠EPF=360°−180°−90°=90°∵△EFC和△EPF为直角三角形，取EF的中点为O，∴OP=OE=OF=OC，∴C、E、P、F四点共圆，∵PN≥ON−OP，∵OP为定值，∴当ON最小，且O、P、N三点共线时，PN最小，过O作OH⊥BC于H，延长HO交⊙O于P’，交AD于N'，而CE=2∴EH=1∵∠ECF=90°，而CF=4，∴EF=C∴OE=5∵∠OHE=90°，∴OH=O∴ON∴P'故答案为：4−5【分析】先证C、E、P、F四点共圆，取EF的中点为O，以EF为直径作⊙O，连接OP，ON，再求出当ON最小，且O、P、N三点共线时，PN最小，过O作OH⊥BC于H，延长HO交⊙O于P’，交AD于N'，再求出ON'17．【答案】解：原式==−=−1当a=2−1时，

原式=−12−1+1【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将a=218．【答案】（1）证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵ED⊥BC，

∴∠EDB=∠EDC=90°，

∴∠E+∠B=90°，∠C+∠DFC=90°，

∴∠E=∠DFC，（2）解：过点A作AG⊥ED于点G，过A作AH⊥BC于H，如图所示：

∵AE=AF，AG⊥ED，EF=12，

∴FG=GE=12EF=6，

∵F为AC中点，

∴AF=FC=12AC=12AB=132，

又∠AFG=∠CFD

∴△AFG≌△CFD(AAS)，

∴DF=FG=6，【解析】【分析】（1）利用角的运算和等量代换可得∠E=∠DFC，再结合∠DFC=∠EFA，利用等量代换可得∠EFA=∠E，从而可证出△AEF为等腰三角形；

19．【答案】（1）解：评选小组从全校24个班中随机抽取4个班，属于抽样调查，即评选小组采用的调查方式是抽样调查．（2）解：C班有：24-4-6-4=10（件），C班扇形的圆心角度：1024条形图如图所示：（3）解：4+6+10+44即该校在此次活动中征集到的作品数量是144件．【解析】【分析】（1）利用抽样调查的定义及特征（一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查）和全面调查的定义及特征（对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查）分析判断即可.

（2）先求出“C班”的人数，再求出“C班”的百分比并乘360°可得圆心角的度数，最后作出条形统计图即可；

（3）先算出平均每个班的件数，再乘24即可得．20．【答案】（1）D2,−4，（2）解：E3,3如图所示，

E3,3，B−3,1，C∴BE2=62∴BE∴△BCE形状为直角三角形；（3）解：作点B−3,1关于y轴对称点B'3,1，连接AF【解析】【解答】（1）解：如图所示，点A先向右平移5个单位，再向下平移5个单位到点C，所以点B−3,1先向右平移5个单位，再向下平移5个单位到点D∵点Pa,b则平移后，点P的对应点的坐标为a+5,b−5，故答案为：D2,−4，a+5,b−5（2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°，得线段AE，由旋转可知：△ABM≌△AEN，∵A−1,5，B∴BM=2，AM=4，∴EN=2，AN=4，∴E3,3故答案为：E3,3（3）解：作点B−3,1关于y轴对称点B'3,1，连接∴BF=B∴BF+AF=B根据两点之间线段最短，得BF+AF此时值最小，所以此时△ABF周长最小；设直线AB'表达式为y=kx+b，将则：−k+b=53k+b=1解得：k=−1b=4∴直线AB'表达式为当x=0时，y=4，∴F0,4故答案为：F0,4.【分析】（1）利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.

（2）利用点坐标旋转的性质求出点E的坐标即可；利用两点之间的距离公式求出BE2=62+22=40，CE2=21．【答案】（1）证明：∵PC是⊙O的直径，∴∠PBC=90°，∴∠BPC+∠BCP=90°，∵MN所在的直线是⊙O的切线，点P恰好在NM所在的直线上，∴MP⊥PC，∴∠MPC=90°，∴∠MPB+∠BPC=90°，∴∠MPB=∠BCP，∵∠BCP=∠BAP，∴∠BAP=∠MPB；（2）解：∵∠MAP=∠MPB，∠M=∠M，

∴△MPA∽△MBP，

∴MAMP=MPMB=APPB

∵AB=AP，MB=8，MP=12，【解析】【分析】（1）利用切线的性质可得MP⊥PC，即∠MPC=90°，再利用角的运算和等量代换可得∠MPB=∠BCP，再结合∠BCP=∠BAP，证出∠BAP=∠MPB即可；

（2）先证出△MPA∽△MBP，可得MAMP=MPMB=22．【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为y=kx+b，由题意可得：40k+b=30050k+b=200解得：k=−10b=700y关于x的函数表达式为y=−10x+700；（2）解：根据题意可得：w=(x−30−a)(−10x+700)=−10x对称轴为直线x=100+a∵a>0，∴100+a∵物价部门规定该玩具售价不得超过40元/件，∴x=40时，w取最大值2400，∴−10×40解得：a=2．【解析】【分析】（1）结合函数图象中的数据利用待定系数法求出函数解析式即可；

（2）利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式w=(x−30−a)(−10x+700)=−10x23．【答案】解：（1）结论：BD=EC，理由如下：

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

∴△BAD≌△CAE(SAS)，

∴BD=CE，

（2）结论：BD2+CD2=2AD2，

理由如下：

连接C