专题01 高二上期末真题精-选（人教A版（2019）选择性必修第一册常考123题23类考点专练）（解析版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

专题01高二上期末真题精选（常考123题23类考点专练）用基底表示向量空间向量共面空集中两个向量乘锐角（钝角）借助向量证明平行（垂直）关系借助向量求点到直线距离向量法求异面直线所成角向量法解决线面角问题向量法解决二面角问题向量法解决点到平面的距离问题直线的倾斜角和斜率求直线方程两条直线平行于垂直的判断直线中的距离问题二元二次方程表示圆的条件求圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆锥曲线中的定义问题圆锥曲线中上的点到定点的和差问题焦点三角形问题离心率问题弦长问题（含焦点弦）中点弦问题一、用基底表示向量（共3小题）1．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】用空间基底表示向量【分析】直接利用向量的线性运算和中线向量的应用求出结果．【详解】在三棱锥中，点N为棱的中点，点M在棱PC上，且满足故，所以，点N为棱的中点，所以，故.故选：B．2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱中，分别是的中点，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】用空间基底表示向量、空间向量数乘运算的几何表示、空间向量加减运算的几何表示【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果.【详解】如图，因为分别是的中点，，又，所以，得到，故选：A.3．（23-24高二上·浙江金华·期末）如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则．【答案】【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的加减运算【分析】由题意首先得四边形为平行四边形，进一步结合线段比例分解向量成基底向量的线性组合即可求解.【详解】因为，所以，同理，所以四边形为平行四边形，所以.故答案为：.二、空间向量共面（共3小题）1．（22-23高二上·辽宁丹东·期末）已知空间向量，，，若，，共面，则实数的值为（

）A． B．6 C． D．12【答案】A【知识点】空间向量共面求参数【分析】根据向量共面，建立方程组，解得答案.【详解】由，，共面，可设，则，由，解得，代入第三个方程可得：，解得.故选：A.2．（22-23高二上·浙江宁波·期末）对空间中任意一点和不共线的三点，能得到在平面内的是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】空间向量的加减运算、空间共面向量定理的推论及应用【分析】用向量来判定点在平面内，只需要满足：（）【详解】因为A、B、C三点不共线，则不共线，若四点共面，则存在唯一的一组实数使得，即，变形得，对于，，整理得，则，所以在平面内，故选项正确；对于，，可得：则，故不在平面内，故选项错误；对于C，，可得：，则，故不在平面内，故选项C错误；对于，，可得：则，故不在平面内，故选项错误；故选：3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】空间共面向量定理的推论及应用【分析】根据空间向量四点共面列式即可得解.【详解】因为，所以点与，，共面等价于，即.故选：A.三、空集中两个向量乘锐角（钝角）（共4小题）1．（23-24高一下·山西长治·期末）已知平面向量，满足，，，夹角为，若与夹角为锐角，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】已知向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、数量积的运算律【分析】根据且与不共线，可求出结果.【详解】根据题意可得且与不共线，则，所以，解得，当与共线时，即存在，使得，解得，因为与不共线，所以，所以且，所以实数的取值范围为.故选：D.2．（20-21高三上·安徽安庆·期末）已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为．【答案】【知识点】用向量解决夹角问题【解析】由题意可得，且、不共线，由此求得实数的取值范围．【详解】向量，若与的夹角为钝角，则，且、不共线，即，求得，且，则实数的取值范围为，故答案为：．【点睛】本题考查根据向量的夹角求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意考虑向量共线是不成立的.3．（23-24高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是.【答案】【知识点】数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数【分析】由题意可得且与不反向共线，根据向量的坐标运算即可求解.【详解】若与共线，则，得，此时，与方向相反，因为与的夹角为钝角，所以且与不反向共线，即且，解得且，则的取值范围是.故答案为：.4．（23-24高一下·四川自贡·期末）已知向量．(1)证明：；(2)与的夹角为钝角，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)且【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数【分析】（1）求出的坐标，根据平面向量垂直的坐标运算证明；（2）转化为，且不平行.【详解】（1）根据题意，，则，所以；（2）与的夹角为钝角，，则，解得，若向量，则，得，经验证满足同向共线，所以且.四、借助向量证明平行垂直关系（共5小题）1．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点．(1)求的值；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】求空间中两点间的距离、空间位置关系的向量证明【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得.（2）利用向量法来证得.【详解】（1）依题意可知两两相互垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，.（2）因为，，.2．（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.

(1)求点到直线的距离；(2)求证：面.【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】空间位置关系的向量证明、点到直线距离的向量求法【分析】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公式即可求得；（2）由（1）中所建的系求出的坐标，分别计算得到和，由线线垂直推出线面垂直.【详解】（1）

如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，正四棱柱,为中点,则点到直线的距离为：.（2）由（1）可得，则，由可得，又由可得，又，故面.3．（23-24高三上·广东深圳·期末）正方体中分别是的中点.(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法【详解】（1）设正方体的棱长是2，以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为n=x,y,z，则，令，则，所以，则，又平面，故平面.4．（23-24高二上·广东深圳·期末）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4.

(1)证明：平面平面；【答案】(1)证明见解析【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、证明面面垂直【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，再利用面面垂直的判定定理证明即可；【详解】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，因为，，所以，，即，，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；5．（23-24高二上·北京东城·期末）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点.(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析【知识点】面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的关系即可求证，【详解】（1）因为是直三棱柱，所以底面.因为底面，底面，所以，.因为，如图建立空间直角坐标系.设，则A2,0,0，，，，.因为D，E分别为，的中点，所以，.所以，.因为底面，所以是平面的一个法向量.因为，所以.因为平面，所以平面.五、借助向量求点到直线距离（共4小题）1．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，，则B点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】点到直线距离的向量求法【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案.【详解】，，故在上的投影向量的模为，故B点到直线的距离为.故选：A2．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知，，三点，则到直线的距离为.【答案】/【知识点】点到直线距离的向量求法【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】因为，，所以，得到，所以到直线的距离为，故答案为：.3．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，，则点B到直线的距离为．【答案】【知识点】点到直线距离的向量求法【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为，可得在方向上的投影为，又，由勾股定理可得点到直线的距离为.故答案为：4．（23-24高二上·陕西渭南·期末）直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为．【答案】【知识点】点到直线距离的向量求法【分析】根据给定条件，利用点到直线距离的向量求法计算即得.【详解】依题意，，所以点到的距离.故答案为：六、向量法求异面直线所成角（共5小题）1．（23-24高三上·江西·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，，分别为上、下底面圆的直径，四面体的体积为，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】异面直线夹角的向量求法【分析】建立空间直角坐标系，假定的坐标，结合已知解出的坐标，利用线线角的向量求法求解即可.【详解】如图，找底面圆心，作与底面垂直，//，，故以为原点，建立空间直角坐标系，规定，，设，，易知底面圆方程为，则，，故，，故，设到面的距离为，设面的法向量，故有，，解得，，，故，由点到平面的距离公式得，已知四面体的体积为，故得，解得(负根舍去)，易得，故，，，，设直线与所成角为，故有.故选：D2．（23-24高二上·江西上饶·期末）在正四棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值．【答案】/【知识点】异面直线夹角的向量求法【分析】设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与所成角的余弦值.【详解】不妨设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则B1,0,0、C1,1,0、、，则，，所以，.因此，与所成角的余弦值为.故答案为：.3．（23-24高二上·天津·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是.【答案】/【知识点】异面直线夹角的向量求法【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角.【详解】直三棱柱，且，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则A2,0,0，，，，，，设直线与成的角为，则，直线与所成角的余弦值为.故答案为：.4．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）如图，在三棱锥中，底面，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.(1)求证：平面.(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.【答案】(1)证明见解析(2)或2【知识点】空间位置关系的向量证明、已知线线角求其他量【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面；（2）设，且，则,0,，由直线与直线所成角的余弦值，利用向量法能求出线段的长．【详解】（1）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则,0,，,0,，,4,，,2,，,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，设平面的法向量,,，则，取，得,0,，，平面，平面．（2）设，且，则,0,，,,，,2,，则，整理得解得或，所以线段AH的长为或2．5．（21-22高二上·内蒙古包头·期末）在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面ABCD.(1)求二面角的余弦值；(2)线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，点M位置为【知识点】已知线线角求其他量、面面角的向量求法、面面垂直证线面垂直、求平面的法向量【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值；（2）设，利用向量法求异面直线的夹角，得到，解方程即得解.【详解】（1）设是中点，为正三角形，则.因为平面平面ABCD，平面平面，又平面PAD，所以面ABCD.又因为，，所以为正三角形，所以，以为原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，于是，，.设平面PEC的法向量为，由即可取.平面EBC的一个法向量为，设二面角的平面角为，则由图知为为钝角，所以二面角的余弦值为.（2）设，则，，，所以，解得或0（舍），所以存在点M使得.七、向量法解决线面角问题（共7小题）1．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】线面角的向量求法【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果.【详解】由题意，因为为正方形，且底面，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以，设，，则，所以，即，设平面的法向量为，则，解得，取，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，因为单调递增，所以当时，最大，此时，即直线与平面所成角的最大值为.故选:C2．（22-23高二上·辽宁鞍山·期中）长方体中，，为线段上的动点，则与平面所成角的余弦值的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】线面角的向量求法【分析】以为坐标原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设出点的坐标，然后利用空间向量求解即可.【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，则，因为平面，所以平面的一个法向量为，设的横坐标为，则，所以（），设与平面所成角的为，则，令（），对称轴为，所以的最小值为，所以的最大值为，因为，所以的最大值为，故选：D3．（23-24高二上·云南迪庆·期末）如图形中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法【分析】（1）连接，得到为的中位线，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）以所在的直线分别为轴，以过点作的垂线所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：如图所示，连接，因为底面是菱形，且与交于点，则点为的中点，因为为的中点，所以为的中位线，可得，又因为平面，平面，所以平面.（2）解：以所在的直线分别为轴，以过点作的垂线所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则，设平面的一个法向量为，则，令，可得，所以，又由，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】4．（23-24高二下·北京海淀·期末）在五面体中，平面，平面.(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【知识点】线面角的向量求法、线面平行的性质、证明线面平行、线面垂直证明线线平行【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、线面平行的判定性质推理即得.（2）结合已知可得直线两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面法向量，再利用线面角的向量求求解即得.【详解】（1）由平面，平面，得，而平面，平面，则平面，又平面，平面平面，所以.（2）令，则，有，于是，由已知得直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.5．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）如图，在三棱柱中，底面，点到平面的距离为2.

(1)证明：.(2)若直线与之间的距离为4，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法、证明线面垂直【分析】（1）结合已知线面垂直的判定定理证明平面，利用面面垂直的判定定理得平面平面，然后利用面面垂直的性质定理得平面，从而得出均为直角三角形，利用勾股定理求解即可.（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式求解即可.【详解】（1）底面平面，

，又平面，平面，又平面，平面平面.过作交于，又平面平面，平面，平面．点到平面的距离为.在中，，设，则.均为直角三角形，且，，解得，，即.（2），，过作交于，则为的中点.由直线与之间的距离为4，得，在中，.以为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，显然n=0,1,0为平面设直线与平面所成角为，则则直线与平面所成角的正弦值为.6．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.(1)求证：平面平面；(2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)证明见解析(2)存在，【知识点】证明面面垂直、已知线面角求其他量、线面角的向量求法【分析】（1）连接、，由平面几何的知识得到，即，，即可得到，从而得到平面，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法得到方程，求出，即可得解.【详解】（1）因为，，所以，，所以，则，则，又P为的中点，连接，则且，，所以为菱形，同理可得为菱形，所以，所以，连接，则，又，所以，即，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为.因为平面，所以，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，则，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，设，因为，，所以，设与平面所成角为，则，即，，解得或（舍去），所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为.7．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，侧面平面，，，为的中点.

(1)证明：平面；(2)点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明线面垂直、已知线面角求其他量、面面垂直证线面垂直【分析】（1）根据条件得到平面，从而得出，再利用条件得到四边形是菱形，从而有，利用线面垂直的判定定理即可得出结果；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设，求出及平面的一个法向量，利用线面角的向量法及条件，即可求出结果.【详解】（1）因为，O为AD的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因为，，所以四边形是菱形，得到，又，平面，平面，所以平面.（2）取中点，连接，因为是等腰梯形，所以，以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，，易得，则，所以，，令，所以，得到，由（1）知平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，整理得到，解得或（舍），所以.八、向量法解决二面角问题（共7小题）1．（23-24高二下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面，平面，.

(1)证明：平面.(2)若，，且直线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法、证明线面垂直、线面平行的性质【分析】（1）利用线面垂直的性质定理、判定定理以及线面平行的性质定理证明；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，即可求解二面角的余弦值.【详解】（1）因为底面，底面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，又平面，平面平面，所以，所以平面.（2）因为，所以直线与直线所成的角为，因为底面，底面，所以，所以，即，设为2个单位长度，以为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，

设平面的法向量为，则取，则，，得，易得平面的一个法向量为，由图可知二面角为锐角，则二面角的余弦值为.2．（23-24高二下·内蒙古·期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为的中点，为四边形的中心．(1)证明：∥平面．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法【分析】（1）由题意易得四边形为平行四边形，进而可证平面．（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求得平面与平面的一个法向量，利用向量法可求二面角的余弦值.【详解】（1）连接．因为为四边形的中心，所以为的中点．又为的中点，所以，因为为的中点，所以，，所以，，所以四边形为平行四边形，则．又平面，平面，所以平面．（2）在正四棱柱中，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以，则．设平面的法向量为，则令，得，即．连接．易知是平面的一个法向量，则．因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．3．（23-24高二下·上海金山·期末）如图，在中，.将绕旋转得到，分别为线段的中点．(1)求点到平面的距离；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)；(2)【知识点】面面角的向量求法、求点面距离【分析】（1）取的中点，连接，作，垂足为.证明平面，即点到平面的距离为的长度．求出即可.（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出关键点和法向量坐标，用向量法可解.【详解】（1）取的中点，连接，作，垂足为因为为的中点，所以.又，所以平面.因为平面，所以．又，所以平面，即点到平面的距离为的长度.易知平面，所以．因为是边长为2的等边三角形，所以，又，所以，所以．（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，设平面的法向量为，可得，令，则，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，可得，令，则，所以平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，则二面角的正弦值为.4．（23-24高二下·浙江温州·期末）在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点.

(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【知识点】面面角的向量求法、证明线面垂直【分析】（1）结合中点，利用面面垂直的性质定理证明平面，从而利用线面垂直的性质定理得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）过作交于点，设，建立空间直角坐标系，然后利用向量法求解二面角的正弦值即可.【详解】（1），为中点，.又平面平面，平面平面，平面，平面，而平面，.又为的中点，，又，.又平面，平面.（2）过作交于点，设，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，故，，，.设为平面的法向量，则，即，，取，则，是平面的一个法向量.设为平面的法向量，则，即，，取，则，是平面的一个法向量.设二面角的大小为，则，，二面角的正弦值为.5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知四边形为正方形，为，的交点，现将三角形沿折起到位置，使得，得到三棱锥.(1)求证：平面平面；(2)棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在满足题意的点，且.【知识点】已知面面角求其他量、证明面面垂直【分析】（1）线线垂直得到线面垂直，然后得到面面垂直；（2）由三直线两两垂直建立空间直角坐标系，设点坐标求得面的法向量，由法向量与面面角的余弦值建立等式，解出点的位置，得到比值.【详解】（1）在正方形中，，又∵，∴，∴即，，且，平面，平面，∴平面，由∵平面，∴平面平面（2）由（1）可知，，，∴以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，则向量是平面的一个法向量，设，则A1,0,0，，∵在线段上，∴，∴，∴，，设是平面的一个法向量，则，∴，∴，设为平面与平面夹角，则，则，则，为中点，∴.6．（23-24高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，为的中点．(1)证明：平面；(2)若二面角的余弦值为，求线段的长度．【答案】(1)证明见解析；(2)6.【知识点】证明线面垂直、已知面面角求其他量、面面角的向量求法【分析】（1）应用线面垂直判定定理证明即可；（2）设边长，应用空间向量法求出二面角余弦值即可求出边长.【详解】（1）由题意知平面，又平面，所以，因为四边形是平行四边形，且，所以四边形为正方形，所以，因为平面，所以平面．又平面，所以，因为，所以，又因为平面，所以平面．（2）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，则，所以，所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以，设二面角的大小为，则，解得，所以线段的长为6．7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）在长方体中，点，分别在，上，且，．(1)求证：平面；(2)当，，且平面与平面的夹角的余弦值为时，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明线面垂直、已知面面角求其他量【分析】（1）由长方体的性质得到平面，即可得到，结合，得到平面，从而得到，同理可证，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）因为，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，所以平面.（2）依题意，建立以为原点，以，，分别为，，轴的空直角坐标系，设，则，，，则，，，由（1）平面，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，解得（负值舍去），所以平面与平面的夹角的余弦值为时.九、向量法解决点到平面的距离问题（共5小题）1．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，E为中点，与交点为O．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)若，求点C到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【知识点】证明线面垂直、证明线面平行、点到平面距离的向量求法、证明面面垂直【分析】（1）只需证明，结合线面平行的判定定理即可得解；（2）只需证明平面，在结合面面垂直的判定定理即可得解；（3）首先证明面，由等体积法即可列方程求解.【详解】（1）设，连结，∵E为中点，O为中点，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）连结，∵，O为中点，∴，又∵底面为菱形，∴，∵且两直线在平面内，∴平面，又∵平面，∴平面平面；（3）由（2）得：，由，同理可得：，而平面，∴面可求：，，，∴，而中，，可求：，，可求：，而，则，则即为所求点C到平面的距离．2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点．

(1)证明：平面平面；(2)求到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法【分析】（1）以为原点，以AD，DC所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面一个的法向量，根据平面法向量平行可得证（2）根据到平面的距离的空间向量公式即得【详解】（1）以为原点，以AD，DC所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，．

设平面的一个法向量，则，即，令，则，所以设可得平面的一个法向量，则，即，令，则，所以，因为，两平面又不重合，所以平面平面．（2）因为，所以，由（1）知平面的一个法向量，则．3．（23-24高二上·安徽宣城·期末）如图，在直三棱柱中，是的中点.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】点到平面距离的向量求法、证明线面平行【分析】（1）连接交于，连接，由三角形中位线性质得，再由线面平行的判定定理即可证明结果；（2）根据条件，建立空间直角坐标系，由条件求得平面的法向量和，再利用空间距离的向量法，即可求出结果.【详解】（1）连接交于，连接，在三角形中，是三角形的中位线，所以，又平面，平面，所以平面.（2）由是直三棱柱，且，故，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，又，则，则，设平面的法向量为n=x,y,z由，得到，令，得，所以，又，设点到平面的距离为，则.4．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）如图所示，在直三棱柱中，，，，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法、证明线面平行【分析】（1）利用空间向量方法证明即可；（2）利用空间法向量求解点面距离即可.【详解】（1）证明：如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则因为，分别是，的中点，所以，，所以，平面的一个法向量为，因为，又因为平面，所以平面；（2）由（1）知，，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以平面的一个法向量为.所以点到平面的距离为，故点到平面的距离为5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图所示，正方体的棱长是2，E、F分别是线段AB、的中点．(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法【分析】（1）取中点M，连AM，MF，由四边形AEFM是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；（2）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系．求得平面的法向量n=x,y,z，由点到平面的距离求解.【详解】（1）证明：如图，取中点M，连AM，MF，则易证，且，所以四边形AEFM是平行四边形，从而，又面，面，所以平面．（2）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立如图的空间直角坐标系．则，，，，则，，设平面的一个法向量n=x,y,z由，即，令，得，则，所以点到平面的距离十、直线的倾斜角和斜率（共4小题）1．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知直线方程为，则其倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析【分析】由直线方程可得斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小.【详解】由题知直线斜率为，若直线的倾斜角为，则，∵，∴，故选：D．2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）经过两点的直线的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【知识点】已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系【分析】利用斜率公式和倾斜角与斜率的关系求解.【详解】解：因为直线经过，所以经过该两点的直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：D3．（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率【分析】求出直线恒过的定点，根据斜率公式即可求解.【详解】由直线，变形可得，由，解得，可得直线恒过定点，则，结合图象可得：若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为，由斜率定义，可得直线倾斜角的取值范围为.故选：D.4．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为．【答案】【知识点】直线的倾斜角、根据直线的方向向量求直线方程、斜率与倾斜角的变化关系【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角.【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，即直线的倾斜角为.故答案为：十一、求直线方程（共5小题）1．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为.(1)求直线AC的方程；(2)求的面积.【答案】(1)；(2)24.【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标【分析】（1）利用点斜式求得直线的方程.（2）先求得两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形的面积.【详解】（1）由边上的高所在直线方程为，得直线的斜率为，所以直线的方程为，即.（2）边上的中线所在的直线方程为，由，解得，即，设，则，所以，解得，即，，到的距离为，所以的面积为.2．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程.(1)过点；(2)平行于直线.【答案】(1)(2)【知识点】由两条直线平行求方程、求直线交点坐标、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析【分析】（1）求出两条直线与的交点，利用两点式方程整理计算即可;（2）求出平行于的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可.【详解】（1）由解得,即两直线的交点坐标为.直线经过点和，由两点式方程得，，化简得所求直线方程为.（2）由可得直线的斜率为，故平行于直线的直线的斜率为，结合（1）问可得：两条直线与的交点为，由点斜式方程得，，化简得所求直线方程为.3．（23-24高二上·四川南充·期末）已知直线．(1)若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程；(2)若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程．【答案】(1)(2)【知识点】直线的斜截式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程、直线围成图形的面积问题【分析】（1）根据垂直设，代入得到直线方程，再化成斜截式即可；（2）设，得到面积表达式求出值即可.【详解】（1）由题意设直线的方程为:，由直线经过得:，解得:，直线的方程为:，即.（2）由题意设直线的方程为:，令，则;令，则，所以直线两坐标轴围成的三角形的面积三角形的面积，解得:，所以直线的一般式方程为.4．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.(1)求边所在直线的方程；(2)求对角线所在直线的方程.【答案】(1)BC所在直线方程为，AD所在直线方程为(2)【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、由两条直线垂直求方程【分析】（1）求出，由点斜式求出直线方程；（2）求出的中点坐标，再根据垂直关系得到，利用点斜式写出直线方程，得到答案.【详解】（1）由菱形的性质可知，则.所以边所在直线的方程为，即；边所在直线的方程为，即.（2）线段的中点为，由菱形的几何性质可知，且为的中点，则，所以对角线所在直线的方程为，即.5．（23-24高二上·北京房山·期末）已知的三个顶点分别为．(1)设线段的中点为，求中线所在直线的方程；(2)求边上的高线的长．【答案】(1)(2)【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离【分析】（1）由中点坐标公式可得线段的中点为的坐标，再根据点斜式即得中线所在直线的方程；（2）由题意可得直线的斜率，由直线的点斜式可得方程，然后由点到直线的距离公式代入可求得边上的高线的长.【详解】（1）设的坐标为，则，，即，所以，则中线所在直线方程为，即．（2）由题意得．则直线的方程为，即中，边上的高线的长就是点到直线的距离．十二、两条直线平行与垂直问题（共5小题）1．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．或1【答案】B【知识点】已知直线平行求参数【分析】根据平行可解得实数，验证可得正确的选项.【详解】因为，故，故或，当时，的方程均为，它们重合，故舍去；当时，，，它们平行，故选：B.2．（23-24高二上·江苏连云港·期末）若两条直线和平行，则实数的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【知识点】已知直线平行求参数【分析】由直线平行求出，注意检验重合情形即可.【详解】因为两直线平行，所以，解得或，当时，两直线重合，舍去，故选：D3．（23-24高一下·重庆·期末）已知直线和直线垂直，则实数.【答案】【知识点】已知直线垂直求参数【分析】根据两直线垂直列方程，从而求得的值.【详解】由于，所以，解得，所以的值为.故答案为：4．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知直线：与直线：.若，则.【答案】2【知识点】已知直线垂直求参数【分析】根据两直线垂直列方程，由此求得的值.【详解】因为，所以，解得.故答案为：2.5．（22-23高二上·辽宁·期中）已知直线：，直线：(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值．【答案】(1)；(2)或.【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数【分析】（1）（2）利用直线平行、垂直的判定列方程求参数值，对于平行情况需要验证所得参数是否符合要求.【详解】（1）由，则，即，所以或，当，，，两线重合，不合题设；当，，，符合题设；综上，（2）由，则，即，所以，即或.十三、直线中的距离问题（共3小题）1．（23-24高二下·贵州毕节·期末）点到直线l：的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】求点到直线的距离【分析】由点到直线的距离公式求解即可.【详解】点到直线l：的距离为.故选：A2．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（

）A． B． C． D．【答案】CD【知识点】由两条直线平行求方程、求点到直线的距离、求平行线间的距离【分析】根据直线平行可得在直线上运动，即可根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：动点分别在直线与上移动，又线段的中点为，，在直线上运动，到直线的距离．到坐标原点的距离大于等于．故选：CD．3．（23-24高二下·广东江门·期末）已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．【答案】（答案不唯一）【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、三角形面积公式及其应用、由直线与圆的位置关系求参数【分析】利用圆的弦长求法，结合面积可得方程求解即可.【详解】由圆可知，圆心，半径，设圆心到直线的距离为，由垂径定理可知，由面积为知：，解得或，则由点到直线的距离公式得：，当时，有，解得：，当时，有，解得：，故答案为：（取这三个中的任何一个都算对，答案不唯一）.十四、二元二次方程表示圆的条件（共4小题）1．（23-24高二上·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系【分析】由计算即可得.【详解】，即.故选：D.2．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知点在圆外，则实数的取值范围为.【答案】【知识点】点与圆的位置关系求参数、圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系【分析】由点和圆的位置关系，圆的一般方程可表示圆的条件，列出两个不等式进行求解即可.【详解】由表示圆，标准方程是,所以，解得，由点在圆外，即，所以或，综上.故答案为：.3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围为．【答案】【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系【分析】根据圆的一般方程条件计算即可得到答案.【详解】方程表示一个圆，则，得.故答案为：4．（23-24高二上·广东·期末）若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是．【答案】【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆的一般方程与标准方程之间的互化【分析】将圆的一般方程写成标准方程，在根据等号右边的式子大于0求解.【详解】原方程可化为，方程表示圆，则有，即.故答案为：十五、求圆的方程（共3小题）1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（

）A．B．C．D．【答案】A【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、由圆心（或半径）求圆的方程【分析】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程.【详解】由在圆上，故圆心在直线上，由在圆上，故圆心在直线上，即圆心，半径，故方程为.故选：A.2．（23-24高三上·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是．【答案】【知识点】求圆的一般方程【分析】设圆的一般方程为，分别将三个点坐标代入圆的方程，解方程组求出，即可得结论.【详解】设所求圆的一般方程为，因为点，，在圆上，所以，解得，则所求圆的一般方程为：，.故答案为：.3．（23-24高二上·河北沧州·期末）在△OAB中，O是坐标原点，，．(1)求AB边上的高所在直线的方程；(2)求△OAB的外接圆方程【答案】(1)(2)【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求圆的一般方程、由两条直线垂直求方程【分析】（1）先求出边上的高线的斜率，再利用点斜式求出边上的高所在直线的方程；（2）设的外接圆的方程为（），则把的坐标代入求得的值，可得圆的方程．【详解】（1）∵直线AB的斜率，∴AB边上的高所在直线的斜率，又AB边上的高所在直线过原点O，∴AB边上的高所在直线的方程为．（2）设的外接圆的方程为（），则，解得，∴的外接圆方程为．十六、直线与圆的位置关系（共4小题）1．（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知直线和曲线，当时，直线与曲线的交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．无法确定【答案】B【知识点】判断直线与圆的位置关系、直线过定点问题【分析】根据直线所过定点，结合图象即可判定.【详解】直线的方程可化为，所以直线恒过点，曲线即，表示圆心为坐标原点，半径为3的圆的上半部分（如图），由图可知，当时，直线与曲线的交点个数为1.故选：B.2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（

）A．相切 B．相离C．相交 D．相交且过圆心【答案】A【知识点】判断直线与圆的位置关系、求点到直线的距离【分析】计算圆心到直线的距离，将这个距离和半径比较即可.【详解】由圆，可得圆心，半径，则圆心到直线的距离为，即，所以直线与圆相切.故选：A.3．（23-24高三上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，若对任意，圆与直线恒相切，则直线的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】由直线与圆的位置关系求参数【分析】由题意可得，结合的任意性以及恒成立问题分析求解即可．【详解】设直线，则到直线的距离，若要对任意恒成立，则，且，解得，由，有．故选：A4．（多选）（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知直线与圆交于A，B两点，则的值可以为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】AB【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数【分析】直线与圆相交得到圆心到直线的距离小于半径求解即可得到答案．【详解】解：因为直线与圆相交于不同的两点、，所以圆心到直线的距离，解得，选项中只有3,4满足，故选：AB．十七、圆与圆的位置关系（共5小题）1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【答案】B【知识点】判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径【分析】将圆的方程化为标准方程，得各自的半径，圆心，结合圆心距满足的条件即可判断.【详解】由题意圆：即圆：的圆心，半径分别为，圆：即圆：的圆心，半径分别为，所以两圆的圆心距满足，所以两圆的位置关系为相交.故选：B.2．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关【答案】C【知识点】判断圆与圆的位置关系【分析】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案.【详解】圆：，即，圆心，半径，圆：，即，圆心，半径，所以当时，所以圆与圆的位置关系是外离.故选：C.3．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围【分析】根据两圆心距离与半径和与差的关系列不等式求解.【详解】圆，圆心为，半径为，圆，圆心为，半径为，若圆与圆有公共点，则，又，所以.故选：D4．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是．【答案】【知识点】圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围【分析】由题意可得两圆相交，再根据两圆的位置关系求参即可.【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，因为与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，所以两圆相交，则，即，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.5．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知圆与圆外离，则实数a的取值范围为.【答案】【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围【分析】由题意表示出两圆的圆心半径，进一步结合两圆外离列出不等式即可求解.【详解】由题意圆与圆的圆心、半径依次分别为，因为两圆外离，所以圆心距满足，解得，即实数a的取值范围为.故答案为：.十八、圆锥曲线中的定义问题（共4小题）1．（23-24高二上·天津宁河·期末）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆上的任意一点到两个焦点的距离的和等于10，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】利用椭圆定义求方程、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线【分析】根据抛物线方程有准线为，由题意可得、，进而写出椭圆方程.【详解】由抛物线的准线为，故椭圆的一个焦点为，则，由椭圆定义知，故，所以椭圆方程为.故选：C2．（多选）（23-24高二上·山东聊城·期末）若平面内的动点Px,y满足，则（

）A．时，点的轨迹为圆B．时，点的轨迹为圆C．时，点的轨迹为椭圆D．时，点的轨迹为双曲线【答案】ABD【知识点】求平面轨迹方程、椭圆定义及辨析、轨迹问题——圆、利用双曲线定义求方程【分析】根据条件，结合选项，利用圆、椭圆、双曲线的定义，逐一分析判断，即可得出结果.【详解】对于选项A，当时，由，得到，其表示动点到定点的距离为，由圆的定义知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以选项A正确，对于选项B，当时，由，得到，整理得到，即，所以选项B正确，对于选项C，当时，由，得到，其表示动点到定点和的距离之和为，又两定点，间的距离为，所以点的轨迹为线段上的点，故选项C错误，对于选项D，当时，由，得到，其表示动点到定点和的距离之差的绝对值为，又，由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线，故选：ABD.3．（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，圆，圆，圆，直线，则（

）A．与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支B．与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆C．过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线D．与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线【答案】ABC【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、轨迹问题——椭圆、求双曲线的轨迹方程【分析】根据几何关系确定，A正确，，B正确，根据抛物线定义知C正确，确定，得到D错误，得到答案.【详解】对选项A：设圆心为，半径为，则，，故，圆心轨迹是双曲线的一支，正确；对选项B：设圆心为，半径为，则，，故，圆心轨迹是椭圆，正确；对选项C：设圆心为，半径为，故到定点和定直线的距离相等为，圆心轨迹是抛物线，正确；对选项D：设圆心为，半径为，则，，故，在两圆外，圆心轨迹是两条射线，错误；故选：ABC.4．（23-24高二下·上海宝山·期末）我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为.【答案】【知识点】由距离求点的坐标、利用双曲线定义求方程【分析】将原方程配方，方程的解转化为直线与双曲线的交点的纵坐标。【详解】原方程可化为，其几何意义为点到0,4，距离之差的绝对值等于，则该点的轨迹满足双曲线的定义，根据双曲线的定义得：，，，所以，又因为双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为：，令得，所以原方程的解为。故答案为：十九、圆锥曲线中上的点到定点的和差问题（共6小题）1．（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值【分析】根据椭圆的定义转化，结合三点共线来求得的取值范围.【详解】依题意，，，，，，所以，当位于线段与椭圆交点处时等号成立.根据椭圆的定义可知，如图所示，设的延长线与椭圆相交于，则当位于时，取得最大值为，综上所述，的取值范围为.故选：B【点睛】在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解.2．（23-24高二上·山东青岛·期末）设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（

）A．3 B．2 C． D．5【答案】B【知识点】求点到直线的距离、抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线方程求焦点或准线【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义及点到直线的距离公式求解即得.【详解】抛物线的焦点，准线，过点作于，垂直于直线于点，显然，点到直线的距离，则，当且仅当点是点到直线的垂线段与抛物线的交点时取等号，所以的最小值为2.故选：B

3．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、抛物线定义的理解【分析】根据抛物线定义确定，分析出圆的圆心和半径，点是圆上的一点，则有,即，由此将求的最小值问题转化为求最小值问题，得出当且仅当、、三点共线时，取得最小值即可.【详解】

由题意知是抛物线的焦点，抛物线准线方程为：，过点作垂直于准线，垂足为,即点到抛物线线的准线的距离为：；圆是圆心为，半径的圆，根据抛物线定义有：，因为点是圆上的一点,所以,即,由此有：，当且仅当、、三点共线时，取得最小值，所以，所以的最小值为6.故选：B.4．（多选）（21-22高二上·河北沧州·期末）已知点为双曲线右支上一点，、分别为圆：、：上的动点，则的值可能为（

）A．2 B．6 C．9 D．12【答案】BC【知识点】双曲线定义的理解、利用定义求双曲线中线段和、差的最值、由标准方程确定圆心和半径【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离，结合双曲线的定义可求出的范围，从而可得答案【详解】由双曲线的方程可得，焦点为，圆：的圆心为，半径为2，圆：的圆心为，半径为1，所以，，所以,，所以，故选：BC5．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知是椭圆的左焦点，点为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为；的最小值为．【答案】8【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】设右焦点为，根据椭圆的定义得到，则，求出椭圆的左准线方程，根据圆锥曲线的第二定义，设到左准线的距离为，则，所以，则，即可得解.【详解】椭圆中，，，则，设右焦点为，则，离心率，则，所以，所以，当且仅当在的延长线与椭圆的交点时取等号；

又椭圆左准线方程为，设到左准线的距离为，则，所以，所以，当且仅当在过点作左准线的垂线与椭圆的交点时取等号..

故答案为：；6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为．【答案】7【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、求双曲线的焦点坐标、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题【分析】由题意结合双曲线定义将转换为，进一步由三角形三边关系即可求解.【详解】如图所示：

由题意，设为双曲线右焦点，线段与双曲线右支交于点，所以，等号成立当且仅当重合，所以的最小值为7.故答案为：7.二十、焦点三角形问题（共6小题）1．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，P是椭圆C上的动点，点，则下列结论正确的是（

）A． B．面积的最大值是C．椭圆C的离心率为 D．最小值为【答案】ACD【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值【分析】A选项，根据椭圆定义求出答案；B选项，数形结合得到当在上顶点或下顶点时，面积最大，求出最大值；C选项，由直接求解即可；D选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到，当三点共线且在之间时,取得最小值，得到答案.【详解】A选项，由题意得，由椭圆定义可得，A正确；B选项，当在上顶点或下顶点时，面积最大，最大值为，B错误；C选项，离心率，C正确；D选项，因为，所以点在椭圆内，连接，由椭圆定义可知，故，故，当三点共线且在之间时，取得最小值，最小值为，所以最小值为，D正确.故选：ACD2．（多选）（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上项点为B，直线与椭圆C相交于M、N两点，点，则下列选项正确的是（

）A．四边形的周长为12B．当时，的面积为C．直线，的斜率之积为D．若点P为椭圆C上的一个动点，则的最小值为【答案】AD【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中的定值问题【分析】根据椭圆定义结合椭圆对称性可判断A；利用焦点三角形的面积公式可判断B；设Mx1,y1，，表示出，的斜率之积，结合点在椭圆上即可化简求值，判断C；将转化为，利用图形的几何意义求解，判断D.【详解】对于A，由题意知对于椭圆，，与椭圆交于，两点，则，关于原点对称，且，,故四边形的周长为，A正确；对于B，因为，所以，的面积为，故B错误；对于C，设Mx1,y1故，而Mx1,y1即，故，C错误；对于D，由于点为椭圆上的一个动点，故,则，故，当且仅当共线时，且P在之间时等号成立，而，，故的最小值为，D正确，故选：AD.3．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（

）.A． B．C． D．【答案】AD【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆上点的坐标【分析】根据给定条件，按直角顶点为点和焦点分类求出点坐标.【详解】椭圆的焦点，设，由为直角三角形，则直角可能为若为直角，则，由，得；若为直角，则，由，得；若为直角，则在圆上，由，解得，所以点坐标可能是AD.故选：AD4．（多选）（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆C：，，分别为椭圆的左、右焦点，A，B分别为椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论正确的有（

）A．存在点P使得B．的最小值为C．若，则的面积为1D．直线PA与直线PB的斜率乘积为定值【答案】AC【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题、椭圆中的定值问题【分析】设椭圆短轴顶点为根据的符号即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D.【详解】设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，，则，，，，对于A选项，由于，，所以的最大角为钝角，故存在P使得，故A正确；对于B选项，记，则，由余弦定理得，当且仅当时取“”，故B错误；对于C选项，由于，故，所以，故C正确；对于D选项，设，则，，于是，故D错误.故选：AC.5．（多选）（23-24高二下·贵州六盘水·期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的方程为B．过点且垂直于的直线平分C．若，则D．若，则【答案】ABD【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、等轴双曲线、余弦定理解三角形【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解.【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，所以，解得，得到双曲线的方程为，正确，对于B，如图，由题知，，所以，若，所以，正确，对于C，记，所以，又，得到，又，所以，又，由，得，错误，对于D，因为，，由，得，又，得到，得到，从而有，得到，由，得到，从而有，解得，正确，故选：ABD.6．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（

）A．B．若，则的面积为2C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点【答案】AB【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题【分析】对A，根据双曲线的定义判断即可；对B，根据双曲线定义结合勾股定理求解即可；对C，数形结合分析判断即可；对D，根据点差法结合双曲线性质求解即可.【详解】对A，根据双曲线的定义可得，故A正确；对B，因为，，则，又，故，即，故，故B正确；对C，由双曲线的渐近线可得，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有与两条渐近线分别平行的两条直线、与双曲线右支相切的两条直线，共4条，故C错误；对D，设存在两点，为中点，则，即，又，故，，故，即.由渐近线的性质可得过点且斜率为2的直线与双曲线无交点，故不存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点，故D错误.

故选：AB二十一、离心率问题（共11小题）1．（23-24高二下·广东广州·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（

）

A． B． C． D．【答案】B【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】结合椭圆的知识以及正弦定理求得，进而可得椭圆的离心率.【详解】如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆形的左右顶点，由题意可得，则，阳光照射方向与地面的夹角为60°，即，则，，在中，，即，即，解得，而，故,.故选：B.2．（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题【分析】根据已知向量关系得出直角，再根据定义得出长轴长及焦距关系计算出离心率即可.【详解】因为所以,在中,所以,所以,所以.故选：A.3．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】画出图形，用双曲线定义和勾股定理构造方程求解即可.【详解】如图所示，为等腰直角三角形，且，运用勾股定理，知道根据．由双曲线定义，知道，即，解得，故离心率为：.故选：C.4．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为，，过点的直线交的左支于两点，若，，成等差数列，且，则的离心率是（

A． B． C． D．【答案】A【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】由题意可得，再结合双曲线的定义可得，设，在中，利用余弦定理求出，再利用双余弦定理得出的关系式，即可得解.【详解】因为，，成等差数列，所以，即，又因为，所以，所以，设，则，故，在中，由余弦定理得，，解得（舍去），所以，因为，所以，即，即，整理得，所以，即的离心率是.故选：A.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.5．（23-24高二下·江苏盐城·期末）若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由直线与圆的位置关系求参数【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．【详解】双曲线渐近线为，且与圆没有公共点，圆心到渐近线的距离大于半径，即，，，．故选：B．6．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为.【答案】/【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解.【详解】不妨设为第一象限的点，为左焦点，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义可得，，所以，，，在△中，，由余弦定理得，化简得，即．所以，从而，当且仅当，且，即，时等号成立．故答案为：7．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为.【答案】/【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】由条件可知为直角三角形，结合椭圆定义确定关系，由此可求离心率.【详解】取椭圆的左焦点，连结，由为等边三角形，则，可知为直角三角形，且，设，则，，可得，则，所以椭圆的离心率是.故答案为：.8．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为.【答案】/【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】设，则，，表示出，在中求出PF1，再结合椭圆的定义可得，然后在中利用勾股定理列方程可求出离心率.【详解】设，则由题意可得，，，所以，在中，，因为，所以，解得，所以，，因为，所以，所以，解得，所以离心率.故答案为：9．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为．【答案】【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于等于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的不等关系，即双曲线的离心率范围可求．【详解】圆，双曲线的渐近线为，圆与双曲线的渐近线有公共点，圆心到渐近线的距离，，，即，．故答案为：．10．（23-24高二下·贵州遵义·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于一条渐近线的直线l，分别交两渐近线于A，B两点，且A，B分别在第一、四象限，若，则该双曲线的离心率为．【答案】##【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线【分析】先根据点到直线距离公式求得，再由，用表示出，根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得与的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.【详解】由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，即，由点到直线距离公式可知：，又，，∵，即，设，则，而，，由正切二倍角公式可知：，即，化简可得：，即，由双曲线离心率公式可知.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.11