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文档简介
2025届福建省上杭县一中高三压轴卷数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合,集合,则=()A. B. C. D.R2.函数f(x)=2x-3A.[32C.[323.已知直线是曲线的切线,则()A.或1 B.或2 C.或 D.或14.已知,是函数图像上不同的两点,若曲线在点,处的切线重合,则实数的最小值是()A. B. C. D.15.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是()A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B.全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C.全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势6.已知抛物线:,直线与分别相交于点,与的准线相交于点,若,则()A.3 B. C. D.7.中国的国旗和国徽上都有五角星,正五角星与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以、、、、为顶点的多边形为正五边形,且,则()A. B. C. D.8.下列函数中既关于直线对称,又在区间上为增函数的是()A.. B.C. D.9.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-xA.(1,+∞) B.(1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞)10.平行四边形中,已知,,点、分别满足,,且,则向量在上的投影为()A.2 B. C. D.11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.12.的展开式中,项的系数为()A.-23 B.17 C.20 D.63二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,,,则__________.14.在的二项展开式中,所有项的系数的和为________15.利用等面积法可以推导出在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值,类比上述结论,利用等体积法进行推导,在棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值,则这个定值是______16.已知双曲线()的左右焦点分别为,为坐标原点,点为双曲线右支上一点,若,,则双曲线的离心率的取值范围为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)随着互联网金融的不断发展,很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品,如蚂蚁金服旗下的“余额宝”,腾讯旗下的“财富通”,京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况,随机抽取1200名使用理财产品的市民,按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表:分组频数(单位:名)使用“余额宝”使用“财富通”使用“京东小金库”30使用其他理财产品50合计1200已知这1200名市民中,使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.(1)求频数分布表中,的值;(2)已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为,“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中,从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人,然后从这7人中随机选取2人,假设这2人中每个人理财的资金有10000元,这2名市民2018年理财的利息总和为,求的分布列及数学期望.注:平均年化收益率,也就是我们所熟知的利息,理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品,一年可以获得3元利息.18.(12分)我们称n()元有序实数组(,,…,)为n维向量,为该向量的范数.已知n维向量,其中,,2,…,n.记范数为奇数的n维向量的个数为,这个向量的范数之和为.(1)求和的值;(2)当n为偶数时,求,(用n表示).19.(12分)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩,并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图:(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率;(Ⅱ)从图中考核成绩满足的学生中任取2人,求至少有一人考核优秀的概率;(Ⅲ)记表示学生的考核成绩在区间的概率,根据以往培训数据,规定当时培训有效.请根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训活动是否有效,并说明理由.20.(12分)从抛物线C:()外一点作该抛物线的两条切线PA、PB(切点分别为A、B),分别与x轴相交于C、D,若AB与y轴相交于点Q,点在抛物线C上,且(F为抛物线的焦点).(1)求抛物线C的方程;(2)①求证:四边形是平行四边形.②四边形能否为矩形?若能,求出点Q的坐标;若不能,请说明理由.21.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为:(其中为参数),直线的参数方程为(其中为参数)(1)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线的极坐标方程;(2)若曲线与直线交于两点,点的坐标为,求的值.22.(10分)在直角坐标系中,点的坐标为,直线的参数方程为(为参数,为常数,且).以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,建立极坐标系,圆的极坐标方程为.设点在圆外.(1)求的取值范围.(2)设直线与圆相交于两点,若,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】试题分析:由题,,,选D考点:集合的运算2、A【解析】
根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【详解】因为函数y=2x-3解得x≥32且∴函数f(x)=2x-3+1【点睛】定义域的三种类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3)若已知函数fx的定义域为a,b,则函数fgx3、D【解析】
求得直线的斜率,利用曲线的导数,求得切点坐标,代入直线方程,求得的值.【详解】直线的斜率为,对于,令,解得,故切点为,代入直线方程得,解得或1.故选:D【点睛】本小题主要考查根据切线方程求参数,属于基础题.4、B【解析】
先根据导数的几何意义写出在两点处的切线方程,再利用两直线斜率相等且纵截距相等,列出关系树,从而得出,令函数,结合导数求出最小值,即可选出正确答案.【详解】解:当时,,则;当时,则.设为函数图像上的两点,当或时,,不符合题意,故.则在处的切线方程为;在处的切线方程为.由两切线重合可知,整理得.不妨设则,由可得则当时,的最大值为.则在上单调递减,则.故选:B.【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了推理论证能力,考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出和的函数关系式.本题的易错点是计算.5、D【解析】
根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由绘制出的折线图知:在A中,各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关,故A正确;在B中,全年中,2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大,故B正确;在C中,全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5个,故C正确;在D中,从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值,先上升后下降,故D错误.故选:D.【点睛】本题考查了折线图,意在考查学生的理解能力.6、C【解析】
根据抛物线的定义以及三角形的中位线,斜率的定义表示即可求得答案.【详解】显然直线过抛物线的焦点如图,过A,M作准线的垂直,垂足分别为C,D,过M作AC的垂线,垂足为E根据抛物线的定义可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M为AN的中点,所以MD为三角形NAC的中位线,故MD=CE=EA=AC设MF=t,则MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故选:C【点睛】本题考查求抛物线的焦点弦的斜率,常见于利用抛物线的定义构建关系,属于中档题.7、A【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义,便可解决问题.【详解】解:.故选:A【点睛】本题以正五角星为载体,考查平面向量的概念及运算法则等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.8、C【解析】
根据函数的对称性和单调性的特点,利用排除法,即可得出答案.【详解】A中,当时,,所以不关于直线对称,则错误;B中,,所以在区间上为减函数,则错误;D中,,而,则,所以不关于直线对称,则错误;故选:C.【点睛】本题考查函数基本性质,根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性,属于基础题.9、B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2).故选B.10、C【解析】
将用向量和表示,代入可求出,再利用投影公式可得答案.【详解】解:,得,则向量在上的投影为.故选:C.【点睛】本题考查向量的几何意义,考查向量的线性运算,将用向量和表示是关键,是基础题.11、A【解析】
利用已知条件画出几何体的直观图,然后求解几何体的体积.【详解】几何体的三视图的直观图如图所示,则该几何体的体积为:.故选:.【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积,判断几何体的形状是解题的关键.12、B【解析】
根据二项式展开式的通项公式,结合乘法分配律,求得的系数.【详解】的展开式的通项公式为.则①出,则出,该项为:;②出,则出,该项为:;③出,则出,该项为:;综上所述:合并后的项的系数为17.故选:B【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识,考查理解能力,计算能力,分类讨论和应用意识.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、3【解析】
由题意得,,再代入中,计算即可得答案.【详解】由题意可得,,∴,解得,∴.故答案为:.【点睛】本题考查向量模的计算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力,求解时注意向量数量积公式的运用.14、1【解析】
设,令,的值即为所有项的系数之和。【详解】设,令,所有项的系数的和为。【点睛】本题主要考查二项式展开式所有项的系数的和的求法─赋值法。一般地,对于,展开式各项系数之和为,注意与“二项式系数之和”区分。15、【解析】
计算正四面体的高,并计算该正四面体的体积,利用等体积法,可得结果.【详解】作平面,为的重心如图则,所以设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为则故答案为:【点睛】本题考查类比推理的应用,还考查等体积法,考验理解能力以及计算能力,属基础题.16、【解析】
法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得,,,又由双曲线的定义得,将离心率表示成关于的式子,再令,则,令对函数求导研究函数在上单调性,可求得离心率的范围.法二:令,,,,,根据直角三角形的性质和勾股定理得,将离心率表示成关于角的三角函数,根据三角函数的恒等变化转化为关于的函数,可求得离心率的范围.【详解】法一:,,,,,,设,则,令,所以时,,在上单调递增,,,.法二:,,令,,,,,,,,,.故答案为:.【点睛】本题考查求双曲线的离心率的范围的问题,关键在于将已知条件转化为与双曲线的有关,从而将离心率表示关于某个量的函数,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)680元.【解析】
(1)根据题意,列方程,然后求解即可(2)根据题意,计算出10000元使用“余额宝”的利息为(元)和10000元使用“财富通”的利息为(元),得到所有可能的取值为560(元),700(元),840(元),然后根据所有可能的取值,计算出相应的概率,并列出的分布列表,然后求解数学期望即可【详解】(1)据题意,得,所以.(2)据,得这被抽取的7人中使用“余额宝”的有4人,使用“财富通”的有3人.10000元使用“余额宝”的利息为(元).10000元使用“财富通”的利息为(元).所有可能的取值为560(元),700(元),840(元).,,.的分布列为560700840所以(元).【点睛】本题考查频数分布表以及分布列和数学期望问题,属于基础题18、(1),.(2),【解析】
(1)利用枚举法将范数为奇数的二元有序实数对都写出来,再做和;(2)用组合数表示和,再由公式或将组合数进行化简,得出最终结果.【详解】解:(1)范数为奇数的二元有序实数对有:,,,,它们的范数依次为1,1,1,1,故,.(2)当n为偶数时,在向量的n个坐标中,要使得范数为奇数,则0的个数一定是奇数,所以可按照含0个数为:1,3,…,进行讨论:的n个坐标中含1个0,其余坐标为1或,共有个,每个的范数为;的n个坐标中含3个0,其余坐标为1或,共有个,每个的范数为;的n个坐标中含个0,其余坐标为1或,共有个,每个的范数为1;所以,.因为,①,②得,,所以.解法1:因为,所以..解法2:得,.又因为,所以.【点睛】本题考查了数列和组合,是一道较难的综合题.19、(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)见解析【解析】
(Ⅰ)根据茎叶图求出满足条件的概率即可;(Ⅱ)结合图表得到6人中有2个人考核为优,从而求出满足条件的概率即可;(Ⅲ)求出满足的成绩有16个,求出满足条件的概率即可.【详解】解:(Ⅰ)设这名学生考核优秀为事件,由茎叶图中的数据可以知道,30名同学中,有7名同学考核优秀,所以所求概率约为(Ⅱ)设从图中考核成绩满足的学生中任取2人,至少有一人考核成绩优秀为事件,因为表中成绩在的6人中有2个人考核为优,所以基本事件空间包含15个基本事件,事件包含9个基本事件,所以(Ⅲ)根据表格中的数据,满足的成绩有16个,所以所以可以认为此次冰雪培训活动有效.【点睛】本题考查了茎叶图问题,考查概率求值以及转化思想,是一道常规题.20、(1);(2)①证明见解析;②能,.【解析】
(1)根据抛物线的定义,求出,即可求抛物线C的方程;(2)①设,,写出切线的方程,解方程组求出点的坐标.设点,直线AB的方程,代入抛物线方程,利用韦达定理得到点的坐标,写出点的坐标,,可得线段相互平分,即证四边形是平行四边形;②若四边形为矩形,则,求出,即得点Q的坐标.【详解】(1)因为,所以,即抛物线C的方程是.(2)①证明:由得,.设,,则直线PA的方程为(ⅰ),则直线PB的方程为(ⅱ),由(ⅰ)
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