（新教材适用）2023-2024学年高中数学第一章数列2等差数列21等差数列的概念及其通项公式第2课时等差数列的性质及等差中项课后训练北师大版选择性

第2课时等差数列的性质及等差中项课后训练巩固提升A组1.已知数列{an}是无穷数列,则“2a2=a1+a3”是“数列{an}为等差数列”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:若“数列{an}为等差数列”成立,必有“2a2=a1+a3”,而仅有“2a2=a1+a3”成立,不能断定“数列{an}为等差数列”成立,必须满足对任何的n∈N+,都有2an+1=an+an+2成立才可以,故“2a2=a1+a3”是“数列{an}为等差数列”的必要不充分条件.答案:B2.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=().A.12 B.16 C.20 D.24解析:因为数列{an}是等差数列,所以a2+a10=a4+a8=16.答案:B3.(多选题)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法,正确的是().A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列C.数列ann是递增数列 D.数列{an+3解析:A项中,∵{an}是等差数列,且d>0,∴an=a1+(n1)d=dn+a1d,∴{an}是递增数列,故A正确;B项中,nan=na1+n(n1)d=dn2+(a1d)n.不一定为递增数列,如当a1=3,d=1时,nan=n24n,2a2=4<3=a1,∴{nan}不是递增数列,∴B错误;C项中,ann=d+a1-dn,当D项中,an+3nd=4nd+a1d,4d>0,{an+3nd}是递增数列,D正确.故选AD.答案:AD4.在等差数列{an}中,a1·a3=8,a2=3,则公差d的值为().A.1 B.1 C.±1 D.±2解析:∵a2=3,∴a1+a3=6,∵a1·a3=8,∴a∴d=±1.答案:C5.已知等差数列{an}满足:a3=13,a13=33,则数列{an}的公差为().A.1 B.2 C.3 D.4解析:等差数列{an}的公差d=a13-a答案:B6.若一个三角形的三个内角∠A,∠B,∠C成等差数列,则tan(A+C)=.

解析:∵∠A,∠B,∠C成等差数列,∴2∠B=∠A+∠C.又∠A+∠B+∠C=π,∴3∠B=π,∴∠B=π3∴∠A+∠C=2π∴tan(A+C)=tan2π3=答案:37.在等差数列{an}中,若a3a4+a5a6+a7=100,则a5=.

解析:∵a3+a7=a4+a6,∴a3a4+a5a6+a7=(a3+a7)(a4+a6)+a5=a5=100.答案:1008.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为.

解析:设这三个数分别为ad,a,a+d,由题意得a解得a=3,d=4答案:219.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,求m和n的等差中项.解:由题意得m①+②,得3(m+n)=18,∴m+n=6,∴m和n的等差中项为m+n210.在等差数列{an}中,已知a2+a5+a8=9,a3a5a7=21,求该数列的通项公式.解:∵a2+a5+a8=9,a3a5a7=21,a2+a8=a3+a7=2a5,∴a5=3.(方法一)∴a3+a7=2a5=6,①a3·a7=7,②由①②解得a3=1,a7=7或a3=7,a7=1.当a3=1时,d=2;当a3=7时,d=2.由an=a3+(n3)d,得an=2n7或an=2n+13.(方法二)∴a3·a7=7,∴(a52d)(a5+2d)=7,∴(32d)(3+2d)=7,解得d=±2.若d=2,则an=a5+(n5)d=3+2(n5)=2n7;若d=2,则an=a5+(n5)d=32(n5)=132n.∴an=2n7或an=2n+13.B组1.下列说法正确的个数是().①若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列;②若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列;③若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列;④若a,b,c成等差数列,则1a,A.4 B.3 C.2 D.1解析:对于①,取a=1,b=2,c=3⇒a2=1,b2=4,c2=9,①错误.对于②,a=b=c⇒2a=2b=2c,②正确.对于③,∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.∴(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),③正确.对于④,a=b=c≠0⇒1a④正确.综上可知选B.答案:B2.已知数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列,且bn=an+1an(n∈N+).若b3=2,b10=12,则a8=().A.0 B.3 C.8 D.11解析:设数列{bn}的首项为b1,公差为d.由b3=2,b10=12,得b1+2所以bn=6+2(n1)=2n8.因为bn=an+1an,所以a8=(a8a7)+(a7a6)+(a6a5)+(a5a4)+(a4a3)+(a3a2)+(a2a1)+a1=b7+b6+b5+…+b1+a1=(6+4+2+0246)+3=3.答案:B3.下列数阵中,每行、每列的三个数均成等差数列,如果数阵中所有数之和等于63,那么a52=().aA.2 B.8 C.7 D.4解析:因为第一行三个数成等差数列,所以a41+a42+a43=3a42,同理,a51+a52+a53=3a52,a61+a62+a63=3a62,又每列也成等差数列,所以a42+a52+a62=3a52,所以a41+a42+a43+a51+a52+a53+a61+a62+a63=3a42+3a52+3a62=3×3a52=63,所以a52=7,故选C.答案:C4.已知在△ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,则∠B等于;ac与b2的大小关系是.

解析:由已知得B=A+C2=在△ABC中,b2=a2+c22accosπ3=a2+c2ac所以b2=a2+c2ac≥2acac=ac.答案:π3b2≥5.在等差数列{an}中,已知a1,a99是函数f(x)=x210x+16的两个零点,则12a50+a20+a80=.解析:由题意,知a1,a99是方程x210x+16=0的两根,则a1+a99=10.又因为{an}是等差数列,所以a50=a1+故12a50+a20+a80=52a50=52×5答案:256.已知5个数成等差数列,它们的和为25,它们的平方和为165,求这5个数.解:设这5个数依次为a2d,ad,a,a+d,a+2d,由题意可得(a2d)+(ad)+a+(a+d)+(a+2d)=25,(a2d)2+(ad)2+a2+(a+d)2+(a+2d)2=165,解得a=5,d=±2.所以这5个数为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.7.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+nλ)an(n=1,2,…),λ是常数.(1)当a2=1时,求λ及a3的值.(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.解:(1)∵an+1=(n2+nλ)an(n=1,2,…),且a1=1,∴当a2=1时,得1=2λ,故λ=3.∴a3=(22+23)×(1)=3.(2)不存在实数λ使数列{an}为等差数列.理由如下:∵a1=1,an