第十七讲三角形与多边形

第十七讲三角形与多边形1.了解:三角形的稳定性;多边形的定义,多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念;命题、定理的意义.2.理解:三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念.3.掌握:三角形的内角和定理及其推论;三角形的任意两边之和大于第三边.4.会:按照边的关系和角的大小对三角形进行分类;识别两个互逆的命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立.5.能:探索多边形内角和与外角和公式并会应用公式解决数学问题.一、三角形的角平分线、中线和高1.三角形的角平分线:一个三角形有三条角平分线,并且都在三角形的_____,相交于一点,这个交点叫做三角形的_____.2.三角形的中线:一个三角形有三条中线,并且都在三角形的_____,相交于一点.内部内心内部3.三角形的高:(1)锐角三角形:锐角三角形的三条高都在其_____,相交于一点.(2)直角三角形:直角三角形有两条高与_______重合,另一条高在三角形的内部,它们的交点是_________.(3)钝角三角形:钝角三角形有两条高在三角形的_____,一条高在三角形的_____,三条高不相交,但三条高所在的直线相交于三角形外一点.内部直角边直角顶点外部内部二、三角形与多边形的性质1.三角形三边之间的关系:三角形任意两边的和_____第三边,任意两边的差_____第三边.2.三角形的内角和定理:三角形三个内角的和等于______.3.三角形的外角定理及推论:(1)三角形的一个外角_____与它不相邻的两个内角的和.(2)三角形的一个外角_____与它不相邻的任何一个内角.大于小于180°等于大于4.多边形的内角和与外角和定理:(1)n边形内角和等于_____________.(2)多边形的外角和等于______.(n-2)·180°360°三、命题、定理1.判断一件事情的_____,叫做命题,命题由_____和_____两部分组成.正确的命题是___命题,错误的命题是___命题.2.互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的_____和_____分别是另一个命题的_____和_____,那么这两个命题称为互逆命题.3.定理:经过证明被确认_____的命题叫做定理.4.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,则这两个定理为_____定理.语句条件结论条件结论结论条件正确互逆真假1.如图,在△ABC中,AD是高线,AE是角平分线,AF是中线.∠ADC=______=90°.∠CAE=______=________.CF=___=_____.S△ACF=_____=_______.∠ADB∠BAEBFS△ABF2.如图,在△ABC中,∠C=90°,若∠B的外角为145°,则∠A的度数为___度.553.若等腰三角形两边长分别为3和5,则它的周长是_______.4.如果一个正多边形的一个外角是60°,那么这个正多边形的边数是__.5.对顶角相等的逆命题是___命题.6.如图,已知∠1=100°,∠2=140°,那么∠3=_____.11或136假60°热点考向一三角形三边之间的关系

【例1】(1)(2013·温州中考)下列各组数可能是一个三角形的边长的是(

)A.1,2,4

B.4,5,9

C.4,6,8

D.5,5,11(2)(2012·长沙中考)现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是(

)A.1个B.2个C.3个D.4个【思路点拨】(1)若两个较小的数的和大于最大的数,那么这三个数是一个三角形的边长.(2)先列出所有的组数,再根据“任意两边之和大于第三边”确定可以组成的三角形的个数.【自主解答】(1)选C.∵1+2<4,4+5=9,5+5<11,∴选项A,B,D不可能是一个三角形的边长,而4+6>8,∴选项C是一个三角形的边长.(2)选B.采用列举法,可以分为(3,4,7),(3,4,9),(3,7,9),(4,7,9)四组,其中第一组中3+4=7、第二组中3+4<9,不满足“任意两边之和大于第三边”的关系,其余两组均能组成三角形.【名师助学】1.判断三条线段是否能组成三角形的两个方法(1)可将最小的一条线段和较大的一条线段之和与最大的线段相比较.(2)用最大的线段与较小的线段之差与最小的线段进行比较.2.注意事项(1)已知等腰三角形的两边长求第三边的值或周长时,要将一边分腰或底分别讨论.(2)三角形的第三边满足:小于另外两边的和,大于另外两边的差.热点考向二三角形的内角和定理及其推论

【例2】(1)(2012·云南中考)如图,在△ABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是△ABC的角平分线,则∠CAD的度数为(

)A.40°B.45°C.50°D.55°(2)(2011·怀化中考)如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是(

)A.∠A>∠1>∠2B.∠2>∠1>∠AC.∠A>∠2>∠1D.∠2>∠A>∠1(3)(2013·襄阳中考)如图,在△ABC中,D是BC延长线上一点,∠B=40°,∠ACD=120°,则∠A的度数为(

)A.60°B.70°C.80°D.90°【思路点拨】(1)先根据三角形内角和定理求∠BAC的度数,再根据角平分线的定义求∠CAD.(2)根据“三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角”进行比较大小.(3)根据三角形内角和定理的推论知∠ACD=∠A+∠B,根据已知条件得出答案.【自主解答】(1)选A.∵∠B=67°,∠C=33°,∴∠BAC=80°,∵AD是△ABC的角平分线,∴∠CAD=∠BAC=40°.(2)选B.∵∠2是△CDE的一个外角,∴∠2>∠1,∵∠1是△CEA的一个外角,∴∠1>∠A,∴∠2>∠1>∠A.(3)选C.∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠A+∠B,∴∠A=120°-40°=80°.【名师助学】1.在三角形中解决角的问题,一般要将角转化到同一个三角形中利用三角形内角和定理、外角的性质,从整体上求解.2.证明角的不等关系时,经常用三角形外角性质来证明.3.注意事项:(1)三角形的一个外角等于和它“不相邻”的两个内角的和,而不是等于任意两个内角的和.(2)三角形角的相关计算,一定要分清外角、内角以及是否相邻.热点考向三多边形的外角和与内角和

【例3】(1)(2013·湛江中考)已知一个多边形的内角和是540°,则这个多边形是(

)A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形(2)(2012·铜仁中考)一个多边形每一个外角都等于40°,则这个多边形的边数是

.【思路点拨】(1)根据多边形的内角和公式列方程求解.(2)根据多边形的外角和为360°,且每一个外角都等于40°求解.【自主解答】(1)选B.设这个多边形的边数为n,那么(n-2)·180°=540°,解得n=5.(2)这个多边形的边数是360÷40=9.答案:9【名师助学】1.多边形的外角和与内角和定理的运用(1)利用内角和公式为(n-2)·180°→由边数求内角和或由内角和求边数.(2)因为任何多边形的外角和都等于360°,所以多边形的外角和与边数无关,解题时常常将多边形的内角问题转化为外角问题.2.多边形的对角线将其分割成许多个三角形或特殊的四边形,结合三角形或特殊的四边形的性质及判定进行角、线段的相关计算和证明.热点考向四判断命题的真假

【例4】(2012·淄博中考)下列命题为假命题的是(

)A.三角形三个内角的和等于180°B.三角形两边之和大于第三边C.三角形两边的平方和等于第三边的平方D.三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半【思路点拨】根据学过的知识逐一判定真假,可用举反例的方法判定一个命题为假命题.【自主解答】选C.选项A,B中的命题分别为三角形的内角和定理与三角形三边关系定理,均为真命题;对于选项C,只有直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方,而其他三角形的三边都不具有这一关系,因此是假命题;选项D中的命题是三角形的面积计算公式,是真命题.【名师助学】1.任何命题都可以改写成“如果…,那么…”的形式,“如果”后面的部分是条件,“那么”后面的部分是结论.2.对某个命题来说,反例是指符合命题的条件,但与命题的结论相矛盾的例子.3.注意事项:(1)一个命题正确,它的逆命题不一定正确.(2)任何一个命题都有逆命题,但任何一个定理不一定有逆定理.【典例】(2012·苏州模拟)若等腰三角形两边长分别为2和5,则它的周长是

.【纠错路径】1.找错:通过分析错误解答的过程,第___步开始出现错误.2.错因:_______________________________________________________________.3.纠错:_________________________________________________________________________________________②当长度为5的边为底边时,由于2+2<5,所以2,2,5三条线段组不成三角形由于2+2<5,2,2,5三条线段组不成三角形,∴当长度为2的边为底边时,等腰三角形的周长为5+5+2=12.【知识拓展】三角形的三边关系是构成三角形的前提,因此,关于三角形的边长或周长的计算题,应首先满足三边关系定理,对于不能构成三角形的情况应舍去.【学以致用】1.(2011·黔南州中考)已知三角形的两边的长分别为3和6,第三边是方程x2-6x+8=0的解,则这个三角形的周长是(

)A.11B.13C.11或13D.11和13【解析】选B.解方程x2-6x+8=0,得x=2或x=4,由于2,3,6不能组成三角形,只有3,4,6能组成三角形,因此周长是13,故选B.2.(2012·苏州模拟)等腰三角形的一个外角为110°,则这个等腰三角形的顶角的度数为

.【解析】当等腰三角形已知的这个外角为顶角的外角时,这个等腰三角形的顶角的度数为180°-110°=70°;当等腰三角形已知的这个外角为底角的外角时,这个等腰三角形的顶角的度数为180°-70°-70°=40°.答案:70°或40°1.(2013·陕西模拟)等腰△ABC中,AB=AC,周长为12,则腰长AB的取值范围是(

)A.0<AB<12B.0<AB<6C.3<AB<6D.6<AB<12【解析】选C.设AB=x,则BC=12-2x,由三角形三边关系得:0<12-2x<x+x,解得3<x<6.2.(2013·上海模拟)命题:①直角都相等;②两直线平行,内错角相等;③全等三角形的三条对应边相等.其中逆命题为真命题的有(

)A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.命题①的逆命题为:相等的角是直角,它是一个假命题;命题②的逆命题为:内错角相等,两直线平行,它是一个真命题;命题③的逆命题为:三条边对应相等的两个三角形全等,它是一个真命题,因此逆命题为真命题的有2个.3.(2013·北京模拟)已知某多边形的每一个外角都是72°,则它的边数为(

)A.4B.5C.6D.8【解析】选B.∵任何多边形的外角和为360°,∴所求的多边形的边数为360÷72=5.4.(2013·长沙模拟)若一个正多边形的一个内角是120°,则这个正多边形的边数是(

)A.9B.8C.6D.4【解析】选C.设这个正多边形的边数为n,由题意得(n-2)×180=n×120,解得n=6.【高手支招】多边形的边数与内角和的关系1.一个多边形的内角和取决于它的边数,随着边数的增加而增加,并且每增加一条边,内角和就增加180°.2.因为正多边形的每个内角都相等,所以正多边形的每个内角的度数可以确定,它是5.(2013·温州模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,已知∠ACE=140°,则∠A=(

)A.30°B.40°C.50°D.100°【解析】选D.∵∠ACE=140°,∴∠ACB=180°-140°=40°.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=40°,∴∠A=180°-40°-40°=100°.6.(2013·门平谷模拟)已知等腰三角形的顶角为50°,则这个等腰三角形的底角为(

)A.50°B.65°C.80°D.50°或65°【解析】选B.等腰三角形的底角为7.(2013·吉安模拟)设一个不等边三角形的最小内角为∠A,在下列四个度数中,∠A最大可取(

)A.20°B.58°C.60°D.89°【解析】选B.∵∠A为不等边三角形的最小内角,∴∠A是小于60°的角,∵在四个度数中只有20°,58°符合小于60°的角的条件,∴∠A最大可取58°.8.(2013·无锡模拟)若一个三角形的一边长为3cm,则它的周长可能为(

)A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm【解析】选D.∵三角形任意两边之和大于第三边,∴这个三角形的另外两边之和大于3cm,∴这个三角形的周长大于6cm,只有选项D符合题意.9.(2013·湖南模拟)已知三角形的两边长为4,8,则第三边的长度可以是

(写出一个即可).【解析】根据三角形三边关系定理得第三边的长度x在4～12之间(不包括4和12),所以在4～12之间(不包括4和12)任意一个数都符合题意.答案:5(答案不唯一)1.(2012·巴中中考)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是(

)A.中线B.角平分线C.高线D.中位线【解析】选A.三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形,而三角形的面积=×底×高,根据公式可知只要底与高分别相等,它们的面积就相等.2.(2012·梧州中考)如图,AE是△ABC的角平分线,AD⊥BC于点D,若∠BAC=128°,∠C=36°,则∠DAE的度数是(

)A.10°B.12°C.15°D.18°【解析】选A.因为AE是△ABC的角平分线,∠BAC=128°,所以∠CAE=64°,又因为AD⊥BC于点D,∠C=36°,则∠CAD=90°-36°=54°,因此∠DAE=∠CAE-∠CAD=10°3.(2013·鞍山中考)如图,已知D,E在△ABC的边上,DE∥BC,∠B=60°,∠AED=40°,则∠A的度数为(

)A.100°

B.90°

C.80°

D.70°【解析】选C.∵DE∥BC,∠AED=40°,∴∠C=∠AED=40°.∵∠B=60°,∴∠A=180°-∠C-∠B=180°-40°-60°=80°.4.(2013·宜昌中考)下列每组数分别表示三根木棒的长度,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是(

)A.1,2,6B.2,2,4C.1,2,3D.2,3,4【解析】选D.A中因为1+2<6,所以本组不能构成三角形;B中因为2+2=4,所以本组不能构成三角形;C中因为1+2=3,所以本组不能构成三角形;D中因为2+3>4,所以本组可以构成三角形.5.(2013·扬州中考)一个多边形的每个内角均为108°,则这个多边形是(

)A.七边形B.六边形C.五边形D.四