专题03 直线的方程及其位置关系（考点清单+知识导图+16个考点清单-题型解读）（解析版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

清单03直线的方程及其位置关系（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】直线斜率的坐标公式如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：（1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；（3）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。【清单02】两条直线平行对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有.对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.【清单03】两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．【清单04】直线的点斜式方程已知条件（使用前提）直线过点和斜率（已知一点+斜率）图示点斜式方程形式适用条件斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）【清单05】直线的斜截式方程已知条件（使用前提）直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）图示点斜式方程形式适用条件斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）【清单06】直线的截距式方程已知条件（使用前提）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为图示点斜式方程形式适用条件，【清单07】直线的一般式方程定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.说明：1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.【清单08】两条直线的交点坐标直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应.与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；与平行方程组无解；与重合方程组有无数个解.【清单09】两点间的距离平面上任意两点，间的距离公式为特别地，原点与任一点的距离.【清单10】点到直线的距离平面上任意一点到直线：的距离.【清单11】两条平行线间的距离一般地，两条平行直线：（）：（）间的距离.【清单12】对称问题点关于直线对称问题（联立两个方程）求点关于直线：的对称点①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；②整理得：【考点题型一】斜率与倾斜角变换关系核心方法：图象法【例1】（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率【分析】利用两点式求斜率，结合参数范围有，根据斜率与倾斜角关系确定倾斜角范围.【详解】由题设，则直线AB的倾斜角的取值范围为.故选：B【变式1-1】（24-25高二上·河北张家口·期中）如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（

）

A． B．C． D．【答案】D【知识点】斜率与倾斜角的变化关系【分析】由图可知直线的倾斜角为钝角，斜率为负，直线的倾斜角为锐角，斜率为正，以及根据倾斜角的大小判断斜率的大小可得答案.【详解】直线的倾斜角为钝角，斜率为负，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，直线的倾斜角为锐角，斜率为正，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以．故选：D.【变式1-2】（24-25高二上·广东广州·期中）设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】斜率与倾斜角的变化关系【分析】按照的正负分类讨论．【详解】时，倾斜角的范围是，当时，倾斜角的范围是，综上，倾斜角范围是．故选：B．【考点题型二】直线与线段有公共点，求斜率取值范围核心方法：图象法【例2】（24-25高二上·广东惠州·期中）已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围【分析】求出，再结合图形求出斜率的取值范围即可.【详解】解：因为P，，所以，因为直线与线段AB（含端点）有公共点，则或故直线的斜率的范围为.故选：D.【变式2-1】（24-25高二上·河南信阳·期中）已知，B2,1，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、直线与线段的相交关系求斜率范围【分析】由题知，或，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.【详解】设直线l的斜率为，直线l的倾斜角为，则，因为直线的斜率为，直线的斜率为，因为直线l经过点，且与线段没有公共点，所以，或，即或，因为，所以，故直线l的倾斜角的取值范围是．故选：C．

【变式2-2】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．[1,4]【答案】D【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围【分析】记为点，求出的斜率，结合图象可得结论．【详解】记为点，则直线PA的斜率，直线PB的斜率，因为直线过点，且与线段AB相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是[1,4].故选：D．【考点题型三】利用斜率的几何意义求代数值（范围）核心方法：图象+转化【例3】（2024高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且．(1)求的取值范围；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】求分式型目标函数的最值、直线与线段的相交关系求斜率范围【分析】（1）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点O0,0连线的斜率，即可求出的取值范围；（2）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围.【详解】（1）如图，由于点Px,y满足关系式，且，所以点在线段上移动，且两点的坐标分别为，．由于的几何意义是直线的斜率，且，，所以的取值范围是．（2）因为的几何意义是过，两点的直线的斜率，由题意可知点在线段上移动，且两点的坐标分别为，．则，，所以．所以的取值范围为．【变式3-1】（22-23高二上·四川雅安·开学考试）已知实数x，y满足，且，求的最大值和最小值.【答案】最大值为3，最小值为【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解.【详解】由于点满足关系式，且，可知点在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为，.令，易得的几何意义是直线PQ的斜率，且，，如图：所以的最大值为3，最小值为.【考点题型四】求直线方程【例4】（24-25高二上·重庆·期中）已知的三个顶点分别是，，.(1)求边上的高所在的直线方程；(2)求边上的中线所在的直线方程；(3)求角平分线所在的直线方程.【答案】(1)(2)(3)【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、根据直线的方向向量求直线方程【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得；（2）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得；（3）先求出直线的单位向量，结合角平分线求出角平分线所在的直线的方向向量，结合方向向量和直线斜率的关系即可求出斜率，再根据点斜式即可求解.【详解】（1）直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为，直线又过，所以AB边上的高所在的直线方程为，即.（2）依题意，边的中点，因此边上的中线所在直线的斜率，直线又过，所以边上的中线所在直线的方程为，即.（3）由题意知：,故与同方向的单位向量为：，与同方向的单位向量为：，故角平分线所在的直线的方向向量为：，设角平分线所在的直线的斜率为，又直线的方向向量可以表示为，，直线又过，故角平分线所在的直线方程为：，即.【变式4-1】（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程(1)求过点A且与平行的直线方程；(2)边上的中线所在直线的方程；(3)边上的高所在直线方程；(4)边的垂直平分线的方程.【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程【分析】（1）根据平行求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式.（2）求出线段中点坐标，分析可得直线方程.（3）利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式.（4）求出线段中点坐标，利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式.【详解】（1）的斜率：，所求直线的方程为，整理得.（2）因为，，所以的中点坐标为，因为，所以边上的中线所在直线的方程.（3）的斜率：，所以边上的高所在直线方程的斜率，边上的高所在直线方程：，整理得.（4）由题意知：的中点坐标为，，边的垂直平分线的斜率：，边的垂直平分线的方程：，整理得.【考点题型五】两条直线平行与垂直关系的判定核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1【例5】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上；（2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直.【答案】（1）三点在同一直线上；（2）与互相垂直【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直【分析】（1）计算可得，可得结论；（2）计算可得，可得结论.【详解】（1）因为A0,3，B4,0，所以，又直线均过点，所以点三点在同一条直线上；（2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，因为直线经过，两点，所以，所以，所以与互相垂直.【变式5-1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）（1）判断下列不同的直线与是否平行：的斜率为2，经过两点；（2）判断下列直线与是否垂直；的倾斜角为45°，经过两点．【答案】（1）；（2）；【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线垂直、由斜率判断两条直线平行【分析】（1）计算的斜率，根据两直线斜率相等，即可判断出结论；（2）计算出，的斜率，根据斜率之积即可判断出结论.【详解】（1）的斜率为2，经过两点，则的斜率为，即，的斜率相等，且两直线不同，故；（2）的倾斜角为45°，且斜率为1，经过两点，则的斜率为，即两直线斜率之积等于，故.【变式5-2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列两条直线是否垂直，并说明理由：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)(2)(3)【知识点】由斜率判断两条直线垂直【分析】（1）由两直线斜率乘积等于得垂直；（2）由两直线斜率乘积等于得垂直；（3）由两直线一条斜率为0，一条斜率不存在得垂直．【详解】（1）两直线的斜率，，由，则．（2）两直线的斜率，，由，则．（3）的斜率为0，的斜率不存在，．【考点题型六】根据两条直线平行与垂直关系求参数核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1【例6-1】（24-25高二上·浙江·期中）已知，两直线，若，则的最小值为（

）A．12 B．20 C．26 D．32【答案】D【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、已知直线垂直求参数【分析】由垂直关系可构造关于a,b的方程，再结合基本不等式即可求得的最小值.【详解】由得：，化简得：，，当且仅当时等号成立，故选：D.【变式6-1】（24-25高二上·广东·期中）已知直线与.若，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【知识点】已知直线平行求参数【分析】根据直线平行列方程，从而求得的值.【详解】由于，所以，此时两直线方程分别为，不重合，符合题意，所以.故选：B【变式6-2】（24-25高二上·福建福州·期中）直线与直线平行，则．【答案】-3【知识点】已知直线平行求参数【分析】根据两直线平行的判定方法，列方程计算求出的值并检验即得.【详解】依题意，可得且，解得或，因，故.故答案为：-3.【变式6-3】（24-25高二上·辽宁·期中）已知直线：，：，若，则的值为.【答案】或【知识点】已知直线垂直求参数【分析】根据给定条件，利用直线垂直的充要条件列式计算即得.【详解】直线：，：，由，得，所以或.故答案为：或【考点题型七】求平行，垂直的直线方程核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1【例7】（24-25高二上·云南楚雄·阶段练习）求满足下列条件的直线的方程：(1)直线过点，且与直线平行；(2)直线过点，且与直线垂直.【答案】(1)(2)【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程【分析】分别利用平行与垂直求出直线斜率，再由点斜式直线方程可得.【详解】（1）直线与直线平行，可得的斜率.又过点，由点斜式可得：，即：.（2）由直线的斜率为，直线与直线垂直，所以直线的斜率，又过点，由点斜式可得：，即：.【变式7-1】（24-25高二上·北京顺义·期中）经过点且与直线平行的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】由两条直线平行求方程【分析】先根据直线平行设出直线方程，再代入点即可求解．【详解】由直线经过点且与直线平行，可设直线方程为：，将代入，即，解得：，故直线方程为：．故选：B．【变式7-2】（24-25高二上·江苏盐城·期中）过点，且与直线垂直的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】由两条直线垂直求方程【分析】根据两直线垂直设直线方程为，代入点坐标解出即可.【详解】由题意可设与直线垂直的直线方程为，代入点得，解得，则该直线方程为.故选：B.【考点题型八】直线过定点问题核心方法：两条直线相交交点坐标【例8】（24-25高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】直线过定点问题【分析】分离参数，联立方程组可得解.【详解】直线，即，令，解得，即直线恒过定点，故选：B.【变式8-1】（24-25高二上·浙江·期中）直线经过的定点坐标为.【答案】【知识点】直线过定点问题【分析】整理成关于的方程，从而得到方程组，解出即可.【详解】，即，则，解得，则其经过定点.故答案为：.【变式8-2】（24-25高二上·浙江·期中）直线经过的定点坐标是．【答案】【知识点】直线过定点问题【分析】化直线方程为，即可得出答案.【详解】化直线方程为：，即定点坐标为．故答案为：.【考点题型九】直线与坐标轴围成图形面积问题（定值）核心方法：三角形面积公式【例9】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知的顶点，边AB上的中线CD所在直线方程为，边AC上的高线BE所在直线方程为．(1)求边BC所在直线的方程；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求平面两点间的距离、求点到直线的距离【分析】（1）利用，求出直线AC的方程，联立CD所在直线方程，解出，设利用中点坐标公式求解出，又因为在直线BE上，在CD上，求解出，从而得到BC所在直线的方程.（2）利用点到直线的距离公式求解到直线BC的距离，再用两点间的距离求解出，从而求出的面积.【详解】（1）因为，所以设直线AC的方程为：，将代入得，所以直线AC的方程为：，联立AC，CD所在直线方程：，解得，设，因为为AB的中点，所以，因为在直线BE上，在CD上，所以，，解得，，所以，，所以BC所在直线的方程为：，即．（2）由（1）知点到直线BC的距离为：，又，所以．【变式9-1】（24-25高二上·福建福州·期中）已知的三个顶点是，，.(1)求边上的高所在的直线方程；(2)求的面积.【答案】(1)(2)3【知识点】三角形面积公式及其应用、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离【分析】（1）由斜率的定义得到直线AC的斜率，再由两直线垂直得到高线的斜率，然后由点斜式求出即可；（2）方法一由斜率值积关系得到，再由三角形面积公式求出即可；方法二由点斜式得到直线AC的方程，再由点到距离的公式求出，然后由三角形面积求解即可；方法三由向量的数量积为零得到，再由向量的模长和三角形的面积公式求出即可；【详解】（1）由题意可得：直线AC的斜率则AC边上的高所在直线的斜率，又这条直线过点，所以直线方程为，即.（2）（方法一）因为，所以，所以，所以，因为，所以，（方法二）由(1)知直线AC的斜率，则直线AC的方程为，即，点到直线的距离，因为，，（方法三）因为，所以，所以，因为，所以.【变式9-2】（24-25高二上·山东烟台·期中）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为．(1)求直线的方程和点C的坐标；(2)求的面积．【答案】(1)，(2)7【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标、求点到直线的距离、求点关于直线的对称点【分析】（1）联立，得，因为的平分线所在的直线方程为，所以点关于直线的对称点在直线上，所以，由此可得直线的方程；根据垂直直线的直线系方程可设直线的方程为，代入点可求，进而联立直线和即可;（2）求出点到直线的距离，利用两点间的距离公式求出，再利用三角形面积公式求解即可.【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为，所以联立，得，设点关于直线的对称点为，所以解得，即，所以，所以直线的方程为．因为边上的高所在直线方程为，所以设直线的方程为，代入，得所以直线的方程为，联立，解得．（2）因为边所在直线方程为，所以，点A到直线的距离，，所以．【考点题型十】直线与坐标轴围成图形面积问题（最值）核心方法：三角形面积公式+基本不等式【例10】（24-25高二上·福建福州·期中）平面直角坐标系Oxy中，射线，，过作直线分别与交于A，B两点.(1)若，求直线的方程;(2)求面积的最小值.【答案】(1)(2)【知识点】直线的点斜式方程及辨析、三线能围成三角形的问题【分析】（1）直线上去交点坐标，由向量的关系，建立方程，解得一个交点坐标，写出直线方程；（2）讨论直线斜率是否存在，当斜率不存在时，显然没有三角形，舍去；当斜率存在时，设直线方程，联立方程组求解出点坐标得到的值，由点到直线的距离公式得到三角形的高，用三角形面积公式得到三角形面积的表达式，通过的取值范围得到函数的最小值.【详解】（1）设，，则，∵，∴，∴，则，∴，即（2）当直线与的斜率不存在时，，与两个交点重合，舍去；当直线与的斜率存在时，设，联立方程组解得，即；同理，联立方程组，解得，即，原点到直线的距离∵，∴，当时，最大，此时取最小值，∴最小值为.【变式10-1】（24-25高二上·广东·期中）已知直线.(1)求原点到直线l距离的最大值：(2)若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时，求对应的直线l的方程.【答案】(1)(2)【知识点】直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、求点到直线的距离【分析】（1）确定直线过定点，当时，原点到直线的距离最大，结合两点间距离公式可求；（3）设直线的方程为，，由直线过定点，可得，然后结合基本不等式可求．【详解】（1）（1）直线可化为，令，解得，，即直线恒过定点；当时，原点到直线的距离最大，此时最大值；（2）设直线的方程为，，因为直线过定点，所以，由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得，故面积，即面积的最小值为4，此时直线方程为，即．【变式10-2】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知直线.(1)直线经过定点吗？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，说明理由；(2)求原点到直线距离的最大值；(3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，当面积最小时，求对应的直线的方程.【答案】(1)直线恒过定点；(2)(3)面积的最小值为4，直线方程为【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、求点到直线的距离、直线围成图形的面积问题【分析】（1）直线可化为，然后结合直线系方程可求；（2）当时，原点到直线的距离最大，结合两点间距离公式可求；（3）设直线的方程为，，由直线过定点，可得，然后结合基本不等式可求．【详解】（1）直线可化为，令，解得，，即直线恒过定点；（2）当时，原点到直线的距离最大，此时最大值；（3）设直线的方程为，，因为直线过定点，所以，由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得，故面积，即面积的最小值为4，此时直线方程为，即．【考点题型十一】易错点根据截距求直线方程核心方法：分类讨论【例11】（24-25高二上·福建三明·阶段练习）直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为．【答案】或【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析【分析】利用分类讨论，结合点斜式方程与截距式方程，可得答案.【详解】当直线过原点时，斜率为，则方程为；当直线不过原点时，由题意方程可设，代入，可得，解得，则方程为.故答案为：或.【变式11-1】（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为.【答案】或【知识点】直线截距式方程及辨析【分析】通过讨论截距为0和不为0两类情况讨论即可.【详解】当截距为0时,过点和原点,所以的方程为,即;当截距不为0时，设的方程为，由过点，得，解得，所以的方程为.故答案为：或【变式11-2】（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为．【答案】或【知识点】直线截距式方程及辨析【分析】按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得.【详解】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为；当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为，所以所求直线方程为或.故答案为：或【考点题型十二】点关于直线对称点【例12】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）点关于直线对称的点的坐标为．【答案】【知识点】求点关于直线的对称点【分析】设所求点的坐标为，根据垂直和中点坐标列式求解即可.【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，则，解得，所以所求点的坐标为.故答案为：.【变式12-1】（24-25高二上·广东汕尾·阶段练习）设点关于直线的对称点为，则点的坐标为．【答案】【知识点】求点关于直线的对称点【分析】根据斜率关系以及中点在已知直线上列出方程组，由此可求点的坐标.【详解】设对称点的坐标为，所以，解得，所以点坐标为，故答案为：.【变式12-2】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知点，则点P关于直线的对称点的坐标是．【答案】【知识点】求点关于直线的对称点【分析】设出该点坐标，借助点关于直线对称的性质计算即可得.【详解】设该点坐标为，则有，解得，故该点坐标为.故答案为：.【考点题型十三】直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）核心方法：方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.【例13】（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为．【答案】【知识点】求直线关于点的对称直线【分析】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程.【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为，因为在直线l上，所以，即直线的方程为．故答案为：【变式13-1】（23-24高一下·江西抚州）与直线关于原点对称的直线的方程为.【答案】【知识点】求直线关于点的对称直线【分析】若在关于原点对称的直线方程上，则在上，代入即可得其关于原点对称的直线的方程.【详解】若在直线关于原点对称的直线方程上，则在上，∴，得.故答案为：【变式13-2】（24-24高二·全国·课后作业）已知直线与关于点对称，则.【答案】【知识点】求直线关于点的对称直线【分析】在直线上取点，，则M，N关于点对称的点分别为，再将这两点坐标代入直线中可求出的值.【详解】在直线上取点，，M，N关于点对称的点分别为.点在直线上，，解得，.故答案为：【点睛】此题考查直线的对称问题，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题【考点题型十四】直线关于直线对称问题（两直线平行）核心方法：直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线①②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.【例14】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与关于直线对称，求直线的方程.【答案】【知识点】求平行线间的距离、由距离求已知直线的平行线、求关于平行直线对称的直线【分析】由直线斜率得与直线平行，由两条平行线距离公式得与直线间的距离，由对称关系得与平行和与距离，接着设直线方程，依据与距离列式求解并检验即可得解.【详解】易知，所以与直线平行，与直线间的距离为，又因为与关于直线对称，所以与平行，且两直线间的距离为，设直线，所以，解得或，当时，直线与直线间的距离为，即直线与关于直线不对称；当时，直线与直线间的距离为，符合，所以.【变式14-1】（2024高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程为【答案】【知识点】直线关于直线对称问题【分析】因为两直线平行，设所求直线方程为，由直线与直线间的距离，求得b的值，得直线方程.【详解】设所求直线方程为，且，直线与直线间的距离为，则直线与直线间的距离为，又，得，所以所求直线方程为，故答案为：.【变式14-2】（24-25高二·全国·课后作业）已知直线，，．（1）求直线关于直线的对称直线的方程；（2）求直线关于直线的对称直线的方程．【答案】（1）；（2）．【知识点】求关于平行直线对称的直线、直线关于直线对称问题【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解；（2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解【详解】（1）因为，所以．设直线的方程为（，且）．在直线上取点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即点的坐标为．把点的坐标代入直线的方程，得，解得，所以直线的方程为．（2）由，得，所以与的交点坐标为．另取上不同于A的一点，设关于的对称点为，则，得，即点的坐标为．所以过与的直线的方程为，即．【考点题型十五】直线关于直线对称问题（两直线相交）核心方法：对称性【例15】（23-24高三上·湖北·阶段练习）直线关于轴对称的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】直线关于直线对称问题、求点关于直线的对称点【分析】设点设是所求直线上任意一点，然后结合点的对称性与已知条件代入求解即可；【详解】设是所求直线上任意一点，则关于轴对称的点为，且在直线上，代入可得，即.故选：C.【变式15-1】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是.【答案】【知识点】直线关于直线对称问题【分析】先求得两直线的交点坐标，再求得直线上一点，关于直线的对称点为，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为，由方程，令，可得，即直线过点，设点关于直线的对称点为，则满足，解得，即，所以，所以对称直线的方程为，即.故答案为：.【变式15-2】（2024·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为.【答案】或【知识点】直线关于直线对称问题【分析】根据题意，求出与轴的交点，设出直线的方程，根据点关于直线的对称点在轴上，列出方程，即可得到结果.【详解】

直线交轴于点，交轴于点，设直线的方程为，则关于直线的对称点在轴上，所以，则的中点在直线上，所以①，又②，联立①②可得或，所以直线的方程为或.故答案为：或.【考点题型十六】将军饮马问题核心方法：对称性【例16】（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为.【答案】【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离【分析】首先求出点关于直线的对称点，将目标式子转换为结合三角形三边关系即可求解.【详解】如图所示，

设点关于直线的对称点为，则，解得，即，所以，等号成立当且仅当点与点重合，其中点为与直线的交点.故答案为：.【变式16-1】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知为直线上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】将军饮马问题求最值【分析】记点、，可得出，求出点关于直线的对称点的坐标，由对称性可得，由、、三点共线时，取最小值，即可得解.【详解】记点、，则，如下图所示：

设原点关于直线的对称点为，且直线的斜率为，由题意可得，解得，故原点关于直线的对称点为，由对称性可知，所以，，当且仅当为线段与直线的交点时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.【变式16-2】（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（

）A． B．8 C．9 D．10【答案】D【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点【分析】利用对称求关于直线对称点为，结合将军饮马模型求最小值.【详解】令关于直线对称点为，则，可得，由，则，当且仅当共线时取等号，故最小值为10.故选：D提升训练一、单选题1．（24-25高二上·湖北·期中）已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围【分析】画出草图，先求出直线和直线的斜率，直线与线段有公共点时，找出直线的斜率的临界状态即可.【详解】运用两点间的斜率公式，，，过点的直线与线段AB有公共点时，如图所示，直线斜率的取值范围是.

故选：B.2．（24-25高二上·北京·期中）若直线：与直线：平行，则（

）A．3 B．C．3或 D．3或1【答案】A【知识点】已知直线平行求参数【分析】根据给定条件，利用两直线平行的充要条件列式计算即得.【详解】由直线：与直线：平行，得，所以.故选：A3．（24-25高二上·山东济南·期中）“”是“直线与直线平行”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数【分析】由两直线平行斜率相等的关系求解即可；【详解】当时，直线，直线，此时两直线斜率相等，且两截距，所以两直线平行，故充分性成立；当直线与直线平行时，有，解得或3，故必要性不成立，故选：B.4．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围【分析】求出PA，PB所在直线的斜率，判断直线l的倾斜角与斜率的变化，数形结合得答案．【详解】点，直线的斜率，直线的斜率，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足或，即或，所以直线l的斜率的取值范围为.故选：D.5．（24-25高三上·北京丰台·期中）已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【知识点】指数型函数图象过定点问题、直线的一般式方程及辨析、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由指数函数性质确定定点坐标，结合题设有，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值.【详解】由题设，恒过点，则，所以，当且仅当时等号成立，所以目标式最小值为.故选：A6．（24-25高二上·重庆·开学考试）已知点，在直线上存在一点，使最小，则点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点【分析】根据题意，点A、B在直线的同侧，利用轴对称的性质求出点关于直线的对称点的坐标，可知直线与的交点就是所求的点，进而求得答案.【详解】设为点关于直线的对称点，则的中点为，由轴对称的性质，可得，解得，即.直线的方程为，即，由，解得，即直线与交于点.，当点三点共线时，即直线上的点与重合时，达到最小值，故满足条件的点坐标为.故选：C7．（24-25高二上·山东济南·阶段练习），函数的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、求点到直线的距离【分析】利用两点之间的距离及点到直线的距离公式计算即可.【详解】设点，和直线，到l的距离分别为，易知，显然.当且仅当重合时取得等号.故选：C8．（24-25高二上·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【知识点】已知直线平行求参数、求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数【分析】分析可知直线与直线或直线平行，或直线过点，进而列式求解即可.【详解】联立方程，解得，可知：直线的斜率为，的斜率为，且直线、的交点为，若三条直线不能围成三角形，则直线与直线或直线平行，或直线过点，可知直线的斜率存在，且为，可得或或，解得或或，所以实数的取值最多有3个.故选：B.二、多选题9．（24-25高二上·江苏常州·期中）设a为实数，直线，，则（

）A．当时，不经过第一象限 B．的充要条件是C．若，则或 D．恒过点【答案】AB【知识点】充要条件的证明、已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线过定点问题【分析】利用反证法可判断A的正误，利用平行或垂直的判断方法可判断BC的正误，求出过的定点后可判断D的正误.【详解】对于A，若过第一象限的点，则，且，但故，矛盾，故不过第一象限，故A正确；对于B，若，则，故或，由直线可得，而当时，两条直线的方程分别为：，，此时两条直线平行，符合，反之，也成立，故的充要条件为，故B正确；对于C，若，，故或，但不为零，故C错误；对于D，直线可化为：，由可得，即直线过定点，故D错误；故选：AB10．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为C．若，则 D．若，则直线，一定相交【答案】AD【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、求平行线间的距离【分析】根据两直线平行求出的值，可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；根据两直线垂直求出的值，可判断C选项；根据两直线相交求出的范围，可判断D选项.【详解】两条直线，的方程分别为与，它们不重合，若，则，得，检验符合，故A选项正确；若，由A选项可知，：，直线的方程可化为，故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确；若，则，得，故C选项不正确；由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确.故选：AD.三、填空题11．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为.【答案】或【知识点】求直线交点坐标、直线关于直线对称问题【分析】利用数形结合计算l的斜率结合直线与的交点计算即可.【详解】

易知与纵轴交于，交横轴于点，联立直线与方程，得两直线交点为，如上图所示网格中构造直角三角形，易知，即，又，所以，即为两直线与夹角的平分线，所以直线符合题意，易知其方程为；当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为.故答案为：或.12．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点是直线上一点，则的最小值为．【答案】5【知识点】将军饮马问题求最值【分析】根据点关于直线对称，可得可得对称点为，即可利用三点共线求解.【详解】设点关于直线的对称点，则，解得，故，故,故最小值为：5四、解答题13．（24-25高二上·北京平谷·期中）求下列直线方程(1)已知，，，在中：（ⅰ）求BC边所在的直线方程（ⅱ）求BC边上的垂直平分线所在直线的方程，(2)已知点，求过点P且与原点距离为3的直