2021年江苏高考数学一轮复习完整学案讲义(共72个专题)

1第一章集合、常用逻辑用语与不等式全国卷五年考情图解高考命题规律把握考点不等式的性质1.考查形式本章在高考中一般考查1或2个小题，主要以选择题为主，很少以填空题的形式出现.2.考查内容从考查内容来看，集合主要有三方面考查：一是集合中元素的特性；二是集合间的关系；三是集合的运算，包含集合的交、并、补集运算.常用逻辑用语主要从两个方面考查：充分必要条件的判断及全称量词与存在量词；不等式的解法常与集合运算交汇，不等式的性质常题.基本不等式一般不单独考查.3.备考策略(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律①集合的交、并、补集运算问题；②充分条件、必要条件的”指命题说明：“I1”指全国卷I第1题，“IⅡ全国卷Ⅱ第1题，“II1”指全国卷Ⅲ第2判断问题；③含有一个量词的命题的否定问题；④一元二次不等式的解法及基本不等式的应用.(2)重视数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补夯实基础知识课前自主回顾扫除双基盲点[必备知识填充]集合自然数集正整数集整数集有理数集符号NN(或N+)ZQ2.集合的基本关系关系自然语言符号语言Venn图3子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A,则x∈B).ASB或(B2A)真子集如果AEB且A≠B集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B中的元素，B中的元素也都是A中的元运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合ANB={x|x∈A且并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合AUB={x|x∈A或补集设ASU,由U中不属于A的所有元素组成的集合称为U的子集A的补集[vA={x|x∈U且x神2.集合子集的个数对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2”,真子集个数3.集合的运算性质4(3)补集的性质：AU([A)=U;AN(一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(4)直线y=x+3与y=—2x+6的交点组成的集合是{1,4}.二、教材改编A.{a}EAB.aSAC.{a}∈Aa4A.]2.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},则集合MUN的子集的个数为∴MUN的子集有2⁶=64个.]3.已知U={a|0°<a<180°},A={x|x是锐角},B={x|x是钝角},[答案]{x|x是直角}4.方程的解集为[5故方程组的解集 _,AUB=∴A∩B={x|-2<x<1},AUB={x|x<3}.]课堂考点探究破解高考疑难际通法与集合中的元素有关的问题的求解思路(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集.(2)看清元素的限制条件.(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数.做典题1.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x²+y≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的个数为C₃Cs=9,故选A.][由题意得m+2=3或2m²+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题6,,3.若集合A={x∈R|ax²—3x+2=0}中只有一个元素，则a=0[当a=0时，显然成立；当a≠0时，△=(—3)²—8a=0,即a=1[由已知得a≠0,则又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去，因此a=-1,故a²020+b²²0=(-1)²020+0²020=1.]巧点评(1)求解此类问题时，要特别注意集合中元素的互异性，如T₂,T₄.(2)常用分类讨论的思想方法求解集合问题，如T₃.示通法判断两集合关系的方法(1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系.(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系.讲典例(1)(2019·沈阳模拟)已知集合A={x|y=√1-x,x∈R},B={x|x=m²,m∈A},则()(2)已知集合A={x|x²-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件ASCEB的集合C的个数为()A.1(3)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m—1},若BEA,则实7数m的取值范围为(2)因为A={1,2},B={1,2,3,4},ASCEB,则集合C可以为：{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个.(3)因为BEA,所以①若B=0,则2m—1<m+1,此时m<2.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(一0,3).)[母题探究]重1.(变问法)本例(3)中，若求m的取值范围.重②若B≠o,则且边界点不能同时取得，解得2≤m≤3.综合①②,m的取值范围为(一0,3).2.(变问法)本例(3)中，若AEB,求m的取值范围.[解]若则即所以m的取值范围为0.3.(变条件)若将本例(3)中的集合A改为A={x|x<-2或x>5},试求m的取值范围.所以①当B=0时，2m—1<m+1,即m<2,符合题意.8②当B≠0时，或综上可知，实数m的取值范围为(一0,2)U(4,十○).巧点评(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.(2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有BSA时，应分B=0和B≠c两种情况讨论.则这样的集合M共有()2.若集合A={1,2},B={x|x²+mx+1=0,x∈R},且BEA,则实数m的取值范围为解得一2<m<2,符合题意；②若1∈B,则1²+m+1=0,解得m=—2,此时B={1},符合题意；③若2∈B,则2²+2m+1=0,解得事此时不合题意.综上所述，实数m的取值范围为(-2,2).]O考点3集合的基本运算示通法集合运算三步骤9确定集合中的元素及其满足的条件，如函数元素化简根据元素满足的条件解方程或不等式，得出元素满足的最简条件，将集合清晰地表示出运算利用交集或并集的定义求解，必要时可应用数轴或Venn图来直观解决A.{x|-4<x<3}B.{x|—4<x<—2}{-1,0,1},则([A)∩B=()A.{—1}(3)设集合A={y|y=2“,x∈R},B={x|x²-1<0},则AUB等于()(2)∵luA={-1,3},∴([uA)∩B={-1},故选A.[逆向问题]已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且AA.{1,3}B.{3,7,9}C.{3,5,9}D[法一：(直接法)因为A∩B={3},所以3∈A,又([₁B)∩A={9},所以9∈A.若5∈A,则54B(否则5∈A∩B),从而5∈[₁B,则([B)∩A={5,9},与题中条件矛盾，故54A.同理，14A,74A,故A={3,9}.法二：(Venn图)如图所示.巧点评集合运算的常用方法(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解.(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.▶考向2利用集合的运算求参数讲典例(1)集合A={0,2,a},B={1,a},若AUB={0,1,2,4,16},则a的值为()(2)已知集合A={x|x<a},B={x|x²-3x+2<0},若A∩B=B,则实数a的取值范围是()A.a<1B.a≤1(1)D(2)D[(1)根据并集的概念，可知{a,a}={4,16},故只能是a=4.又A∩B=B,故BEA.又A={x|x<a},结合数轴，可知a≥2.]巧点评利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解.如T₁).(2)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到，如提醒：在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性).[教师备选例题]|y|≤2,x,y∈Z},定义集合AB={(x₁+x₂,y₁+y₂)|(x₁,y₁)∈A,(x₂,y₂)∈B},则AB中元素的个数为()A.77B.49C.45D.30C[如图，集合A表示如图所示的所有圆点“o”,集合B表示如图所示的所有圆点“o”十所有圆点“。”,集合AB显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点{(一3,—3),(一3,3),(3,一3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),则集合AB表示如图所示的所有圆点“o”十所有圆点“。”十所有圆点“。”,共45个.故AB中元素的个数为45.故选C.ANB中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是()B[A={x|x²+2x—3>0}={x|x>1或x<-3},设函数f(x)=x-2ax—1,因为函数f(x)=x²-2ax—1图象的对称轴为直线x=a(a>0),f(0)=-1<0,根据对称性可知若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2,即故选B.]做典题1.(2019·全国卷Ⅱ)设集合A={x|x-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=()C.(一3,—1)D.(3,十一)A[由题意得A={x|x<2或x>3},B={x|x<1},2≤x≤2},则如图所示阴影部分所表示的集合为()C.{x|-2≤x≤—1}D.{x|—1≤x≤2}D[依题意得A={x|x<-1或x>4},因此[A={x|-1≤x≤4},题中的阴影部分所表示的集合为([nA)∩B={x|-1≤x≤2},故选D.]3.已知A={1,2.3,4},B={a+1,2a}.若A∩B={4},则a=={4,6},符合题意；若2a=4,则a=2,此时B={3,4},不符合题意.综上，第二节充分条件、必要条件[最新考纲]1.理解必要条件的含义，理解性质定理与必要条件的关系.2.[必备知识填充]若p=q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p=q且q+pp是q的必要不充分条件p≠q且qpp是q的充要条件p→qp是q的既不充分也不必要条件p≠q且q≠p③数学定义中条件是结论的充要条件.即定义可以用于判定也可以作为性3.充分条件与必要条件的两个特征Fp”.Fr”).[常用结论][常用结论]1.p是g的充分不必要条件，等价于二g是了p的充分不必要条件.其他[学情自测验收]一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“a>-1”是“a≥-1”的必要条件.()(2)“x∈AUB”是“x∈A∩B”的充分条件.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.二、教材改编1.已知m,n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B[设m,n的夹角为θ,若m,n的夹角为钝角，则则cos的夹角不为钝角.故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B.]A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件的充分而不必要条件.故选A.]A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B[若x=1,则(x—1)(x+2)=0显然成立，但反之不成立，即若(x—1)(x+2)=0,则x的值也可能为-2.故选B.]4.△ABC中，是“cos的条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)所以所以的必要不充分条件.]课堂考点探究考点1充分、必要条件的判定示通法充分条件和必要条件的3种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么,结论q是什么;②尝试由条件p推结论q,由结论q推条件p;③确定条件p和结论q的关系.(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如二p是二g的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件.(3)集合法：根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件“|AB+AC|>|BC”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件即ab≤4,充分性成立；当a=4,b=1时，满足ab≤4,足a+b≤4,必要性不成立.故“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，选A.∴“x²-5x<0”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件，故选B.[逆向问题](2019·湘东五校联考)“不等式x²—x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()C.m>0C[若不等式x²—x+m>0在R上恒成立，则△=(-1)²—4m<0,解得m因此当不等式x²—x+m>0在R上恒成立时，必有m>0,但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.]巧点评判断充要条件需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么.(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断.(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明.A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件∵x=—1→x=—1或x=6,而x=—1或x=6推不出x=—1,∴“x=—1”是“x—5x—6=0”的充分而不必要条件，故选B.]2.给定两个命题p,q,若□p是q的必要不充分条件，则p是二q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A[因为一p是q的必要不充分条件，所以q→7p,但一p≠q,其等价3.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”,请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的()A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件D[非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”,不是充分条件.]O考点2充分条件、必要条件的应用示通法根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解.m},若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为由x∈P是x∈S的必要条件，知SEP.又S为非空集合，儿即所求m的取值范围是[0,3].][母题探究]把本例中的“必要条件”改为“充分条件”,求m的取值范[解]由x∈P是x∈S的充分条件，知PES,则即所求m的取值范围是(9,十○).巧点评利用充要条件求参数的2个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍.提醒：含有参数的问题，要注意分类讨论.做典题设n∈N,则一元二次方程x²-4x+n=0有整数根的充要条件是n3或4[由△=16—4n≥0,得n≤4,当n=1,2时，方程没有整数根；当n=3时，方程有整数根1,3,当n=4时，方程有整数根2.[最新考纲]1.理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.夯实基础知识课前自主回顾扫除双基盲点1.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词.通常用符号“Vx”表示“任意x”.(2)存在量词：“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑2.全称命题和存在性命题命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x,都有p(x)成立存在性命题存在M中的一个x,使p(x)成立3.全称命题和存在性命题真假的判断(1)全称命题为真，严格证明；全称命题为假，列举反例；(2)存在性命题为真，列举特例；存在性命题为假，严格证明.[常用结论][常用结论]含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”.一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)3x∈M,p(x)与Vx∈M,□p(x)的真假性相反.()(2)命题“末位数字都是0的整数能被5整除”的否定为“末位数字都不是0的整数不能被5整除”.()(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.()(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题.()二、教材改编1.命题“Vx∈R,x²+x≥0”的否定是()C.Vx∈R,x²+x≤0D.Vx∈R,x²+x<0B[由全称命题的否定是存在性命题知选项B正确.故选B.]2.下列命题中的假命题是()A.3x₀∈R,lgxo=1B.3x₀∈R,sinxo=0C.Vx∈R,x³>0D.Vx∈R,2“>0为真命题；当x≤0时，x³≤0,则C为假命题；由指数函数的性质知，Vx∈R,2”>0,则D为真命题.故选C.]3.若tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为,故m≥1,即m的最小值为1.]4.命题“实数的平方都是正数”的否定是存在一个实数的平方不是正数[全称命题的否定是存在性命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数.]课堂考点探究破解高考疑难考点1全称命题、存在性命题示通法(1)全称命题与存在性命题的否定①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写.②否定结论：对原命题的结论进行否定.(2)全称命题与存在性命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真存在性命题真存在一个对象使命题真否定为假▶考向1全称命题、存在性命题的否定讲典例(1)(2019·西安模拟)命题“Vx>0,的否定是()A.3x<0,B.3x>0(2)已知命题p:3m∈R,f(x)=2*—mx是增函数，则□p为()A.3m∈R,f(x)=2“—mx是减函数B.Vm∈R,f(x)=2“—mx是减函数C.3m∈R,f(x)=2“—mx不是增函数D.Vm∈R,f(x)=2“—mx不是增函数所的否定是0≤x≤1,所以命题的否定是3x>0,0≤x≤1,故选B.(2)由存在性命题的否定可得□p为“Vm∈R,f(x)=2“—mx不是增函p(x₀),简记：改量词，否结论.▶考向2全称命题、存在性命题的真假判断讲典例(1)下列命题中的假命题是()D.3x₀∈R,sinxo+cos,;其中的真命题是()(1)D(2)D[(1)A显然正确；由指数函数的性质知2¹>0恒成立，所以(2)对于p,当x∈(0,十一)时，总成立，故p₁是假命于ps,结合指数函数与对数函数在(0,十一)上的图象，可以判断ps是假命题；对于p,结合指数函数对数函数上的图象可以判断p是真命题.]命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.B.Vn∈N,f(n)4N或f(n)>n否定为存在性命题，故选D.]2.已知命题使得cosx₀≤xo,则绨p为,是 命题(填“真”或“假”).此命题是假命题.]际通法根据命题真假求参数的方法步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况).(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围.(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.p或q为假命题，求实数m的取值范围.[解]依题意知p,q均为假命题，当p是假命题时，mx²+1>0恒成立，则有m≥0;当q是真命题时，则有△=m²-4<0,—2<m<2.因此由p,q均为假命题即m≥2.所以实数m的取值范围为(2,十○).[母题探究]1.(变问法)在本例条件下，若pAq为真，求实数m的取值范围.[解]依题意知p,q均为真命题，当p是真命题时，有m<0;当q是真命题时，有一2<m<2,可得一2<m<0.所以实数m的取值范围为(-2,0).2.(变问法)在本例条件下，若pAq为假，pVq为真，求实数m的取值范所以m≤-2;所以0≤m<2.所以m的取值范围是(一0,—2)U[0,2).巧点评根据命题的真假求参数取值范围的策略值解决.毒毒3x₂∈[1,2],使得f(x₁)≥g(x₂),则实数m的取值范围是(若对Vx∈[0,3],)所以故选A.]2.已知命题p:关于x的方程x²-ax+4=0有实根；命题q:关于x的函数y=2x+ax+4在(3,十○)上是增函数.若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是或a≥4;命题q等价于事即a≥-12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假.若p真q假，则a<—12;若p假q真，则一4<a<4.故a的取值范围是(一0,—12)U(-4,4).]第四节不等式的性质与一元二次不等式[最新考纲]1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.课前自主回顾1.两个实数比较大小的方法(1)作差2.不等式的性质(7)倒数性质：设ab>0,则3.“三个二次”的关系判别式△=b²—二次函数y=ax+bx+c(a>0)的图象一元二次方程(a>0)的根有两相异实根有两相等实根x₁=x₂=没有实数根c>0(a>0)的解集 ax²+bx十c<0(a>0)的解集 2.(x—a)(x—b)>0或(x—a)(x—b)<0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间.3.恒成立问题的转化：a>f(x)恒成立→a>f(x);a≤f(x)恒成立4.能成立问题的转化：a>f(x)能成立→a>f(x)ain;a≤f(x)能成立一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(2)若不等式ax²+bx+c<0的解集为(x₁,x₂),则必有a>0.()(3)若方程ax²+bx+c=0(a<0)没有实数根，则不等式ax²+bx+c>0的解(4)不等式ax+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且△=b²-4ac≤0.二、教材改编解得0≤x≤3.]2.设A=(x—3)²,B=(x—2)(x—4),则A与B的大小关系为()A.A≥BB.A>BC.A≤B∴A>B,故选B.]A.充分不必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.若不等式ax²+bx+2>0的解集则a+b=事-14[由题意知是方程ax²+bx+2=0的两个根，事课堂考点探究破解高考疑难理化、通分等).单调性比较.做典题1.若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是()A.a+c≥b—cB.(a—b)c²≥0q=a+b的大小关系为()A.p<qB.p≤qB[法一：(作差法综上，p≤q.故选B.法二：(特殊值排除法)令a=b=—1,则p=q=—2,排除选项A、C;令a=-1,b=-2,则p<q,排除选项D.故选B.]C[法一：由函数y=lnx的图象(图略)知，当0<a—b)<0,故A不正确；因为函数y=3*在R上单调递增，所以当a>b时，3">3°,故B不正确；因为函数y=x³在R上单调递增，所以当a>b时，a>b,即a³-b>0,故C正确；当b<a<0时，|a|<|b,故D不正确.故选C.A,B,D.故选C.]围是[5,10][法一：(待定系数法)设f(一2)=mf(一1)+nf(1)(m,n为待定系即4a—2b=(m+n)a+(n—m)b.解于是解∴f(一2)=3f(一1)+f(1).又∵1≤f(一1)≤2,2≤f(1)≤4.∴5≤3f(一1)+f(1)≤10,故5≤f(一2)≤10.法二：(运用方程思想)∴f(一2)=4a—2b=3f(一1)+f(1).又∵1≤f(一1)≤2,2≤f(1)≤4,巧点评(1)尽管特值法可以较快的排除干扰选项，但直接应用该法作出正确判断是有风险的，如T₂,T₃.(2)利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件，如T₁,O考点2一元二次不等式的解法示通法解一元二次不等式的一般步骤一化一化把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式计算对应方程的判别式程有没有实根(2)ax²-(a+1)x+1<0(a∈R).[解](1)原不等式化为x-2x—3≤0,故所求不等式的解集为{x|-1≤x≤3}.(2)若a=0,原不等式等价于一x+1<0,解得x>1.若a<0,原不等式等价x>1.若a>0,原不等式等价于综上所述：当a<0时，解集时，解集为{xx>1};当0<a<1时，解集时，解集为a;a>1时，解集将本例(2)中不等式改为x²—(a+1)x+a<0(a∈R),求不等式将本例(2)中不等式改为x²—(a+1)x+a<0(a∈R),求不等式[解]原不等式可化为(x—a)(x—1)<0,当a>1时，原不等式的解集为(1,a);时，原不等式的解集为a;a<1时，原不等式的解集为(a,1).巧点评解含参不等式的分类讨论依据二次项若含有参数应讨论是等二次项若含有参数应讨论是等讨论二次于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式判断方程判断方程的根的个数，讨论判根的个数别式△与0的关系确定无根时可直接写出解集，讨论两根确定方程有两个根时，要讨论的大小两根的大小关系，从而确定解集形式[解]对于方程x²-2ax+2=0,因为△=4a²-8.{x|a-√a-2≤x≤a+√a-2}.做典题1.(2019·济南模拟)已知不等式ax²-5x+b>0的解集为则不等式bx²-5x+a>0的解集为()C.{xl-3<x<2D.{xlx<-3或解解得一3<x<2,故选C.]的解集为[将原不等式移项通分得∴原不等式的解集3.解不等式12x²-ax>a²(a∈R).[解]原不等式可化为12x²-ax-a²>0,解得当a>0时，不等式的解集当a=0时，不等式的解集为(一0,0)U(0,十一);当a<0时，不等式的解集考点3一元二次不等式恒成立问题考向1在R上恒成立，求参数的范围示通法一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件讲典例不等式(a-2)x²+2(a-2)x-取值范围是时，不等式即为-4<0,对一切x∈R恒成当a≠2时，则综上，可得实数a的取值范围是(-2,2).)若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为A.(—3,0)B.(-3,0)C.[—3,0]D.(一3,0)D[当k=0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式对一切实数x都成立，则解得—3<k<0.综上，满足不等式对一切实数x都成立的k的取值范围是▶考向2在给定区间上恒成立，求参数的范围示通法在给定某区间上恒成立，形如f(x)>0或的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.讲典例[一题多解]已知函数f(x)=mx²-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<5一m恒成立，求实数m的取值范围.即在x∈[1,3]上恒成立.有以下两种方法：法一：(函数最值法)令当m=0时，—6<0恒成立；综上所述，m的取值范围法二：(分离参数法)因为又因为m(x²—x+1)—6<0,所以在[1,3]上的最小值所以只需即所以m的取值范围是[母题探究]若将“f(x)<5—m恒成立”改为“存在x,使立”,如何求m的取值范围?[解]由题意知f(x)<5—m有解，又x∈[1,3],得m<6,即m的取值范围为(一0,6).巧点评函数最值法、分离参数法及数形结合法是解决不等式在给定某区间上恒成立问题的三种常用方法.每种方法对于不同试题各有优劣，要牢牢掌握，灵活使用，特别是数形结合时，满足条件的图象要画全，画对.二次函数问题建议多考虑，对应二次函数图象，建议恒成立或能成立问题求参数范围时，首选分离参数法.(-5,十0)[由不等式x+ax+4≥0对一切x∈(0,1]恒成立，得对一切x∈(0,1)恒成立.则只要a≥[f(x)]..即可.2.若不等式x²+mx—1<0对于任意x∈[m,m+1]都成立，则实数m的取[由题意，得函数f(x)=x²+mx—1在[m,m+1]上的最大值小于0,又抛物线f(x)=x²+mx—1开口向上，所以只即即g(k)=(x—2)k+(x²-4x+4)>0,在k∈[-1,1]时恒成立.解得x<1或x>3.]做典题函数f(x)=x+ax+3.∴实数a的取值范围是[-6,2].①如图1,当g(x)的图象与x轴不超过1个交点时，②如图2,g(x)的图象与x轴有2个交点，即可解得a∈0.③如图3,g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x∈[一。,2]时，g(x)≥0.综上，实数a的取值范围是[-7,2].第五节基本不等式[最新考纲]1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(1)基本不等式成立的条件：a≥0,b(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.2.两个重要的不等式(1)a²+b≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.当且仅当a=b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x≥0,y≥0,则记：积定和最小).和定积最大).[常用结论][常用结论]b同号),当且仅当a=b时取等号.一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个不等式a²+b²≥2ab与成立的条件是相同的.(2)若a>0,则的最小值为2√a.()(3)函数π)的最小值为4.()(4)x>0且y>0的充要条件.()二、教材改编1.设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为()A.80B.77当且仅当x=y=9时，等号成立.故选C.]A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为一2D.有最大值，且最大值为一2D[因为x<0,事事当且仅当x=—1时，等号成立，3.函数的最小值为当且仅当即x=3时取等号.]4.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 25[设矩形的一边为xm,矩形场地的面积为y,则另一边则▶考向1配凑法求最值示通法配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形,式(如：凑成的形式等),然后利用基本不等式求解最值的方,讲典例(1)(2019·大连模拟)已知a,b是正数，且4a+3b=6,则a(a+3b)的最大值是()(3)已知则的最小值为,此时x=当且仅当3a=a+3b,即a=1,b当且仅当事事[母题探究]把本例(3)中的条件,改为,则y=4x+当且仅当即x=1时，等号成立.的最大值为3.此时x=1.]巧点评(1)本例(1)解答易忽视两项和为定值的条件，常见的错误解法为：当且仅当a=a+3b,且4a(a+3b)的最大值,从而错选B.(2)应用拆项、添项法求最值时，应注意检验基本不等式的前提条件：“一正、二定、三相等”,如T(1),T(2.考向2常数代换法求最值际通法常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求解最值.4[因为a+b=1,所2+2=4.当且仅当a=b时，等号成立.][母题探究]1.若本例条件不变，的最小值.[解]当且仅当,等号成立.2.若将本例条件改为a+2b=3,如何求的最小值.所巧点评常数代换法主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),最值”的问题，先化再用基本不等式求最值.[教师备选例题]设a+b=2,b>0,贝取最小值时，a的值为当且仅当时等号成立.∴当b=—2a,a=—2时，得最小值.]做典题(2019·深圳市福田区模拟)已知a>1,b>0,a+b=2,C.3+2√2当且仅a+b=2时取等号.则的最小值故选A.]▶考向3消元法求最值示通法对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元).的最小值为()当且仅当即时取等号.A.]然巧点评求解本题的关键是将等式“2a+b=ab—1”变形为然后借助配凑法求最值.A.3C[由正实数a,b,c满足a²-2ab得又因为a²-2ab+9b²—c=0,所以此时c=12b²,故最大值为1.]考向4利用两次基本不等式求最值示通法当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性.讲典例已知a>b>0,那么的最小值为4[由题意a>b>0,则a—b>0,所以所以当且仅当b=a—b且即a=√2,时取等号，所以的最小值为4.]巧点评由于b+(a—b)为定值，故可求出b(a-b)的最大值，然后再由基本不等式求出题中所给代数式的最小值.所则的最小值为当且仅时取等号，i的最小值当且仅是4.](1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.讲典例经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少?(2)已知A,B两地相距120km,假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少?[解](1)当x∈[50,80]时，所以当x=65时，y取得最小值，最小值当x∈[80,120]时，函数单调递减，因为9<10,所以当x=65,即该型号汽车的速度为65km/h时，可使得每小时耗油量最少.(2)设总耗油量为1L,由题意可知当且仅当即x=70时，1取得最小值，最小值为16.所以当x=120时，1取得最小值，最小值为10.因为10<16,所以当速度为120km/h时，总耗油量最少.巧点评当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费.某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；(2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少?最少费用为多少?[解](1)因为年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)=其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费.由题意可得：A=6000,B=120,C事所以年存储成本费事若该化工厂每次订购300吨甲醇，所以年存储成本费为(2)因为年存储成本费,x>0,即x=500时，取等号.所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用示通法基本不等式的综合应用的2类问题(1)与函数、数列等知识交汇的最值问题：此类问题常以函数、数列等知识为载体，以基本不等式为解题工具，求解最值或取值范围.(2)求参数值或取值范围：对于此类题目，要观察题目特点，利用基本不等式确定相关关系式成立的条件，从而得参数的值或取值范围。讲典例(1)(2019·台州模拟)若两个正实数x,y满且存在这样的x,y使不等式有解，则实数m的取值范围是()B.(一4,1)(2)(2019·衡阳一模)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.函数y=[x](x∈R)称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[-2.1]=—3,[3.1]=3.已知函数则函数y=[f(x)]的值域是()A.{0,1}B.(0(3)(2019·定远模拟)已知在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,C.D.2√5式当且仅即x=2,y=8时取等号，∵存在x,y使不等,则函数y=[f(x)]的值域为{0,1},故选A.故选A.]巧点评条件不等式的最值问题，常通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.在转化过程中相应知识起到穿针连线的作用.做典题1.已知a>0,b>0,若不等成立，则m的最大值为()A.9B.12即a=3b时等号成立),∴m≤12,∴m的最大值为12.]2.两圆x+y-2my+m²—1=0和x²+y²-4nx+4n²-9=0恰有一条公切线，D[由题意可知两圆内切，x²+y²-2my+m²-1=0化为x²+(y-m)²=1,x²3.设等差数列{a}的公差是d,其前n项和是S₂(n∈N),若a₁=d=1,则事事事当且仅当n=4时取等号.的最小值]全国卷五年考情图解高考命题规律把握考点1.考查形式本章在高考中一般为2~3个客观题.2.考查内容高考中基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握.主要涉及函数奇偶性的判断，函数的图象，函数的奇偶性、指数、对数运算以及指数、对数函数的图象与性质，分段函数求函数值等.3.备考策略(1)重视函数的概念和基本性质的理解：深刻把握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等概念.研究函数的性质，注意分析函数解析式的特征，同时注意函数图象的作用.(2)重视对基本初等函数的研究，复习时通过选择、填空题加以训练和巩固，将问题和方法进行归纳整理.[最新考纲]1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数段).[必备知识填充]1.函数的概念函数映射两集合设A,B是非空的数集设A,B是非空的集合对应关系如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射记法映射f:A→B2.函数的有关概念在函数y=f(x),x∈A中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域.若A是函数y=f(x)的定义域，则对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应.所有输出值y组成的集合称为函数的值域.函数的值域可以用集合{y|y=f(x),x∈A}表示.相等，这是判断两函数相等的依据.若函数在其定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成，但是它表示的是一个函数.[常用结论][常用结论]1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(4)零次幂的底数不能为0.(5)y=a“(a>0且a≠1),y=sinx,y=cosx的定义域均为R.(7)y=tanx的定义域2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.a<0时，值域(4)y=a“(a>0且a≠1)的值域是(0,十○).(5)y=log₄x(a>0且a≠1)的值域是R.一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对于函数f:A→B,其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.(3)函数f(x)=x²,x∈[-1,2]的值域为[0,4].()(4)若A=R,B=(0,十○),f:x→y=|x|,则对应f可看作从A到B的映(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.()二、教材改编1.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是()B[由函数定义可知，选项B正确.]2.函数的定义域为()解得x≠3.]3.下列函数中，与函数y=x+1D.(3,十一)是相等函数的是()且函数定义域为R,故选B.](1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.A.(0,2)B.(0,2)故其定义域是(0,2).]的定义域为[要使函数f(x)有意义，则(log₂x)²-1>0,即log₂X故所求函数的定义域b的值为∴不等式ax²+abx+b≥0的解集为{x|1≤x≤2}.可知a<0,不等式化为a(x—1)(x—2)≥0,巧点评求函数定义域时，对函数解析式先不要化简，求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式.若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符合“U”连接.(如T₂).a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.解得1≤x≤3.故f(x+1)+f(x—1)的定义域为[1,3].]f(x)的定义域为2.函数f(x—1)的定义域为[0,2020],则函数的定义域为(-2,1)U(1,2018][∵函数f(x-1)的定义域为[0,2020],∴-1≤x—1≤2019.∴函数g(x)的定义域为(-2,1)U(1,2018].)O考点2求函数的解析式示通法求函数解析式的4种方法及适用条件先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组),通过解方程(组)求出相应的待定系数.对于形如y=f(g(x))的函数解析式，令t=g(x),从中求出x=φ(t),然后代入表达式求出f(t),再将t换成x,得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围.由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(2)已知函数f(x)满足f(一x)+2f(x)=2“,求f(x).所解所法二：(换元法)法三：(配凑法)(2)(解方程组法)①×2—②,得3f(x)=2*+¹—2⁻*,即故f(x)的解析式是(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题.求出解析式后要标注x的取值范围.(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围.x²+1,函数f(x)的定义域是(0,十○),而不是(-0,十○).B[(换元法求解)得且x≠1).]A.(x+1)²B.(x—1)²C.x²—x+1D.x²+x+1把①中的x换[(解方程组法求解)联立①②可解此方程组可4.已知f(x)是二次函数，且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求的解析式.[解](待定系数法求解)设f(x)=ax²+bx+c(a≠0),由f(0)=0,知c=又由f(x+1)=f(x)+x+1,考向1求函数值示通法解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”,即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题.讲典例(1)(2019·合肥模拟)已知函数则f(f(1))=()2)=5,f(一1)=3,则f(f(一3))=()f(-1)=a¹+b=3,联立①②,结合0得,b=1,所以则,f(f(一3))=f(9)=log₃9=2,巧点评求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值.(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点.[教师备选例题]已知函数则的值为()A.—1B[依题意得2=1.故选B.]▶考向2求参数或自变量的值示通法解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可.一a)=当a>1时，由f(a)=—log₂(a+1)=—3,得a+1=8,解得a=7,f(a)=a²+2a+2=(a+1)²+1>0,f(f(a))=巧点评求解本题的关键是就a的取值讨论f(a)的情形，另本题也可作出f(x)的图象，数形结合求解，即f(a)=0或f(a)=-2,从而求得a的值.考向3分段函数与方程、不等式问题示通法解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论.如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解.则不等式f(x)<0的解集是(1,4)[不等式f(x)<0等价于故不等式f(x)<0的解集为(1,4).]巧点评本例借助图象较直观地求解得出不等式的解集，另注意求解时要思考全面，需考虑变量可能落在同一区间，也可能落在不同区间的情况.[教师备选例题]设函数则满足的x的取值范[根据分段函数的性质分情况讨论，当x≤0时，则f(x)十当x>0时，根据指数函数的图象和性质以及一次函数的性质与图象可得，恒成立，所以x的取值范围A.—2B.4B[由题意得2.已知函数则使f(x)=2的x的集合是()3.(2018·全国卷I)设函数则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是()大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x+1)<f(2x),则需所以x<0,故选D.] 课外素养提升①数学抽象——函数的新定义问题以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”,引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题.【典例】(2019·深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数.给出下列函数：①f(x)=sin2x;②g(x)=其中是一阶整点函数的是()A.①②③④B.①③④C[对于函数f(x)=sin2x,它的图象(图略)只经过一个整点(0,0),所以它是一阶整点函数，排除D;对于函数g(x)=x³,它的图象(图略)经过整点(0,0),(1,1),…,所以它不是一阶整点函数，排除A;对于函数它的图象(图略)经过整点(0,1),(-1,3),…,所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.][评析]本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解.如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解.【素养提升练习】1.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x²+1,值域为{1,3}的同族函数有()个.]2.若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x,使得f(一x)=f(x),则称f(x)为“类偶函数”,则下列函数中为类偶函数的是()A.f(x)=cosxB.f(x)=sinxC.f(x)=x²-2xD.f(x)=x³-2xD[A中函数为偶函数，则在定义域内均满足f(x)=f(一x),不符合题意；得x-2x=-x+2x,解得x=0或x=±√2,满足题意，故选D.][最新考纲]1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.夯实基础知识课前自主回顾1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,X₂定义当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的0自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义前提函数y=f(x)的定义域为A,存在x∈A条件结论f(x)为y=f(x)的最大值f(x₀)为y=f(x)的最小值记法Vaan=f(x₀)Vin=f(x₀)[常用结论] (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数单调递减区间是(一0,0)U(0,十一).()(2)若定义在R上的函数f(x)有f(一1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函(3)函数y=f(x