垂直于弦的直径教案

24．1．2垂直于弦的直径教学任务分析教学目标知识技能理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程。能应用垂径定理进行计算和证明。使学生经历实际问题抽象为数学问题的过程，；养成良好的探索创新，合作交流的学习习惯，以及利用数学方法分析、解决实际问题的能力。过程方法在定理的探究过程中锻炼学生从对具体，形象的圆的轴对称性的观察、分析、经过交流、验证，到把垂径定理用数学语言有条理的清晰的表述出来。情感态度使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，通过探索垂径定理的过程使学生获得成功的体验，并激发学生对数学的激情．重点垂径定理的内容、应用及有关辅助线的作法。难点理解垂径定理的题设和结论及垂径定理的证明方法。教学流程安排教学任务学生活动教师活动导入新课，使学生明了本节课的学习任务。完成以下题目：1.如右图：在⊙O中弦是______，直径是______，半径是_______其中弦AB所对的优弧是_________劣弧是_________出示赵州桥的图片，向学生介绍赵州桥。介绍本节课要解决的问题。引导学生复习相关知识点。学习圆的轴对称性学生完成课本80面“探究”把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折,重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？教师导学：1.如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁___________的部分能够互相重合，那么这个图形叫____________,这条直线叫这个图形的____________.（1）通过对折，发现折痕两边______。强化：（1）圆是______图形，任何一条________都是它的对称轴。（2）判断：任意一条直径都是圆的对称轴（）学习垂径定理垂径定理的应用1.完成教材中“思考”：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E.完成如下自学提示：（1）我发现这个图形是_______图形，它的对称轴是_______（2）图中相等的线段有___________，相等的弧有___________.（3）以上发现可以表示为_________________（4）题目当中有哪些条件，得到了哪些结论？用文字叙述为:（5）用几何语言表示垂径定理为∵∴2.学生完成以下题目：在下列哪个图中有AE=BE，AC=BC，AD=BD.为什么？一．学生自学例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。学生完成强化练习：（男生完成1题，女生完成2题）1.若已知排水管的半径OB=10，截面圆心O到水面的距离OC=6，求水面宽AB。2.若已知排水管的水面宽AB=16。截面圆心O到水面的距离OC=6，求排水管的半径OB。3.已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC＝BD二．学生自学81面解决赵州桥主桥拱半径的问题引导学生用圆的轴对称性来解释线段相等和弧相等。帮助分析并强化垂径定理的条件和结论，重点帮助学生理解定理中的“直径”。教师导学:1。圆心O到水面的距离怎样表示？所要求的边与直角三角形有什么关系？求直角三角形的边通常要用什么定理？怎样将AB转化为直角三角形的边？转化的依据是什么？在学生完成强化练习1,2题后，引导总结求弦心距，弦，半径常见的方法。教师导学：（1）题目是怎样将赵州桥这个实际问题转化为数学问题的？(2)题目中的条件分别转化成了数学问题中的那些条件？（3）本题与“例一”的解题思路有何共同点？教师引导学生强化：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，在解决有关弦的问题经常要用到勾股定理。

【教学过程】提出问题赵州桥的半径是多少？已知：跨度（即弦长）为37.4m拱高（即弓形高）为7.2m求：半径探究圆的轴对称性，得出垂径定理圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．请同学们思考：圆的轴对称性与我们上节课学过的圆中的弦和弧有什么关系吗？(通过改变对称轴的位置，观察轴对称后弦和弧的变化)垂径定理：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．⌒⌒⌒⌒用法：（1）∵直径CD⌒⌒⌒⌒∴AM=BM，AC=BC，AD=BD（2）∵直径CD平分弦AB于点M∴CD⊥AB，AC=BC，AD=BD分析：（1）定理中的直径（过圆心）的条件能否省略？定理中的垂直于弦的条件能否省略？（2）为什么要添上“不是直径”这个条件？⌒巩固练习，深入思考⌒1、如图2，AB所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若OD=3，弦AB=8，求此圆的半径和弓形高CD．图2图2⌒*说明：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC⊥AB，则有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．⌒⌒变题1：如图2，AB所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4，弦AB=16，求此圆的半径和弦心距．⌒变题2：如图2，AB所在圆的圆心是点O，半径长为6，过O作OC⊥AB于点D，若OD=4，求弦AB和弓形高CD。在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．2、解决赵州桥的问题⌒⌒⌒⌒3、如图3，已知AB，请你利用尺规作图的方法作出的AB中点，说出你的作法．师生活动设计：根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点．拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识．解决下列问题1．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图7所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道?图7图8师生活动设计：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维．〔解答〕如图8所示，连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，则AE=AB=30cm．令⊙O的半径为R则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．解得R=50cm．修理人员应准备内径为100cm的管道．2．如图5，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7．2米，桥的最高处点C离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由．图5图6学生活动：学生根据实际问题，首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于2米说明不能经过，否则就可以经过