高考数学二轮总复习专题能力训练3平面向量复数文

专题能力训练3平面向量、复数能力突破训练1.(2022广西贵港模拟)已知复数z满足z(1+i)=13i,则复数z在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.如图,方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则OP+OQ=(A.OH B.OG C.FO D.EO3.设a,b是两个非零向量,下列结论正确的为()A.若|a+b|=|a||b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a||b|C.若|a+b|=|a||b|,则存在实数λ,使得b=λaD.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a||b|4.若z=1+3i,则zzz-1A.1+3i B.13iC.13+335.已知向量a=(3,6),c=(m,1),若a⊥(ac),则实数m的值为()A.9 B.17 C.7 D.216.在正方形ABCD中,E为CD的中点,点F为CB上靠近点C的三等分点,O为AC与BD的交点,则DB=()A.85AE+C.185AE+7.(2022广西柳州二模)设a=(3,m),b=(4,2),则“m=1”是“a⊥(ab)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.如图所示,在△ABC中,点D是BC边的中点,过点D的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,则m+n=()A.1 B.32 C.2 D.9.已知向量m=(2,5),n=(1,λ),若n在m方向上的投影为4,则实数λ的值为.

10.设向量a=(x,4),b=(1,x),向量a与b的夹角为锐角,则x的取值范围为.

11.在△ABC中,若AB·AC=AB·CB=12.已知e1=(1,0),|e2|=1,e1,e2的夹角为30°.若3e1e2,e1+λe2互相垂直,则实数λ的值是.

13.过点P(1,3)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则PA·PB=14.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上取一点P,使AP·BP有最小值,则点P的坐标是思维提升训练15.已知复数2-aii=1bi,其中a,b∈R,i是虚数单位,则|a+biA.1+2i B.1C.5 D.516.欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,特别是当x=π时,eiπ+1=0被认为是数学中最优美的公式.根据欧拉公式可知,ei在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限17.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I318.(2022北京,10)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°,P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则PA·PB的取值范围是(A.[5,3] B.[3,5]C.[6,4] D.[4,6]19.(2022广西玉林模拟)在△ABC中,AC=3,AB=4,∠BAC=π3,AD=2DB,P为线段CD上一点,且不与点C,D重合,若AP=mAC+nAB,APA.14 B.1C.12 D.20.已知点P是边长为2的正三角形ABC所在平面上一点,满足PC·(PA+PB)=0,则|PB|的最小值是(A.5-22C.1 D.721.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1t)b.若b·c=0,则t=.

22.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若EF=λAB+μDC,则λ+μ=.

23.(2022广西桂林二模)已知菱形ABCD的边长为2,E是BC的中点,则AE·ED=答案：能力突破训练1.B解析:因为z(1+i)=13i,所以z=1-3i则z=1+2i,所以z对应点的坐标为(1,2),在第二象限.2.C解析:设a=OP+OQ,以OP,OQ为邻边作平行四边形,则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量即为向量a=因为a和FO长度相等,方向相同,所以a=FO,故选C.3.C解析:设向量a与b的夹角为θ.对于A,可得cosθ=1,因此a⊥b不成立;对于B,当满足a⊥b时,|a+b|=|a||b|不成立;对于C,可得cosθ=1,因此成立,而D显然不一定成立.4.C解析:zzz-15.B解析:根据题意,得ac=(3m,7).因为a⊥(ac),所以a·(ac)=3(3m)+42=0,解得m=17.6.A解析:如图所示,以D为坐标原点,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.设AB=6,则A(0,6),B(6,6),O(3,3),E(3,0),F(6,2),D(0,0),DB=(6,6),AE=(3,6),OF=(3,1).设DB=mAE+nOF,则6=3m+3故DB=857.A解析:当m=1时,ab=(1,3),a·(ab)=3×(1)+(1)×(3)=0,所以a⊥(ab),充分性成立;当a⊥(ab)时,ab=(1,m2),a·(ab)=3×(1)+m·(m2)=0,解得m=1或m=3,所以必要性不成立.所以“m=1”是“a⊥(ab)”的充分不必要条件.8.C解析:因为AB=mAM,AC=nAN,所以AB=mAM,AC=n因为D是BC的中点,所以AD=12(AB+AC)=m9.25解析:依题意,得n在m方向上的投影为m·n|m|=210.(0,2)∪(2,+∞)解析:因为向量a=(x,4),b=(1,x),向量a与b的夹角为锐角,所以x·1+(4)(x)>0,且x2≠4,解得x>0,且x≠2.故x的取值范围为(0,2)∪(2,+∞).11.22解析:由AB·AC=4,AB·CB=于是AB·(AC+CB)=8,即AB·AB=8,故|AB|2=8,得|AB12.3解析:因为3e1e2,e1+λe2互相垂直,所以(3e1e2)·(e1+λe2)=0,整理得到3e12+(3λ1)e1·e2λe22=0,即3+(3λ1)×32λ13.32解析:∵OA=1,AP=3,又PA=PB,∴PB=3.∴∠APO=30°.∴∠APB=60°.∴PA·PB=|PA||PB|cos60°=14.(3,0)解析:设点P的坐标为(x,0),则AP=(x2,2),BP=(x4,1),AP·BP=(x2)(x4)+(2)×(1)=x26x+10=(x3)2当x=3时,AP·BP有最小值1.此时点P思维提升训练15.D解析:由2-aii=1bi,得2ai=i(1所以a=1,b=2,所以a+bi=1+2i,所以|a+bi|=|1+2i|=(-116.A解析:依题意,ei=cos1+isin1,在复平面内对应点的坐标为(cos1,sin1),而cos1>0,sin1>0,该点在第一象限.17.C解析:由题图可得OA<12AC<OC,OB<12BD<OD,∠AOB=∠COD>90°,∠所以I2=OB·OC>0,I1=OA·OB<0,I3=OC·OD<0,且所以I3<I1<0<I2,故选C.18.D解析:如图所示,以点C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则C(0,0),A(3,0),B(0,4).∵PC=1,∴可设P(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π],∴PA·PB=(3cosθ,sinθ)·(cosθ,4sinθ)=3cosθ4sinθ+sin2θ+cos2θ=15sin(θ+其中tanφ=34∵1≤sin(θ+φ)≤1,∴4≤PA·PB≤6.19.B解析:设CP=kPD(k>0),则AP-AC=k23AB-AP,将AP=mAC+nAB代入可得(1+k)mAC+(1又AP·所以(mAC+nAB)·23AB-即2m3AC·AB又AC·AB=|AC||AB|cos∠BAC=3×4cosπ3=6,AC2=9,AB2=16,所以14将m=11+k,n=2k所以m=14,n=12,故mn=20.D解析:设AB的中点为D,则PA+PB=2又PC·(PA+PB)=0,所以PC·PD=0,所以点P在以CD设CD的中点为O,则|PB|的最小值为OBCD221.2解析:∵c=ta+(1t)b,∴b·c=ta·b+(1t)|b|2.又|a|=|b|=1,且a与b的夹角为60°,b·c=0,∴0=t|a||b|c