上海市市西初级中学2025届高三下学期第五次调研考试数学试题含解析_第1页
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文档简介

上海市市西初级中学2025届高三下学期第五次调研考试数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设复数满足,在复平面内对应的点为,则()A. B. C. D.2.已知点为双曲线的右焦点,直线与双曲线交于A,B两点,若,则的面积为()A. B. C. D.3.已知命题若,则,则下列说法正确的是()A.命题是真命题B.命题的逆命题是真命题C.命题的否命题是“若,则”D.命题的逆否命题是“若,则”4.A. B. C. D.5.已知椭圆的短轴长为2,焦距为分别是椭圆的左、右焦点,若点为上的任意一点,则的取值范围为()A. B. C. D.6.已知曲线的一条对称轴方程为,曲线向左平移个单位长度,得到曲线的一个对称中心的坐标为,则的最小值是()A. B. C. D.7.如图所示的程序框图,若输入,,则输出的结果是()A. B. C. D.8.在的展开式中,含的项的系数是()A.74 B.121 C. D.9.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行,中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务,要求每个人都要被派出去提供服务,且每个场地都要有志愿者服务,则甲和乙恰好在同一组的概率是()A. B. C. D.10.已知函数的最小正周期为,且满足,则要得到函数的图像,可将函数的图像()A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度11.已知a>0,b>0,a+b=1,若α=,则的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.612.在中,角、、的对边分别为、、,若,,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.的三个内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知,则________.14.在中,角、、所对的边分别为、、,若,,则的取值范围是_____.15.若函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数的值为________.16.已知,满足不等式组,则的取值范围为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)曲线在点处的切线斜率为.(i)求;(ii)若,求整数的最大值.18.(12分)已知函数.(Ⅰ)求在点处的切线方程;(Ⅱ)已知在上恒成立,求的值.(Ⅲ)若方程有两个实数根,且,证明:.19.(12分)如图,在三棱锥中,,,,平面平面,、分别为、中点.(1)求证:;(2)求二面角的大小.20.(12分)已知函数.(1)若在上为单调函数,求实数a的取值范围:(2)若,记的两个极值点为,,记的最大值与最小值分别为M,m,求的值.21.(12分)己知圆F1:(x+1)1+y1=r1(1≤r≤3),圆F1:(x-1)1+y1=(4-r)1.(1)证明:圆F1与圆F1有公共点,并求公共点的轨迹E的方程;(1)已知点Q(m,0)(m<0),过点E斜率为k(k≠0)的直线与(Ⅰ)中轨迹E相交于M,N两点,记直线QM的斜率为k1,直线QN的斜率为k1,是否存在实数m使得k(k1+k1)为定值?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由.22.(10分)如图,四棱锥中,底面是菱形,对角线交于点为棱的中点,.求证:(1)平面;(2)平面平面.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

设,根据复数的几何意义得到、的关系式,即可得解;【详解】解:设∵,∴,解得.故选:B【点睛】本题考查复数的几何意义的应用,属于基础题.2、D【解析】

设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,设,得,求出的值,即得解.【详解】设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,所以,.设,则,又.故,所以.故选:D【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质,考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3、B【解析】

解不等式,可判断A选项的正误;写出原命题的逆命题并判断其真假,可判断B选项的正误;利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】解不等式,解得,则命题为假命题,A选项错误;命题的逆命题是“若,则”,该命题为真命题,B选项正确;命题的否命题是“若,则”,C选项错误;命题的逆否命题是“若,则”,D选项错误.故选:B.【点睛】本题考查四种命题的关系,考查推理能力,属于基础题.4、A【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】本题正确选项:【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.5、D【解析】

先求出椭圆方程,再利用椭圆的定义得到,利用二次函数的性质可求,从而可得的取值范围.【详解】由题设有,故,故椭圆,因为点为上的任意一点,故.又,因为,故,所以.故选:D.【点睛】本题考查椭圆的几何性质,一般地,如果椭圆的左、右焦点分别是,点为上的任意一点,则有,我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题,本题属于基础题.6、C【解析】

在对称轴处取得最值有,结合,可得,易得曲线的解析式为,结合其对称中心为可得即可得到的最小值.【详解】∵直线是曲线的一条对称轴.,又..∴平移后曲线为.曲线的一个对称中心为..,注意到故的最小值为.故选:C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用,涉及到函数的平移、函数的对称性,考查学生数形结合、数学运算的能力,是一道中档题.7、B【解析】

列举出循环的每一步,可得出输出结果.【详解】,,不成立,,;不成立,,;不成立,,;成立,输出的值为.故选:B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果,一般要将算法的每一步列举出来,考查计算能力,属于基础题.8、D【解析】

根据,利用通项公式得到含的项为:,进而得到其系数,【详解】因为在,所以含的项为:,所以含的项的系数是的系数是,,故选:D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数,还考查了运算求解的能力,属于基础题,9、A【解析】

根据题意,五人分成四组,先求出两人组成一组的所有可能的分组种数,再将甲乙组成一组的情况,即可求出概率.【详解】五人分成四组,先选出两人组成一组,剩下的人各自成一组,所有可能的分组共有种,甲和乙分在同一组,则其余三人各自成一组,只有一种分法,与场地无关,故甲和乙恰好在同一组的概率是.故选:A.【点睛】本题考查组合的应用和概率的计算,属于基础题.10、C【解析】

依题意可得,且是的一条对称轴,即可求出的值,再根据三角函数的平移规则计算可得;【详解】解:由已知得,是的一条对称轴,且使取得最值,则,,,,故选:C.【点睛】本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则,属于基础题.11、C【解析】

根据题意,将a、b代入,利用基本不等式求出最小值即可.【详解】∵a>0,b>0,a+b=1,∴,当且仅当时取“=”号.

答案:C【点睛】本题考查基本不等式的应用,“1”的应用,利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是首先要判断参数是否为正;二定是其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是最后一定要验证等号能否成立,属于基础题.12、B【解析】

利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得,可得出,然后利用余弦定理求出的值,最后利用正弦定理可求出的值.【详解】,即,即,,,得,,.由余弦定理得,由正弦定理,因此,.故选:B.【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算,考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用,考查运算求解能力,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

利用正弦定理边化角可得,从而可得,进而求解.【详解】由,由正弦定理可得,即,整理可得,又因为,所以,因为,所以,故答案为:【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式,属于基础题.14、【解析】

计算出角的取值范围,结合正弦定理可求得的取值范围.【详解】,则,所以,,由正弦定理,.因此,的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题主要考查了正弦定理,正弦函数图象和性质,考查了转化思想,属于基础题.15、4【解析】

由题可分析函数与的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为,即,进而求解即可【详解】由题意得函数的最小正周期,解得故答案为:4【点睛】本题考查正弦型函数周期的应用,考查求正弦型函数中的16、【解析】

画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示,易知在点处取得最小值,即,所以由图可知的取值范围为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)在上增;在上减;(2)(i);(ii)2【解析】

(1)求导求出,对分类讨论,求出的解,即可得出结论;(2)(i)由,求出的值;(ii)由(i)得所求问题转化为,恒成立,设,,只需,根据的单调性,即可求解.【详解】(1)当时,,即在上增;当时,,,,,即在上增;在上减;(2)(i),.(ⅱ),即,即,只需.当时,,在单调递增,所以满足题意;当时,,,,所以在上减,在上增,令,..在单调递减,所以所以在上单调递减,,综上可知,整数的最大值为.【点睛】本题考查函数导数的综合应用,涉及函数的单调性、导数的几何意义、极值最值、不等式恒成立,考查分类讨论思想,属于中档题.18、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析【解析】

(Ⅰ)根据导数的几何意义求解即可.(Ⅱ)求导分析函数的单调性,并构造函数根据单调性分析可得只能在处取得最小值求解即可.(Ⅲ)根据(Ⅰ)(Ⅱ)的结论可知,在上恒成立,再分别设的解为、.再根据不等式的性质证明即可.【详解】(Ⅰ)由题,故.且.故在点处的切线方程为.(Ⅱ)设恒成立,故.设函数则,故在上单调递减且,又在上单调递增.又,即且,故只能在处取得最小值,当时,此时,且在上,单调递减.在上,单调递增.故,满足题意;当时,此时有解,且在上单调递减,与矛盾;当时,此时有解,且在上单调递减,与矛盾;故(Ⅲ).由(Ⅰ),在上单调递减且,又在上单调递增,故最多一根.又因为,,故设的解为,因为,故.所以在递减,在递增.因为方程有两个实数根,故.结合(Ⅰ)(Ⅱ)有,在上恒成立.设的解为,则;设的解为,则.故,.故,得证.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及根据函数的单调性与最值求解参数值的问题.同时也考查了构造函数结合前问的结论证明不等式的方法.属于难题.19、(1)证明见解析;(2)60°.【解析】试题分析:(1)连结PD,由题意可得,则AB⊥平面PDE,;(2)法一:结合几何关系做出二面角的平面角,计算可得其正切值为,故二面角的大小为;法二:以D为原点建立空间直角坐标系,计算可得平面PBE的法向量.平面PAB的法向量为.据此计算可得二面角的大小为.试题解析:(1)连结PD,PA=PB,PDAB.,BCAB,DEAB.又,AB平面PDE,PE平面PDE,∴ABPE.(2)法一:平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.则DEPD,又EDAB,PD平面AB=D,DE平面PAB,过D做DF垂直PB与F,连接EF,则EFPB,∠DFE为所求二面角的平面角,则:DE=,DF=,则,故二面角的大小为法二:平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.如图,以D为原点建立空间直角坐标系,B(1,0,0),P(0,0,),E(0,,0),=(1,0,),=(0,,).设平面PBE的法向量,令,得.DE平面PAB,平面PAB的法向量为.设二面角的大小为,由图知,,所以即二面角的大小为.20、(1);(2)【解析】

(1)求导.根据单调,转化为对恒成立求解(2)由(1)知,是的两个根,不妨设,令.根据,确定,将转化为.令,用导数法研究其单调性求最值.【详解】(1)的定义域为,.因为单调,所以对恒成立,所以,恒成立,因为,当且仅当时取等号,所以;(2)由(1)知,是的两个根.从而,,不妨设,则.因为,所以t为关于a的减函数,所以..令,则.因为当时,在上为减函数.所以当时,.从而,所以在上为减函数.所以当时,.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.21、(1)见解析,(1)存在,【解析】

(1)求出圆和圆的圆心和半径,通过圆F1与圆F1有公共点求出的范围,从而根据可得点的轨迹,进而求出方程;(1)过点且斜率为的直线方程为,设,,联立直线方程和椭圆方程,根据韦达定理以及,,可得,根据其为定值,则有,进而可得结果.【详解】(1)因为,,所以,因为圆的半径为,圆的半径为,又因为,所以,即,所以圆与圆有公共点,设公共点为,因此,所以点的轨迹是以,为焦点的椭圆,所以,,,即轨迹的方程为;(

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