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文档简介

黑龙江省虎林市2025届高三六校第一次联考数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,若正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为,则下列结论正确的是()A. B. C. D.2.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,它历史悠久,风格独特,神兽人们喜爱.下图即是一副窗花,是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点,则该点不落在任何一个小正方形内的概率是()A. B. C. D.3.已知,椭圆的方程,双曲线的方程为,和的离心率之积为,则的渐近线方程为()A. B. C. D.4.已知向量,,则向量与的夹角为()A. B. C. D.5.tan570°=()A. B.- C. D.6.已知复数是纯虚数,其中是实数,则等于()A. B. C. D.7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()A. B.C. D.8.已知双曲线:的左右焦点分别为,,为双曲线上一点,为双曲线C渐近线上一点,,均位于第一象限,且,,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.9.函数的图象为C,以下结论中正确的是()①图象C关于直线对称;②图象C关于点对称;③由y=2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③10.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸11.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析,随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩,并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图,如图所示,则成绩在,内的学生人数为()A.800 B.1000 C.1200 D.160012.已知函数,.若存在,使得成立,则的最大值为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,那么______.14.有2名老师和3名同学,将他们随机地排成一行,用表示两名老师之间的学生人数,则对应的排法有______种;______;15.在等差数列()中,若,,则的值是______.16.某高校组织学生辩论赛,六位评委为选手成绩打出分数的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分,去掉一个最低分,则所剩数据的平均数与中位数的差为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设,函数.(1)当时,求在内的极值;(2)设函数,当有两个极值点时,总有,求实数的值.18.(12分)在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为(为参数),直线与曲线分别交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若点的极坐标为,,求的值.19.(12分)已知抛物线的顶点为原点,其焦点关于直线的对称点为,且.若点为的准线上的任意一点,过点作的两条切线,其中为切点.(1)求抛物线的方程;(2)求证:直线恒过定点,并求面积的最小值.20.(12分)已知函数,函数.(Ⅰ)判断函数的单调性;(Ⅱ)若时,对任意,不等式恒成立,求实数的最小值.21.(12分)已知数列中,(实数为常数),是其前项和,且数列是等比数列,恰为与的等比中项.(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列的通项公式;(3)若,当时,的前项和为,求证:对任意,都有.22.(10分)已知a>0,证明:1.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据题意,画出几何位置图形,由图形的位置关系分别求得的值,即可比较各选项.【详解】如下图所示,平面,从而平面,易知与正方体的其余四个面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且与正方体的其余四个面所在平面均相交,∴,∴结合四个选项可知,只有正确.故选:A.【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用,对空间想象能力要求较高,属于中档题.2、D【解析】

由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解.【详解】由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为,所以所求概率,故选:D【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.3、A【解析】

根据椭圆与双曲线离心率的表示形式,结合和的离心率之积为,即可得的关系,进而得双曲线的离心率方程.【详解】椭圆的方程,双曲线的方程为,则椭圆离心率,双曲线的离心率,由和的离心率之积为,即,解得,所以渐近线方程为,化简可得,故选:A.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用,椭圆与双曲线离心率表示形式,双曲线渐近线方程求法,属于基础题.4、C【解析】

求出,进而可求,即能求出向量夹角.【详解】解:由题意知,.则所以,则向量与的夹角为.故选:C.【点睛】本题考查了向量的坐标运算,考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时,通常代入公式进行计算.5、A【解析】

直接利用诱导公式化简求解即可.【详解】tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=.故选:A.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值,主要考查诱导公式的应用,属于基础题.6、A【解析】

对复数进行化简,由于为纯虚数,则化简后的复数形式中,实部为0,得到的值,从而得到复数.【详解】因为为纯虚数,所以,得所以.故选A项【点睛】本题考查复数的四则运算,纯虚数的概念,属于简单题.7、B【解析】

还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体,分别求解两个部分的体积,加和得到结果.【详解】由三视图还原可知,原几何体下半部分为半个圆柱,上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为:四棱锥体积为:原几何体体积为:本题正确选项:【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题,关键在于能够准确还原几何体,从而分别求解各部分的体积.8、D【解析】由双曲线的方程的左右焦点分别为,为双曲线上的一点,为双曲线的渐近线上的一点,且都位于第一象限,且,可知为的三等分点,且,点在直线上,并且,则,,设,则,解得,即,代入双曲线的方程可得,解得,故选D.点睛:本题考查了双曲线的几何性质,离心率的求法,考查了转化思想以及运算能力,双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).9、B【解析】

根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识,判断出正确的结论.【详解】因为,又,所以①正确.,所以②正确.将的图象向右平移个单位长度,得,所以③错误.所以①②正确,③错误.故选:B【点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心,考查三角函数图象变换,属于基础题.10、B【解析】试题分析:根据题意可得平地降雨量,故选B.考点:1.实际应用问题;2.圆台的体积.11、B【解析】

由图可列方程算得a,然后求出成绩在内的频率,最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在内的学生人数.【详解】由频率和为1,得,解得,所以成绩在内的频率,所以成绩在内的学生人数.故选:B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用,属基础题.12、C【解析】

由题意可知,,由可得出,,利用导数可得出函数在区间上单调递增,函数在区间上单调递增,进而可得出,由此可得出,可得出,构造函数,利用导数求出函数在上的最大值即可得解.【详解】,,由于,则,同理可知,,函数的定义域为,对恒成立,所以,函数在区间上单调递增,同理可知,函数在区间上单调递增,,则,,则,构造函数,其中,则.当时,,此时函数单调递增;当时,,此时函数单调递减.所以,.故选:C.【点睛】本题考查代数式最值的计算,涉及指对同构思想的应用,考查化归与转化思想的应用,有一定的难度.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由已知利用诱导公式可求,进而根据同角三角函数基本关系即可求解.【详解】∵,∴,,∴.故答案为:.【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式,属于基础题.14、36;1.【解析】

的可能取值为0,1,2,3,对应的排法有:.分别求出,,,,由此能求出.【详解】解:有2名老师和3名同学,将他们随机地排成一行,用表示两名老师之间的学生人数,则的可能取值为0,1,2,3,对应的排法有:.∴对应的排法有36种;,,,,∴故答案为:36;1.【点睛】本题考查了排列、组合的应用,离散型随机变量的分布列以及数学期望,属于中档题.15、-15【解析】

是等差数列,则有,可得的值,再由可得,计算即得.【详解】数列是等差数列,,又,,,故.故答案为:【点睛】本题考查等差数列的性质,也可以由已知条件求出和公差,再计算.16、【解析】

先根据茎叶图求出平均数和中位数,然后可得结果.【详解】剩下的四个数为83,85,87,95,且这四个数的平均数,这四个数的中位数为,则所剩数据的平均数与中位数的差为.【点睛】本题主要考查茎叶图的识别和统计量的计算,侧重考查数据分析和数学运算的核心素养.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)极大值是,无极小值;(2)【解析】

(1)当时,可求得,令,利用导数可判断的单调性并得其零点,从而可得原函数的极值点及极大值;(2)表示出,并求得,由题意,得方程有两个不同的实根,,从而可得△及,由,得.则可化为对任意的恒成立,按照、、三种情况分类讨论,分离参数后转化为求函数的最值可解决;【详解】(1)当时,.令,则,显然在上单调递减,又因为,故时,总有,所以在上单调递减.由于,所以当时,;当时,.当变化时,的变化情况如下表:+-增极大减所以在上的极大值是,无极小值.(2)由于,则.由题意,方程有两个不等实根,则,解得,且,又,所以.由,,可得又.将其代入上式得:.整理得,即当时,不等式恒成立,即.当时,恒成立,即,令,易证是上的减函数.因此,当时,,故.当时,恒成立,即,因此,当时,所以.综上所述,.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识,考查分类讨论思想、转化思想,考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力,该题综合性强,难度大,对能力要求较高.18、(1)曲线的直角坐标方程为即,直线的普通方程为;(2).【解析】

(1)利用代入法消去参数方程中的参数,可得直线的普通方程,极坐标方程两边同乘以利用即可得曲线的直角坐标方程;(2)直线的参数方程代入圆的直角坐标方程,根据直线参数方程的几何意义,利用韦达定理可得结果.【详解】(1)由,得,所以曲线的直角坐标方程为,即,直线的普通方程为.(2)将直线的参数方程代入并化简、整理,得.因为直线与曲线交于,两点.所以,解得.由根与系数的关系,得,.因为点的直角坐标为,在直线上.所以,解得,此时满足.且,故..【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式(如等三角恒等式)消去参数化为普通方程,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程,利用关系式,等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化,这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程,用直角坐标方程解决相应问题.19、(1)(2)见解析,最小值为4【解析】

(1)根据焦点到直线的距离列方程,求得的值,由此求得抛物线的方程.(2)设出的坐标,利用导数求得切线的方程,由此判断出直线恒过抛物线焦点.求得三角形面积的表达式,进而求得面积的最小值.【详解】(1)依题意,解得(负根舍去)∴抛物线的方程为(2)设点,由,即,得∴抛物线在点处的切线的方程为,即∵,∴∵点在切线上,①,同理,②综合①、②得,点的坐标都满足方程.即直线恒过抛物线焦点当时,此时,可知:当,此时直线直线的斜率为,得于是,而把直线代入中消去得,即:当时,最小,且最小值为4【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式,考查抛物线方程的求法,考查抛物线的切线方程的求法,考查直线过定点问题,考查抛物线中三角形面积的最值的求法,考查运算求解能力,属于难题.20、(1)故函数在上单调递增,在上单调递减;(2).【解析】试题分析:(Ⅰ)根据题意得到的解析式和定义域,求导后根据导函数的符号判断单调性.(Ⅱ)分析题意可得对任意,恒成立,构造函数,则有对任意,恒成立,然后通过求函数的最值可得所求.试题解析:(I)由题意得,,∴.当时,,函数在上单调递增;当时,令,解得;令,解得.故函数在上

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