新编应用数学 课件 第4章一元函数积分学

第4章一元函数积分学4-1定积分的概念与性质

4-2原函数与不定积分4-3积分法4-4定积分在几何上的应用

第4章一元函数积分学

4-5定积分在物理中的应用4-6定积分在经济上的应用

4-7数学建模与数学实验

Matlab在积分学中的应用

4-1定积分的概念与性质一、问题引入二、定积分的基本概念三、定积分的基本性质四、小结一、问题的引入4-1定积分的概念与性质

引例1[曲边梯形的面积]

下面我们讨论由连续曲线y=f(x)(设f(x)≥0)，直线x=a,x=b和x轴(y=0)所围成的曲边梯形面积.所谓曲边梯形，是指如图所示的图形AabB，其中有两边平行，第三边与这两边垂直，第四条边是曲线。

它的面积不能用初等数学的方法来解决，于是人们产生了如下想法：4-1定积分的概念与性质

用平行与y轴的直线将曲边梯形切割成若干个小曲边梯形，每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替，把这些小矩形的面积累加起来，就得到曲边梯形面积的一个近似值，当分割得无限细时，这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积．4-1定积分的概念与性质

(1)分割.

在[a,b]中插n-1个分点把区间[a,b]分成个小区间：其中第个小区间长度为过每个分点作平行于y轴的直线，曲边梯形被分成n个小曲边梯形.

，，，，4-1定积分的概念与性质

在每个小区间内任取一点

，以

为底边、为高作小矩作，其面积为

(2)取近似.4-1定积分的概念与性质

当很小时，窄曲边梯形的面积

与小矩形面积

近似相等,即4-1定积分的概念与性质

（3）求和.

将各窄曲边梯形面积的近似值加起来即得所求大曲边梯形面积的近似值.4-1定积分的概念与性质

（4）取极限.

记Δx=max{Δxi},当Δx→0时,取上述和式的极限,得曲边梯形的面积为

求曲边梯形的面积就归结为求上述这种和式的极限.4-1定积分的概念与性质

引例2[变速直线运动的路程]

4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

从上述两个例子可以看出，虽然它们的实际意义不同，但撇开这些问题所代表的几何、物理意义，处理这些问题所使用的思想方法和步骤、以及最后所得出的数学表达式来看都是相同的.即归结为对某个量进行“分割、取近似、求和、取极限”，或者说都转化为具有特定结构的和式的极限问题．

在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线做功、物质的质量、平均值、曲线的弧长等，都可以归结为这种特定和式的极限.由此，抽象出定积分的概念．

4-1定积分的概念与性质

二、定积分及其基本概念4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

（2）从定义可以推出定积分存在的必要条件是被积函数在上有界．（3）由定义可知，当

在区间

上的定积分存在时，定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量的记号无关，即有4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

x

yOab

y

f(x)

y

-f(x)=-A=-A4-1定积分的概念与性质

b

y=f(x)aO

y

x－＋＋4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

例1利用定积分定义计算4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

案例1[汽车行驶的路程]一汽车以速度

（

的单位：秒，的单位：米/秒）作直线运动，试用定积分表示汽车在时间区间

内经过的路程

．解由定积分的定义知，物体经过的路程

是速度

在时间区间

上的定积分,即4-1定积分的概念与性质

解由定积分的意义知，流入水箱的总量

是水流到水箱的速度

在时间区间

上的定积分，即4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

从性质4立刻推出如下推论:

推论1:若

在区间

上可积，且

，则4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

证因为

在

上连续，所以

在

上可积，且有最小值

和最大值

．则在

上，4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

解（1）当4-1定积分的概念与性质

4-1定积分的概念与性质

例3估计定积分

的大小．4-1定积分的概念与性质

解函数在区间[2,4]上的平均值为5，由积分中值定理有4-1定积分的概念与性质

解全波整电流的周期,求周期函数的平均值是求一个周期上的平均值，于是四、小结4-1定积分的概念与性质

1.掌握定积分的基本概念（1）定积分的定义（2）定积分的几何意义（3）定积分存在定理2.理解定积分的基本性质，能熟练运用性质求定积分4-1定积分的概念与性质

4-2原函数与不定积分4-3积分法4-4定积分在几何上的应用

第4章一元函数积分学

4-5定积分在物理中的应用4-6定积分在经济上的应用

4-7数学建模与数学实验

Matlab在积分学中的应用

4-2原函数与不定积分一、问题引入二、原函数的概念三、不定积分的概念四、基本积分表五、不定积分的线性性质六、直接积分法4-2原函数和不定积分一.问题引入

4-2原函数和不定积分

本例为已知曲线上每一点切线的斜率，求曲线方程.实际上是已知函数的导数，求函数的表达式的问题.这实际是导数运算的逆运算问题.即研究从已知函数的导函数求原来的函数．解决这个问题不仅是数学理论的需要，更是解决许多实际问题的需要．4-2原函数和不定积分

二.原函数概念

例如，

是

在区间

上的一个原函数，因为

；

又如，在

内

，故路程函数

是速度函

的一个原函数．4-2原函数和不定积分

4-2原函数和不定积分

在上节中知道：凡在区间上连续的函数都有原函数．由于初等函数在其定义区间内是连续的.因此，初等函数在其定义区间上都有原函数

上述结果表明，如果

在

上有一个原函数

，则它就有无穷多个原函数，且全体原函数可写成的形式

，其中

为任意常数．4-2原函数和不定积分由原函数定义下面引入不定积分的概念4-2原函数和不定积分

三.不定积分的定义1.定义4.2.2

函数的全部原函数，称为的不定积分，记作

．其中“”称为积分号,称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式．如果是的一个原函数，则（为任意常数）．其中称为积分常数．4-2原函数和不定积分

4-2原函数和不定积分

4-2原函数和不定积分

3.不定积分的几何意义

如果是的一个原函数，则的不定积分．对于每一给定的常数，表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为的一条积分曲线．由于可以取任意值，因此不定积分表示的一族积分曲线．

4-2原函数和不定积分

3.不定积分的几何意义4-2原函数和不定积分

4-2原函数和不定积分

例1设曲线通过点（0，1），且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线的方程．4-2原函数和不定积分

4-2原函数和不定积分

4-2原函数和不定积分

解当时，，所以当时，，所以．．所以．4-2原函数和不定积分

四、基本积分表4-2原函数和不定积分基本积分表4-2原函数和不定积分

五、不定积分的线性性质性质1不定积分与求导数或微分互为逆运算．(2)或．(1)或．性质2被积表达式中的非零常数因子，可以移到积分号前．(，常数).4-2原函数和不定积分

性质3

两个函数代数和的不定积分，等于两个函数积分的代数和．．一般地，．六、不定积分的直接积分法4-2原函数和不定积分

这13个公式必须熟记，它们是求积分的基础.下面举例说明利用基本积分公式和积分的性质求不定积分的方法，即直接积分法.4-2原函数和不定积分

例7

求积分解4-2原函数和不定积分

在进行不定积分的计算时，两个不定积分应该各含一个积分常数，但由于任意常数的和仍为任意常数，所以在整个不定积分的运算结果中只需写一个任意常数即可．4-2原函数和不定积分

4-2原函数和不定积分

4-2原函数和不定积分

4-2原函数和不定积分

4-2原函数和不定积分

解

（1）由速度和加速度的关系

知,速度函数满足

，且

，则4-2原函数和不定积分

（2）由路程与速度的关系

知，路程函

数满足

则将

代入上式，得

，所以,4-2原函数和不定积分

解已知

，由不定积分定义得

将

代入上式，得

，所以4-2原函数和不定积分

解由

，由不定积分定义,得其中

开始结冰，此时冰的厚度为0，即有

，代入上式得

，所以4-2原函数和不定积分

案例4[总收入]设某厂生产某种商品的边际收益函数

,其中

为该商品的产量，如果该商品可在市场上全部售出，求总收入函数七、小结1.掌握不定积分的基本概念（1）不定积分的定义（2）不定积分的几何意义（3）不定积分性质2.能熟练运用不定积分的性质求不定积分——直接积分法4-2原函数和不定积分

4-1定积分的概念与性质

4-2原函数与不定积分4-3积分法

4-4定积分在几何上的应用

第4章一元函数积分学

4-5定积分在物理中的应用4-6定积分在经济上的应用

4-7数学建模与数学实验

Matlab在积分学中的应用

4-3积分法一、问题引入二、微积分基本公式三、换元积分法四、分部积分法五、小结4-3积分法

定积分是一种特殊和式的极限.用定义计算定积分十分繁琐，即使是很简单的被积函数，也是十分困难的．本节将通过微积分基本公式，揭示微分与积分、不定积分与定积分的关系，从而确定定积分运算的基本方法．一、问题引入

解：当列车速度为

时停下，解出

（

）.一方面，由变速直线运动路程的计算有另一方面，由速度和路程的关系

且

.因此，求

，即

，转化为求

的不定积分，而4-3积分法

将

代入上式，得

，所以

将

代入上式，可得列车从减速开始到停下经过3秒时间，所经过的路程为即列车在离站台1.5千米处开始减速.

从这一案例可以看出，求函数的定积分

可以转化为求函数

的不定积分.4-3积分法

4-3积分法

二.微积分基本公式1.积分变上限函数及其导数4-3积分法

其几何意义是图4-9所示阴影的面积

4-3积分法

4-3积分法

4-3积分法

4-3积分法

4-3积分法

2.微积分基本公式

4-3积分法

（4.3.1）

4-3积分法

4-3积分法4-3积分法

4-3积分法

4-3积分法

4-3积分法

4-3积分法

4-3积分法

三.换元积分法解由加速度和速度的关系

，有

下一步如何求原函数

的不定积分呢？只利用基本积分表和积分的性质，显然是不够的．必须探寻更加切实可行的方法．4-3积分法

（一）不定积分的换元积分法1.第一类换元法4-3积分法

第一换元法求不定积分的一般步骤如下：（令

）4-3积分法

4-3积分法

4-3积分法

4-3积分法

熟练之后，可以省去中间的换元过程．4-3积分法

常用的凑微分形式

序号微分公式序号微分公式1

（为常数且

）8293104115126137144-3积分法

4-3积分法

4-3积分法

4-3积分法

进行不定积分的运算时，有时被积函数需要先做适当变形，然后再运用第一换元积分法进行求解．

4-3积分法

4-3积分法

4-3积分法

解设

表示从1970年（

）起到第年石油消耗的总量，

就是石油消耗率

，即

.于是由变化率求总消耗量，得，先凑微分

，则有令

得

4-3积分法

4-3积分法

2.第二类换元法定理4.3.5（第二类换元法）4-3积分法

4-3积分法

(1)无理代换

4-3积分法

4-3积分法

4-3积分法

4-3积分法例19求

4-3积分法

(2)三角代换

4-3积分法

例20

求．

解

设，则，．所以4-3积分法

．由，所以．于是因此，所求不定积分．4-3积分法

．

例21

求．

解设，则

，

所以．

为了返回原积分变量，可由作辅助三角形．4-3积分法

所以，其中.，4-3积分法

4-3积分法

4-3积分法

4-3积分法

解对

积分，得4-3积分法

解法一

用第一换元积分法得将

时

，代入上式,得

，所以

.4-3积分法

解法二

用第二换元积分法得

4-3积分法

(二）定积分的换元积分法4-3积分法

4-3积分法

4-3积分法

也可用＂凑微分法＂求，即

4-3积分法

4-3积分法

4-3积分法

解在时间

段内，天然气的产量（产量微元）为该新井前4年的总产量为四、分部积分法4-3积分法

设函数

与

均可导，则根据乘积的求导法则，有即

将上式两边求不定积分得，（一）不定积分的分部积分法4-3积分法

因此，不定积分的分部积分公式为

(4.3.5)4-3积分法

解解法一若令

，则得解法二若令

，则得4-3积分法（1）

要容易求得；（2）

比

容易积出.

注意：一般地，如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数(或指数函数)的乘积，可用分部积分法，选幂函数为u；如果被积函数是幂函数与对数函数（或反三角函数）的乘积，选对数函数（或反三角函数）为u.4-3积分法

例27求下列不定积分：（1）

；（2）

；（3）

.（2）（3）注意：分部积分法的使用远非限于上述几种函数乘积的形

式．对它的灵活运用会大大扩充其适用范围．4-3积分法（二）定积分的分部积分法

设函数

、

在区间上有连续导数，利用微积分基本公式，相应地有定积分的分部积分公式.

定理4.3.7若

，

在

上有连续的导数，则

(4.3.6)4-3积分法4-3积分法

例28计算下列定积分：解（1）

4-3积分法

4-3积分法所以，4-3积分法

解

由变化率求总该变量得4-3积分法

解该厂在

年排出的废气量（废气量微元）为

，因此该厂在

和

年间排出的总废气量为4-3积分法

注意：换元积分法和分部积分法是求不定积分和定积分的基本方法，初等函数的积分公式组成基本积分表．“两法一表”是进行积分运算的主要依据．五、小结1.掌握微积分基本公式的概念及应用3.分部积分法（1）不定积分的分部积分法（2）定积分的分部积分法4-3积分法

2.换元积分法（1）不定积分的换元积分法（2）定积分的换元积分法4-1定积分的概念与性质

4-2原函数与不定积分4-3积分法4-4定积分在几何中的应用第4章一元函数积分学

4-5定积分在物理中的应用4-6定积分在经济上的应用

4-7数学建模与数学实验

Matlab在积分学中的应用

4-4定积分在几何中的应用一、微元法二、平面图形的面积三、旋转体的体积四、平面曲线的弧长五、小结4.4定积分在几何中的应用

4.4定积分在几何中的应用

一、微元法4.4定积分在几何中的应用

现在来简化这个过程，一般可概括为以下两步：

称为所求量

微元(元素)，记为

4.4定积分在几何中的应用

第二步：求和取极限

这种方法称为微元法．4.4定积分在几何中的应用

引例1[由变化率求总改变量]则由微元法，得从

到

的总变化量为4.4定积分在几何中的应用

二.平面图形的面积图4-13（4.4.1）4.4定积分在几何中的应用

图4-144.4定积分在几何中的应用用元素法求它的面积．（3）在区间上

积分，即得所求图形的面积（4.2）（1）取横坐标

为积分变量，4.4定积分在几何中的应用

（4.4.3）图4-154.4定积分在几何中的应用

例1求由两条抛物线

，

，所围图形（图4-16）的面积．4.4定积分在几何中的应用

解得

及

．x0图4-16所围的面积为4.4定积分在几何中的应用

解联立解之得曲线与直线的交点

和

．以

为积分变量，则所求面积为4.4定积分在几何中的应用

x图4-17从例2看出，适当选取积分变量，会给计算带来方便．4.4定积分在几何中的应用

解由于椭圆关于轴与轴都是对称的，故它的面积是位于第一象限内的面积的4倍．图4-184.4定积分在几何中的应用

4.4定积分在几何中的应用

4.4定积分在几何中的应用

Oyx0.64米1.60图4-19解

建立直角坐标系如图4-19所示，即抛物线方程为

，因为它过点

，所以

，即抛物线方程为

.此图形的面积实际上是由曲线

与直线

所围成的面积·面积微元为

面积为4.4定积分在几何上的应用4.4定积分在几何上的应用

三.旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这条直线叫做旋转轴．圆柱，圆锥，圆台，球体等都可以看成是旋转体．故所求旋转体的体积为

（4.4.5）4.4定积分在几何上的应用4.4定积分在几何上的应用

4.4定积分在几何上的应用

例5求底面半径为r，高为h的正圆锥体的体积．所以体积4.4定积分在几何上的应用

解

如图4-23所示，根据求旋转体的体积公式，得图4-234.4定积分在几何上的应用

解

这个旋转椭球体可看作由半个椭圆绕轴旋转一周而成．所以它的体积特别当

时,得半径为

的球体体积4.4定积分在几何上的应用

四.平面曲线的弧长

设有一曲线弧段

，它的方程是如果

在

上有连续的导数，则称弧段是光滑的，试求这段光滑曲线的长度．于是得弧长元素(也称弧微分)因此，所求的弧长为（4.4.7）y4.4定积分在几何上的应用

4.4定积分在几何上的应用

解

代入公式(7)式，得axy0图4-254-4定积分在几何中的应用

1.微元法的应用；2.平面图形的面积的求法；3.旋转体的体积的求法；4.平面曲线的弧长的求法；五、小结5.应用举例。4-1定积分的概念与性质

4-2原函数与不定积分4-3积分法4-4定积分在几何中的应用第4章一元函数积分学

4-5定积分在物理中的应用4-6定积分在经济上的应用

4-7数学建模与数学实验

Matlab在积分学中的应用

4-5定积分在物理中的应用一、变力沿直线做功二、压力三、小结4.5定积分在物理中的应用

从物理学知道，若物体在作直线运动的过程中一直受与运动方向一致的常力

的作用，则当物体有位移时，力

所做的功为一.变力沿直线做功4.5定积分在物理中的应用

所以当物体沿x轴从

移动至

时，作用在其上的力所做的功为(5.1)4.5定积分在物理中的应用

解设铁钉击入木板的深度为

，所受阻力

（

为比例常数）铁锤第一次将铁钉击入木板1

，所做的功为4.5定积分在物理中的应用

由于第二次锤击铁钉所做的功与第一次相等，故有其中

为两锤共将铁钉击入木板的深度．上式即4.5定积分在物理中的应用

二．压力例2[水闸门所受的压力]有一圆柱形大蓄水池，直径为20米，高为30米，池中盛水半满（即水深15米）．求将水从池口全部抽出所做的功．4.5定积分在物理中的应用

从而所做的功为

图4-274-5定积分在物理中的应用

1.掌握定积分在变力沿直线做功的应用；2.掌握定积分在求压力中的应用；

定积分在物理中的应用十分广泛，如计算物体的质量、静力矩与重心、液体压力、两质点的引力等问题，都可以应用微元法分析处理，类似各种实例不胜枚举，重要的是通过学习能熟练地运用这种方法，以不变应万变。三、小结4-1定积分的概念与性质

4-2原函数与不定积分4-3积分法4-4定积分在几何中的应用第4章一元函数积分学

4-5定积分在物理中的应用4-6定积分在经济上的应用

4-7数学建模与数学实验

Matlab在积分学中的应用

4-6定积分在经济上的应用一、已知边际函数求总函数二、已知边际函数求总函数在区间上的增量三、已知边际函数求总函数的最值四、求函数的平均值五、小结4.6定积分在经济上的应用

4.6定积分在经济上的应用

一.已知边际函数求总函数

由于总函数（如总成本、总收益、总利润等）的导数就是边际函数（如边际成本、边际收益、边际利润等），当已知初始条件时，即可用定积分求出总量函数.在经济活动中经常遇到求总量问题，一般有以下几类.4.6定积分在经济上的应用

4.6定积分在经济上的应用

3.总利润等于总收入扣除总成本，记总利润为

，则

，若已知边际收入为

，边际成本为

，则累计产量

从

到

所获得的总利润为4.6定积分在经济上的应用

二.已知边际函数求总函数在区间上的增量4.6定积分在经济上的应用

三．已知边际函数求总函数的最值

设边际收入为

，边际成本为

，固定成本为

，则总利润函数为4.6定积分在经济上的应用

（1）总成本函数

，总收益

，总利润

；（2）当生产量由10百件增加到15百件时，平均成本、平均收益、平均利润是多少？

分析：已知边际成本

，边际收益

，如果固定成本记为

，

,则总成本和总收益分别为4.6定积分在经济上的应用

因此，总利润函数

为4.6定积分在经济上的应用

4.6定积分在经济上的应用

4.6定积分在经济上的应用

求：(1)销售40台时的总利润；(2)销售出60台时，前30台平均利润和后30台的平均利润；(3)销售多少台时利润最大，最大利润是多少？4.6定积分在经济上的应用

（2）前30台平均利润为后30台平均利润为4.6定积分在经济上的应用

所以

当台时利润最大.最大利润为4.6定积分在经济上的应用

解（1）总利润函数为,欲求最大利润，只需求出的最大值

即可.4.6定积分在经济上的应用

4.6定积分在经济上的应用

四．求函数的平均值4.6定积分在经济上的应用

4.6定积分在经济上的应用

4.6定积分在经济上的应用

1.直流电的平均功率

平均功率又称为有功功率（activepower),由电工学知，电流在单位时间所做的功率称为电流的功率

，即

直流电通过电阻

，消耗在电阻

上的功率（即单位时间内消耗在电阻上的功）是4.6定积分在经济上的应用2.交流电的平均功率

交流电虽然在不断变化，但在很短的时间间隔内，可以近似地认为是不变的（即近似地看做是直流电），因而在

时间内

对以常代变，可得到功微元：4.6定积分在经济上的应用在一个周期内消耗的功率为因此，交流电的平均功率为

4-6定积分在经济上的应用

1.根据已知边际函数求总成本函数、总收入函数、总利润函数；2.能根据已知边际函数求总函数在区间上的增量；五、小结3.根据已知边际函数求总函数的最值；4.会求函数在区间上的平均值。4-1定积分的概念与性质

4-2原函数与不定积分4-3积分法