从分数到分式教案

课题16.1.1从分数到分式教学目标知识与技能在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感；了解分式产生的背景和分式的概念，以及分式与整式概念的区别与联系；掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系。过程与方法从具体到抽象、人特殊到一般，体会类比的方法；能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，经历对具体问题的探索过程，进一步培养学符号感和观察、猜想、类比的能力。情感态度与价值观通过丰富的现实情境，使学生在已有的数学经验的基础上，了解数学的价值，发展“用数学”的信心。教学重点使学生理解并掌握分式的概念知识难点正确识别分式是否有意义，通过类比，加强对分式意义的理解。教具准备投影仪、相应图片教学环节教学过程一、创设问题情境、引入新课师：前面我们学过整式，但在研究许多问题时常常会遇到整式以外的式子，请看下面的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为v千米/时，则轮船顺流航行100千米所用时间为eq\f(100,20+v)小时,逆流航行60千米所用时间为eq\f(60,20-v)小时,由方程eq\f(100,20+v)=eq\f(60,20-v)可以解出v的值。以上我们用了式子eq\f(60,20-v)和eq\f(100,20+v)，像这样分母中含有字母的式子属于分式。在这一章中，我们将学习分式及其性质、运算和应用。这将会给我们进一步研究数量关系带来很大的方便。今天我们先学习第一节：分式16.二、讲授新课活动(一)感知分式教师出示思考：1、长方形的面积10cm，长7cm,宽应为cm；长方形的面积为s，长为a，宽为2、体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2圆柱形容器中，水面高度为cm；把体积v的水倒入底面积为s的圆柱形容器中水面高度为师生行为：学生分组讨论、思考归纳；教师纠正，指出正确答案。活动(二)归纳分式概念观察：eq\f(S,a)、eq\f(V,S)、eq\f(100,20+v)、eq\f(60,20-v)有什么共同点？它们与分数有何异同？师生行为：教师出示问题，引导学生观察思考、归纳，然后师生共同总结：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子eq\f(A,B)叫作分式.分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式eq\f(A,B)才有意义.想一想，练一练：下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？eq\f(b-3,2π),eq\f(x2,2x-1),eq\f(4,5b+c),eq\f(2,7),3x2-1,eq\f(2a,3a),eq\f(2a,3)+eq\f(1,2)b,-6师生活动：教师出示问题，学生思考，回答。方法归纳：整式与分式的区别：整式的分母中不含字母，而分式的分母中含有字母。活动(三)探究分式的意义出示思考：我们知道，除数不能为0，那么分式中的分母应满足什么条件？师生行为：教师提出问题，学生讨论、归纳。分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0。即，当B≠0时，分式eq\f(A,B)才能有意义。否则，无意义。例1填空:(1)当x时，分式eq\f(2,3x)有意义；（2）当x时，分式eq\f(x,x-1)有意义；(3)当b时，分式eq\f(1,5-3b)无意义；(4)当x,y满足关系时，分式eq\f(x+y,x-y)无意义.师生行为：根据“分母的取值不能为0”，教师与学生互动练习，巩固所学知识。[<板书>解：(1)当分母3x≠0；即x≠0时，分式eq\f(2,3x)有意义；余略。]巩固练习：教科书第6页。教师巡视指导，学生交流，完成练习，师生评价。活动(四)课堂小结这节课我们学习了哪些知识？你能说一说吗？师生行为：教师引导学生回忆本节课所学内容；学生回忆、交流；教师和学生一起补充完善，使学生更加明晰所学的知识。活动(五)课后作业，学习延伸教材第10页第1、2、3、8、13题，学习阶梯练中的练习。师生行为：布置作业，学生记录作业。板书设计：16.1.1从分数到分式一、分式的意义eq\f(S,a)、eq\f(V,S)、eq\f(100,20+v)、eq\f(60,20-v)一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子eq\f(A,B)叫作分式.注意：(1)分式的分母不能为0；即当B≠0时，分式eq\f(A,B)才有意义.(2)分式与整式的区别：分母中是否含有字母。二、例题：三、练习四、小结：（1）用数、式通性的思想，类比分数，引导学生独立思考、小组协作，完成对分式概念及意义的自主建构，突出数学合情推理能力的养成；（2）加强应用性，通过“应用新知”、“深化拓展”两个环节，密切分式与现实生活及其他学科的联系，发展数学应用意识，突出分式的模型思想。活动中注重运用态势、语言对学生进行即兴评价，在评价表的设计中安排多维评价：合作交流的意识与能力、数学思维能力与发展水平、发现问题和解决问题的能力课题16.1.2分式的基本性质三维目标知识与技能1、理解并掌握分式的基本性质；2、利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形；3、了解分式通分、约分的步骤和依据，掌握分式通分、约分的方法过程与方法1、能类比分数的基本性质，推测出分式的基本性质；2、通过思考、研讨等活动，发展学生实践能力和合作意识。情感态度与价值观通过类比分数的基本性质及分数的约分、通分，推测出分式的基本性质、约分和通分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣。教学重点1、分式的基本性质；2、利用分式的基本性质约分、通分。知识难点分子、分母是多项式的分式的约分和通分。教具准备电脑、课件、投影仪教学环节教学过程一、创设问题情境，引入新课出示问题：看如何做不同分母的分数加法。eq\f(1,2)+eq\f(1,3)=eq\f(1×3,2×3)+eq\f(1×2,3×2)=eq\f(3,6)+eq\f(2,6)=eq\f(5,6)这里将异分母化为同分母的依据是什么？师生评价：分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘(或除以)一个不为0的数，分数的值不变。由分数的基本性质可知，如果数c≠0，那么eq\f(2,3)=eq\f(2c,3c),eq\f(4c,5c)=eq\f(4,5)所以，一般地，对于任意一个分数eq\f(a,b)都有：eq\f(a,b)=eq\f(a·c,b·c)，eq\f(a,b)=eq\f(a÷c,b÷c)(c≠0)二、讲授新课活动(一)思考：类比分数的基本性质，你能想出分式的性质吗？怎样用式子表示分式的基本性质？(学生分组讨论、归纳)师生：分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可以推想出分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变。分式的基本性质可用式子表示为：eq\f(A,B)=eq\f(A·C,B·C)，eq\f(A,B)=eq\f(A÷C,B÷C)(c≠0)其中A、B、C是整式。应用：我们利用分式的基本性质可以对分式进行等值变形。活动(二)出示例2填空：（1）eq\f(a+b,ab)=eq\f((),a2b),eq\f(2a－b,a2)=eq\f((),a2b)；(2)eq\f(x2+xy,x2)=eq\f(x+y,()),eq\f(x,x2－2x)=eq\f((),x－2).(学生分析，解决问题)师生互动分析：我们利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不变分式的值，把eq\f(a+b,ab)和eq\f(2a－b,a2)化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.我们利用分式的基本性质，约去eq\f(x2+xy,x2)的分子和分母的公因式x，不改变分式的值，使eq\f(x2+xy,x2)化为eq\f(x+y,x),这样的分式变形叫做分式的约分.活动(三)联想分数的通分和约分，由上例你能想出如何对下面的分式进行通分和约分？出示例3约分：（1）eq\f(－25a2bc3,15ab2c)；(2)eq\f(x2－9,x2＋6x＋9).分析：为约分要先找出分子和分母的公因式.解：（1）eq\f(－25a2bc3,15ab2c)=－eq\f(5abc·5ac2,5abc·3b)=eq\f(5ac2,3b)；(2)eq\f(x2－9,x2＋6x＋9)=eq\f((x+3)(x－3),(x+3)2)=eq\f(x－3,x+3).例4通分：（1）eq\f(3,2a2b)与eq\f(a－b,ab2c)；（2）eq\f(2x,x－5)与eq\f(3x,x+5).分析：为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.解：（1）最简公分母是2a2b2c.eq\f(3,2a2b)=eq\f(3·bc,2a2b·bc)=eq\f(3bc,2a2b2c),eq\f(a－b,ab2c)=eq\f((a－b)·2a,ab2c·2a)=eq\f(2a2－2ab,2a2b2c).（2）最简公分母是(x－5)(x+5).eq\f(2x,x－5)=eq\f(2x(x+5),(x－5)(x+5))=eq\f(2x2+10x,x2－25),eq\f(3x,x+5)=eq\f(3x(x－5),(x+5)(x－5))=eq\f(3x2－15x,x2－25).活动(四)1、思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同特点？根据什么原理？(师生行为：学生思考、分组讨论)(教师在学生回答的基础上，强调：分式的约分和通分的依据是分式的基本性质。)2、课堂练习：教科书第10页练习1、2三、课堂小结1、掌握分式的基本性质；2、学会分式的约分方法。(学生思考，分组讨论交流)四、课后作业教科书：第11页内容五、附板书设计：16.1.2分式的基本性质(2)一、教学目标1．使学生理解并掌握分式的基本性质及变号法则，并能运用这些性质进行分式的恒等变形．2．通过分式的恒等变形提高学生的运算能力．3．渗透类比转化的数学思想方法．二、教学重点和难点1．重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键．2．难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形．课题16.2.1分式的乘除(一)三维目标知识与技能类比分数乘除法的运算法则，探索分式乘除法的运算法则；在分式乘除运算过程中，体会因式分解在分式乘除法中的作用，发展有条理的思考和语言表达能力；用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识。过程与方法在学生积极思考，参与活动的过程中，采用引导、启发、探求的方法，使学生理解掌握分式乘除法的运算法则，并会进行乘除法的运算。情感态度与价值观1、通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，认识事物之间的内在联系，获得成就感。2、培养学生的创新意识和应用数学的意识。教学重点掌握分式乘除法的法则及其应用。知识难点分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算。教具准备电脑、课件、投影仪教学环节教学过程一、创设问题情境，引入新课问题1：一个长方体容器的容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的eq\f(m,n)时，求高为多少？问题2：大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？(师生行为：教师提出问题，学生思考)二、讲授新课(一)类比分数乘除法法则，归纳分式乘除法法则观察：eq\f(3,5)×eq\f(10,9)=eq\f(3×10,5×9)=eq\f(30,45)=eq\f(2,3)eq\f(3,5)÷eq\f(10,9)=eq\f(3,5)×eq\f(9,10)=eq\f(3×9,5×10)=eq\f(27,50)想一想：1、这两个算式用到了哪些法则？2、类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？(师生行为：学生分组讨论、归纳，教师引导、说明)归纳：类似分数的乘除法法则，分式的乘除法法则如下：乘法法则分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。除法法则分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。上述法则可以用式子表示为eq\f(a,b)·eq\f(c,d)=eq\f(a·c,b·d),eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)=eq\f(a,b)·eq\f(d,c)=eq\f(a·d,b·c)。(二)例题教学例1计算：（1）eq\f(4x,3y)·eq\f(y,2x3)；(2)eq\f(ab3,2c2)÷eq\f(－5a2b2,4cd).解:（1）eq\f(4x,3y)·eq\f(y,2x3)=eq\f(4xy,6x3y)=eq\f(2,3x2).(2)eq\f(ab3,2c2)÷eq\f(－5a2b2,4cd)=eq\f(ab3,2c2)·eq\f(4cd,－5a2b2)=－eq\f(4ab3cd,10a2b2c2)=－eq\f(2bd,5ac).例2计算：（1）eq\f(a2－4a+4,a2－2a+1)·eq\f(a－1,a2－4)；(2)eq\f(1,49－m2)÷eq\f(1,m2－7m).解:（1）eq\f(a2－4a+4,a2－2a+1)·eq\f(a－1,a2－4)=eq\f((a－2)2,(a－1)2)·eq\f(a－1,(a－2)(a+2))=eq\f((a－2)2(a－1),(a－1)2(a－2)(a+2))=eq\f(a－2,(a－1)(a+2))(2)eq\f(1,49－m2)÷eq\f(1,m2－7m)=－eq\f(1,m2－49)·(m2－7m)=－eq\f(m(m－7),(m+7)(m－7))=－eq\f(m,m+7)(师生行为：教师展示问题，学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导；通过分析，学生可以灵活运用运算法则来解题)教师强调注意事项：将算式对照乘除法法则进行运算；强调运算结果如果不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式或整式。当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路。例3“丰收1号”小麦的实验田是边长为a的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的实验田是边长为（a－1）米的正方形，两块实验田的小麦都收获了500千克。哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？(新P15)解：（1）“丰收1号”小麦的实验田面积是(a2－1)米2，单位面积产量是eq\f(500,a2－1)千克/米2；“丰收2号”小麦的实验田面积是(a－1)2米2，单位面积产量是eq\f(500,(a－1)2)千克/米2.∵0<(a－1)2<a2－1,∴eq\f(500,a2－1)<eq\f(500,(a－1)2).“丰收2号”小麦的单位面积产量高.(2)eq\f(500,(a－1)2)÷eq\f(500,a2－1)=eq\f(500,(a－1)2)·eq\f(a2－1,500)=eq\f((a+1)(a－1),(a－1)2)=eq\f(a+1,a－1).“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的eq\f(a+1,a－1)倍.(师生行为：教师提出问题；学生分组讨论，解答问题，教师参与讨论，并作指导)(三)随堂练习：教科书第16页的练习2、3(可让两名学生板演)(师生行为：学生分组讨论其解法，并找寻规律。教师深入小组，给予适当的帮助和指导，并引导学生注意运算法则的应用。)三、课堂小结与作业1、学生归纳总结本节课的主要内容，交流在探索分式的乘除法法则过程的心得和体会，不断积累数学活动经验。2、布置作业：教科书第27页习题16.21、2题。四、板书设计：课题16.2.1分式的乘除(二)三维目标知识与技能1．能应用分式的乘除法法则进行混合运算；2．了解分式的乘方的意义及其运算法则；过程与方法1．能灵活应用分式的乘除法法则进行分式的乘除混合运算；2．在进一步体会幂的意义的过程中，发展学生的推理能力及有条理的表达能力。情感态度与价值观在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心。教学重点分式乘方的运算法则及其应用。教学难点分式乘方的运算法则。教具准备电脑、课件、投影仪教学环节教学过程一、复习巩固：1．提问：分式的乘除法法则内容是什么？2．计算：(1)eq\f(a+2,a－2)·eq\f(1,a2+2a)(2)3xy2÷eq\f(6y2,x)(3)eq\f(2x,5x－3)÷eq\f(3,25x2－9)·eq\f(x,5x+3)师生行为：学生独立完成，并展示其分式乘方要把分子分母分别成方。例5计算：(1)(eq\f(－2a2b,3c))2；(2)(eq\f(a2b,－cd3))3÷eq\f(2a,d3)·(eq\f(c,2a))2.解:(1)(eq\f(－2a2b,3c))2=eq\f((－2a2b)2,(3c)2)=eq\f(4a4b2,9c2).(2)(eq\f(a2b,－cd3))3÷eq\f(2a,d3)·(eq\f(c,2a))2=eq\f(a6b3,－c3d9)÷eq\f(2a,d3)·eq\f(c2,4a2)=eq\f(a6b3,－c3d9)·eq\f(d3,2a)·eq\f(c2,4a2)=－eq\f(a3b3,8cd6).同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母分式相加减，，先通分，变为同分母的分式，再加减。上述法则可用式子表示为eq\f(a,c)±eq\f(b,c)=eq\f(a±b,c),eq\f(a,b)±eq\f(c,d)=eq\f(ad,bd)±eq\f(bc,bd)=eq\f(ad±bc,bd).例6计算：(1)eq\f(5x+3y,x2－y2)－eq\f(2x,x2－y2)；(2)eq\f(1,2p+3q)+eq\f(1,2p－3q).解:(1)eq\f(5x+3y,x2－y2)－eq\f(2x,x2－y2)=eq\f(5x+3y－2x,x2－y2)=eq\f(3x+3y,x2－y2)=eq\f(3,x－y).(2)eq\f(1,2p+3q)+eq\f(1,2p－3q)=eq\f(2p－3q,(2p+3q)(2p－3q))+eq\f(2p+3q,(2p+3q)(2p－3q))=eq\f(2p－3q+2p+3q,(2p+3q)(2p－3q))=eq\f(4p,4p2－9q2).例7在图16.2-2的电路中，已测定CAD支路的电阻是R1欧姆，又知CBD的电阻R2比R1大50欧姆，根据电学有关定律可知总电阻R与R1、R2满足关系式eq\f(1,R)=eq\f(1,R1)+eq\f(1,R2)，试用含有R1的式子表示总电阻R.解：∵eq\f(1,R)=eq\f(1,R1)+eq\f(1,R2)=eq\f(1,R1)+eq\f(1,R1+50)=eq\f(R1+50,R1(R1+50))+eq\f(R1,R1(R1+50))=eq\f(2R1+50,R1(R1+50)).即eq\f(1,R)=eq\f(2R1+50,R1(R1+50)).∴R=eq\f(R1(R1+50),2R1+50)=eq\f(R12+50R1,2R1+50).例8计算：(eq\f(a,b))2·eq\f(1,a－b)－eq\f(a,b)÷eq\f(b,4).解：(eq\f(2a,b))2·eq\f(1,a－b)－eq\f(a,b)÷eq\f(b,4)=eq\f(4a2,b2)·eq\f(1,a－b)－eq\f(a,b)·eq\f(4,b)=eq\f(4a2,b2(a－b))－eq\f(4a,b2)=eq\f(4a2,b2(a－b))－eq\f(4a(a－b),b2(a－b))=eq\f(4a2－4a2+4ab,b2(a－b))=eq\f(4ab,b2(a－b)).例9计算：(1)(a－1b2)3；(2)a－2b2·(a2b－2)－3.解：(1)(a－1b2)3=a－3b6=eq\f(b6,a3).(2)a－2b2·(a2b－2)－3=a－2b2·a－6b6=a－8b8=eq\f(b8,a8).例10下列等式是否正确？为什么？(1)am÷an=am·a－n；(2)(eq\f(a,b))n=anb－n.解：(1)∵am÷an=am－n=am+(－n)=am·a－n.∴am÷an=am·a－n.(2)∵(eq\f(a,b))n=eq\f(an,bn)=an·eq\f(1,bn)=anb－n.∴(eq\f(a,b))n=anb－n.例11纳米是非常小的长度单位，1纳米=10－9米.把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？解：1毫米=10－3米，1纳米=10－9米.(10－3)3÷(10－9)3=10－9÷10－27=1018.1立方毫米的空间可以放1018个1立方纳米的物体.分式的加减法(一)教学目标(一)知识与技能目标1、会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归能力．2、引导学生不断小结运算方法和技巧，提高运算能力．