云南省保山市云县一中2025届高考适应性考试数学试卷含解析

云南省保山市云县一中2025届高考适应性考试数学试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（）A． B． C． D．2．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．3．已知集合，，则集合的真子集的个数是（）A．8 B．7 C．4 D．34．已知下列命题：①“”的否定是“”；②已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；③“”是“”的充分不必要条件；④“若，则且”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（）A．③④ B．①② C．①③ D．②④5．复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知抛物线，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若，，则的面积为（）A． B． C． D．7．已知集合，则集合真子集的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．88．已知，则的大小关系是（）A． B． C． D．9．已知实数、满足约束条件，则的最大值为（）A． B． C． D．10．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（）A．2 B． C． D．311．设全集，集合，，则（）A． B． C． D．12．己知函数的图象与直线恰有四个公共点，其中，则（）A． B．0 C．1 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在△ABC中，E为边AC上一点，且，P为BE上一点，且满足，则的最小值为______．14．执行右边的程序框图，输出的的值为.15．实数，满足约束条件，则的最大值为__________.16．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若数列的前项和，，求证：数列的前项和.18．（12分）已知曲线：和：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.（1）求曲线的直角坐标方程和的方程化为极坐标方程；（2）设与，轴交于，两点，且线段的中点为.若射线与，交于，两点，求，两点间的距离.19．（12分）已知等差数列an,和等比数列b(I)求数列{an}(II)求数列n2an⋅a20．（12分）如图，已知四棱锥，平面，底面为矩形，，为的中点，.（1）求线段的长.（2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值.21．（12分）已知圆,定点,为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆，设动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程（2）过点的直线与交于两点，已知点，直线分别与直线交于两点，线段的中点是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.22．（10分）已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式可得结果.【详解】金、木、水、火、土任取两类，共有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，所以2类元素相生的概率为，故选A.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.2、B【解析】

直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数m，再用计算即可.【详解】依题意，，而，即，解得，则.故选：B.【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.3、D【解析】

转化条件得，利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.【详解】由题意得，，集合的真子集的个数为个.故选：D.【点睛】本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.4、B【解析】

由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．【详解】“”的否定是“”，正确；已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题，正确；“”是“”的必要不充分条件,错误；“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.故选：B．【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．5、B【解析】

设,则,可得,即可得到,进而找到对应的点所在象限.【详解】设,则,,,所以复数在复平面内所对应的点为,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.6、A【解析】

根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.【详解】由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则.由得,则.又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.故选：A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.7、C【解析】

解出集合，再由含有个元素的集合，其真子集的个数为个可得答案.【详解】解：由，得所以集合的真子集个数为个.故选：C【点睛】此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有个元素的集合，其真子集的个数为个，属于基础题.8、B【解析】

利用函数与函数互为反函数，可得，再利用对数运算性质比较a,c进而可得结论.【详解】依题意，函数与函数关于直线对称，则，即，又，所以，.故选：B.【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.9、C【解析】

作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点时，取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点时，取得最大值，最大值为.故选：C.【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.10、A【解析】

分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值.详解：由①得到，，故①无解，所以直线与抛物线是相离的.由，而为到准线的距离，故为到焦点的距离，从而的最小值为到直线的距离，故的最小值为，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.11、B【解析】

可解出集合，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】，，则，因此，.故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.12、A【解析】

先将函数解析式化简为，结合题意可求得切点及其范围，根据导数几何意义，即可求得的值.【详解】函数即直线与函数图象恰有四个公共点，结合图象知直线与函数相切于，，因为，故，所以.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】试题分析：根据题意有，因为三点共线，所以有，从而有，所以的最小值是．考点：向量的运算，基本不等式．【方法点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，属于中档题目，在解题的过程中，关键步骤在于对题中条件的转化，根据三点共线，结合向量的性质可知，从而等价于已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题，两式乘积，最后应用基本不等式求得结果，最后再加，得出最后的答案．14、【解析】初始条件成立方；运行第一次：成立；运行第二次：不成立；输出的值：结束所以答案应填：考点：1、程序框图；2、定积分.15、10【解析】

画出可行域，根据目标函数截距可求.【详解】解：作出可行域如下：由得，平移直线，当经过点时，截距最小，最大解得的最大值为10故答案为：10【点睛】考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题.16、【解析】

由已知条件得出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，计算出，利用二次函数的基本性质求出的最大值及其对应的值，即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由，解得，.所以，当时，取得最大值，对任意都有成立，则为数列的最大值，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列前项和最值的计算，一般利用二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)证明见解析.【解析】试题分析：将，求出切线方程求导后讨论当时和时的单调性证明，求出实数的取值范围先求出、的通项公式，利用当时，得，下面证明：解析：（Ⅰ）因为，所以，，切点为.由，所以，所以曲线在处的切线方程为，即（Ⅱ）由，令，则（当且仅当取等号）.故在上为增函数.①当时，,故在上为增函数，所以恒成立，故符合题意；②当时，由于，，根据零点存在定理，必存在，使得，由于在上为增函数，故当时，,故在上为减函数，所以当时，,故在上不恒成立，所以不符合题意.综上所述，实数的取值范围为（III）证明：由由（Ⅱ）知当时，，故当时，，故，故.下面证明：因为而，所以，，即：点睛：本题考查了利用导数的几何意义求出参数及证明不等式成立，借助第二问的证明过程，利用导数的单调性证明数列的不等式，在求解的过程中还要求出数列的和，计算较为复杂，本题属于难题．18、（1），；（2）1.【解析】

（1）利用正弦的和角公式，结合极坐标化为直角坐标的公式，即可求得曲线的直角坐标方程；先写出曲线的普通方程，再利用公式化简为极坐标即可；（2）先求出的直角坐标，据此求得中点的直角坐标，将其转化为极坐标，联立曲线的极坐标方程，即可求得两点的极坐标，则距离可解.【详解】（1）：可整理为，利用公式可得其直角坐标方程为：，：的普通方程为，利用公式可得其极坐标方程为（2）由（1）可得的直角坐标方程为，故容易得，，∴，∴的极坐标方程为，把代入得，.把代入得，.∴，即，两点间的距离为1.【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的转化，涉及参数方程转化为普通方程，以及在极坐标系中求两点之间的距离，属综合基础题.19、(I)an=2n-1，bn=【解析】

(I)直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案.(II)n2【详解】(I)a1=b解得d=2q=3，故an=2n-1(II)n=14+【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.20、（1）的长为4（2）【解析】

（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，根据向量垂直关系计算得到答案.（2）计算平面的法向量为，为平面的一个法向量，再计算向量夹角得到答案.【详解】（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以.，因为，所以，即，解得，所以的长为4.（2）因为，所以，又，故.设为平面的法向量，则即取，解得，所以为平面的一个法向量.显然，为平面的一个法向量，则，据图可知，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线段长度，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21、（1）；（2）存在，.【解析】

（1）设以为直径的圆心为，切点为，取关于轴的对称点，连接，计算得到，故轨迹为椭圆，计算得到答案.（2）设直线的方程为，设，联立方程得到，，计算，得到答案.【详解】（1）设以为直径的圆心为，切点为，则，取关于轴的对称点，连接，故，所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆，其中，曲线方程为.（2）设直线的方程为，设，直线的方程为，同理，所以，即，联立，所以，代入得，所以点都在定直线上