清单01 空间向量的线性运算（考点清单+知识导图+ 18个考点清单-题型解读）（原卷版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

清单01空间向量的线性运算（考点清单）（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】【清单01】几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量【清单02】空间向量的数乘运算1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．2：数乘向量与向量的关系的范围的方向的模与向量的方向相同，其方向是任意的与向量的方向相反【清单03】共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使拓展:对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．【清单04】空间向量的数量积1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.【清单05】空间向量运算的坐标表示设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法减法数乘数量积【清单06】空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示1、两个向量的平行与垂直平行（）垂直（）（均非零向量）2、向量长度的坐标计算公式若，则，即3、两个向量夹角的坐标计算公式设，则【清单07】空间中直线、平面的平行设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则线线平行⇔⇔()线面平行⇔⇔面面平行⇔⇔【清单08】空间中直线、平面的垂直设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则线线垂直⇔⇔线面垂直⇔⇔⇔面面垂直⇔⇔⇔【考点题型一】空间向量基本概念【例1】（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题：①零向量的方向是任意的；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量，满足，则；④空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（

）．A． B． C． D．【变式1-1】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．零向量没有方向B．在空间中，单位向量唯一C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等D．若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底【变式1-2】（多选）（24-25高二上·陕西渭南·期中）下列命题为真命题的是（）A．若空间向量满足，则B．在正方体中，必有C．若空间向量满足，则D．空间中，，则【考点题型二】空间向量共线判断核心方法：【例2】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（

）A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对【变式2-1】（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（

）A． B．C． D．【变式2-2】（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（

）A． B． C． D．【考点题型三】由空间向量共线求参数或值核心方法：①②已知，，【例3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（

）A． B． C．8 D．13【变式3-1】（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式3-2】（24-25高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数．【考点题型四】判断空间向量共面核心方法：存在实数，使【例4】（23-24高二上·云南）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A．B．C．D．【变式4-1】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（

）A． B．C． D．【变式4-2】（多选）（23-24高二下·江苏淮安）下列命题中是真命题的为（

）A．若与共面，则存在实数，使B．若存在实数，使向量，则与共面C．若点四点共面，则存在实数，使D．若存在实数，使，则点四点共面【考点题型五】由空间向量共面求参数核心方法：存在实数，使【例5】（24-25高二上·天津·阶段练习）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（

）A． B． C． D．【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则．【变式5-2】（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为.【考点题型六】用基底表示向量核心方法：空间向量的加减数乘运算【例6】（23-24高二下·重庆合川）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．【变式6-1】（24-25高二上·山东德州·期中）在四面体中，点D为的中点，点E在上，且，用向量，，表示，则（

）A． B．C． D．【变式6-2】（24-25高二上·广东茂名·期中）在平行六面体中，，，，是与的交点，以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为（

）A． B． C． D．【考点题型七】空间向量数量积运算核心方法：①坐标运算②定义法：【例7】（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正四面体中，为棱的中点，，则（

）A． B．3 C． D．6【变式7-1】（24-25高二上·天津·开学考试）已知点是棱长为2的正方体的底面上一点，则的最小值为（

）A． B．0 C． D．【变式7-2】（24-25高二上·天津滨海新·期中）若，，则.【考点题型八】求空间向量数量积的最值（范围）核心方法：①坐标法（含自主建系法）②极化恒等式(1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的eq\f(1,4)，即（如图）(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即（如图）【例8】（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为．【变式8-1】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为.【变式8-2】（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是.【考点题型九】求空间向量模核心方法：【例9】（24-25高二上·河北·阶段练习）在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（

）A．2 B． C． D．【变式9-1】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（

）A． B． C． D．【变式9-2】（24-25高二上·天津北辰·期中）设，向量，，且，，则.【考点题型十】求空间向量模的最值（范围）核心方法：坐标法【例10】（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为.【变式10-1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（

）

A． B． C． D．【变式10-2】（23-24高三上·四川·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是．【考点题型十一】求空间向量夹角核心方法：夹角公式【例11】（24-25高二上·山东德州·阶段练习）已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【变式11-1】（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）若向量，且，则的值为【考点题型十二】空间向量夹角为锐角（钝角）核心方法：①为锐角且与不同向共线②为顿角且与不反向共线【例12】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为．【变式12-1】（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为．【变式12-2】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【考点题型十三】求投影向量核心方法：【例13】（24-25高二上·山东·期中）在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为．【变式13-1】（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知点，则向量在向量上的投影向量的模为.【变式13-2】（23-24高二上·上海·期末），，则在方向上的数量投影为.【考点题型十四】空间向量平行与垂直关系核心方法：；（均非零向量）【例14-1】（江西省部分高中学校2024-2025学年高二上学期十一月联考数学试卷）已知，，，设向量，．(1)设向量，，求；(2)若，求的值．【例14-2】（24-25高二上·广西百色·阶段练习）已知，.(1)若，分别求与的值；(2)与垂直，求.【变式14-1】（24-25高二上·河北·期中）已知，向量，，，且，，则的值为（

）A． B． C． D．【变式14-2】（多选）（24-25高二上·湖北·期中）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（

）A．B．C．若，且，则D．若且，则【考点题型十五】用向量证明空间中线面平行核心方法：⇔⇔【例15】（23-24高二下·甘肃天水）如图，在三棱柱中，侧棱平面，，点是的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.【变式15-1】（24-25高二上·陕西西安·期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，.(1)证明：直线平面；(2)求点到平面的距离.【变式15-2】（24-25高二上·湖北宜昌·阶段练习）长方体中，．点为中点．

(1)求证：平面(2)求证：平面．【变式15-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在斜三棱柱中，，四边形为矩形，是的中点，是与的交点．在线段上是否存在点，使得平面？【考点题型十六】用向量证明空间中面面平行核心方法：⇔⇔【例16】（23-24高二下·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，.求证：平面平面.【变式16-1】（2024高一·全国·专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.

【变式16-2】（24-25高二·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面.【变式16-3】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.

(1)求证：平面；(2)求证：平面平面.【考点题型十七】用向量证明空间中线面垂直核心方法：⇔⇔⇔【例17】（24-25高二上·广东惠州·期中）直三棱柱中，，，，分别是的中点．

(1)求的值；(2)求证：⊥平面．【变式17-1】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点.(1)证明：，，，四点共面；(2)若点在棱，且平面，求的长度.【变式17-2】（24-25高二上·山东菏泽·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.(1)求的模；(2)求证：平面.【变式17-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．

【考点题型十八】证明面面垂直核心方法：⇔⇔⇔【例18】（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面.【变式18-1】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面．【变式18-2】（2024高二·全国·专题练习）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，．证明：平面平面.提升训练一、单选题1．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期中）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（）A． B．C． D．2．（24-25高二上·山东泰安·期中）设，向量，，且，，则（

）A． B． C． D．3．（福建省福州市八县（市）协作校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（

）

A． B． C． D．5．（云南省长水教育集团2024-2025学年高二上学期10月质量检测数学试题）已知空间向量，，则在上的投影向量为（

）A． B．C． D．6．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（

）A． B． C．0 D．28．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（24-25高二上·福建