2023年中考九年级数学高频考点专题训练-三角形综合

2023年中考九年级数学高频考点专题训练一三角形综合

1.如图，在△ABC中，AB=AC,DE垂直平分AC,CE1AB,AF1BC,

(1)求证：CF=EF；

(2)求NEFB的度数.

2.如图，在△4BC中，=60°,AB=8,BC=10,动点P从点A出发以每秒I个单位的速度沿

42匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC匀速运动，点Q到达点C后，

立即以每秒4个单位的速度沿CB返回，当点Q返回到点B时，P、Q两点都停止运动，设点Q运动

时间为t秒.

(1)当t=3时，BQ=,当t=7时，BQ=.

(2)如图，当点P运动到45的中点时，猜想PQ与AB的位置关系，并证明你的结论.

(3)在点P、Q运动过程中，若是等边三角形时，求t的值.

3.如图，在△ABC中，AB=AC=18cm,BC=10cm,AD=2BD.动点P以2cm/s的速度沿射线

BC运动，同时，点Q从点C出发，以acm/s的速度向终点A运动，当Q点停止运动时，P点也随

之停止运动，设点P的运动时间为t(s)(t>0).

BPC

(1)用含t的代数式表不PC的长；

(2)若点Q的运动速度为Icm/s,当ACQP是以NC为顶角的等腰三角形时，求t的值；

(3)当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与ACQP在某一时刻全等.

4.如图，在AABC中，ZC=90°,将AACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点

D处.

(1)当48=28。时，求LCAE的度数；

(2)当AC=6,AB=10时，求线段DE的长.

5.如图，AABC由两个全等的含45。的直角板拼成，其中，Z.ACB=90°,AC=BC,AB=

8,点。是48边长的中点，点E时AB边上一动点(点E不与点A、B重合)，连接

CE,过点B作BF1CE于F,交射线CD于点G.

(I)当点E在点。的左侧运动时，(图).求证：AACE三ACBG；

(2)当点占在点D的右侧运动时(图)(1)中的结论是否成立？请说明埋由：

(3)当点E运动到何处时，BG=5,试求出此时AE的长.

6.如图1,在等腰三角形A8C中，乙4=120。，A8=AC,点D、E分别在边AB、AC上，AD=

AE,连接8E,点M、N、P分别为DE、BE、8c的中点.

I)

图2

（1）观察猜想：图1中，线段NM、NP的数量关系是,乙MNP的大小为

（2）探究证明：把△AOE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE,判

断AMN0的形状，并说明理由.

7.如图，AABC中，AB=AC,ZBAC<60°,将线段AB绕点A逆时针旋转60。得到点D,

点E与点D关于直线BC对称，连接CD,CE,DE.

（1）依题意补全图形；

（2）判断^CDE的形状，并证明；

（3）请问在直线CE上是否存在点P,使得PA-PB=CD成立？若存在，请用文字描述出点P

的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由.

8.如图，点M是△48C的边AB上一点，连接CM,过A作4。1CM于点。，过B作BEJ.CM于点

E.

(I)如图①，若点M为48的中点时，连接AE,BD,求证：四边形A08E是平行四边形；

(2)如图②，若点M不是,48的中点，点0是A8上不与M重合的一点，连接D。，E0,已知点

0在DE的垂直平分线上，求证：AO=B0.

9.

(I)阅读理解:

图①图②图③

如图①，在△ABC中，若AB=8,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围是

(2)问题解决：如图②，在△ABC中D是BC边上的中点，DEJLDF于点D,DE交AB于点

E,DF交AC于点F,连接EF,求证：BE+CFAEF；

(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,以C为

顶点作一个70角的两边分别交AB,AD于E,F两点，连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数

量关系，并加以证明.

10.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=mx+m交x轴于点A,交)，轴的正半轴于点

B,点。在x轴的正半轴上，连接8C,tan484。=3tan/BC。.

(1)求点A,。的坐标；

(2)如图1,点P在第一象限内，横小标为九PO_Ly轴于点D,P/1J.BC于点E,AP=

BC,求机与/之间的函数关系式(不必写出自变量/的取值范围)

(3)如图2,在(2)的条件下，设BC交DP于点F,当BF=PE时，求，〃的值.

11.综合与实践

问题情境：

在数学课上老师出了这样一道题：如图1,在△4BC中4B=4C=6,^BAC=30°,求BC的长.

(1)探究发现：如图2,勤奋小组经过思考后，发现：把△ABC绕点A顺时针旋转90。得到△

ADE,连接8。，BE,利用直角三角形的性质即可求解，请你根据勤奋小组的思路，求BC的长；

(2)探究拓展：如图3,缜需小组的同学在勤奋小组的启发下，把△48C绕点A顺时针旋转120。

后得到AAOE,连接80,C£交于点F,交48于点G,请你判断四边形40/C的形状并证明;

（3）奇异小组的同学把图3中的ABGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，连接4F,发现AF的

长度在不断变化，直接写出的最大值和最小值.

12.综合与实践.特例感知.两块三角板4ADB与^EFC全等，NADB=NEFC=90。，NB=45。，

AB=6.

（1）将直角边AD和EF重合摆放.点P、Q分别为BE、AF的中点，连接PQ,如图1.则

△APQ的形状为.

（2）操作探究

若将^EFC绕点C顺时针旋转45。，点P恰好落在AD上，BE与AC交于点G,连接PF,如图

2.

①FG：GA=A：

②PF与DC的位置关系为£；

③求PQ的长；

（3）开放拓展

若△EFC绕点C旋转一周，当AC_LCF时，NAEC为.

13.在RtZkABC中，ZACB=90°,RtZkABC绕点A顺时针旋转到RtZkADE的位置，点E在斜边

（1）如图1,当点F与点A重合时，求NABC的度数;

（2）若NDAF=NDBA,

①如图2,当点F在线段CA上时，求NABC的度数；

②当点F在线段CA的延长线上，旦BC=7时，请直接写出△ABD的面枳.

14.在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90,BD平分NABC交AC于点D.

(I)如图1,点F为BC上一点，连接AF交BD于点E.若AB=BF,求证：BD垂直平分AF.

(2)如图2,CE1BD,垂足E在BD的延长线上.试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理

由.

(3)如图3,点F为BC上一点，ZEFC=iZABC,CE1EF,垂足为E,EF与AC交于点M.

直接写出线段CE与线段FM的数量关系.

15.如图，在菱形ABC。中，NA8C是锐角，E是8c边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向

旋转，交直线CD于点F.

(I)当AE_L8C,时,

①求证：AE=AF；

②连结8D,EF,若第=看，求$的值；

BD5。菱形ABCD

(2)当/E4F=1NBA。时，延长8c交射线4尸于点M,延长。C交射线4E于点N,连结

AC,MN,若48=4,AC=2,则当CE为何值时，ZiAMN是等腰三角形.

16.已知点O是线段A8的中点，点P是直线/上的任意一点，分别过点A和点8作直线/的垂线,

垂足分别为点C和点D.我们定义垂足与中点之间的距离为，足中距”.

图1图2图3

(1)［猜想验证妆口图1,当点P与点。重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距和OO

的数量关系是.

(2)［探究证明］如图2,当点P是线段A8上的任意一点时，“足中距和0。的数量关系是否

依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)［拓展延伸］如图3,①当点P是线段小延长线上的任意一点时，“足中距”0C和。。的数

量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由：

②若^COD=60°,请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系.

答案解析部分

1.【答案】(1)证明：・・・DE垂直平分AC,

AAE=CE,

VCE1AB,

・•・△ACE是等腰直角三角形，ZBEC=90°,

VAB=AC,AF_LBC,

・・・BF=CF,即F是BC的中点，

ARtABCE中，EF=iBC=CF：

(2)解：由(1)得：△ACE是等腰直角三角形,

AZBAC=ZACE=45°,

又TAB=AC,

/.ZABC=ZACB=1(180°-45°)=67.5U,

ZBCE=ZACB-ZACE=67.5°-45°=22.5°,

VCF=EF,

AZCEF=ZBCE=22.5°,

：NEFB是ACEF的外角，

/.ZEFB=ZCEF+ZBCE=22.5°+22.5°=45°.

2.【答案】(1)6；2

(2)解：PQLAB,

理由如下：在BQ上截取BE=BP,

・・,点P运动到AB的中点,

A.4P=PB=4,

4

t=T=4s»

•'•BQ=4x2=8,

,PB=BE=4,々B=60%

・・・APE8是等边三角形，

：・PE=BE=4,乙EPB=乙PEB=60°,

:・QE=PE=4,

工乙EPQ=乙EQP,

•:乙EPQ+AEQP=々PER=60°.

：.LQPE=30°,

：.乙QPE+乙EPB=90°=乙QPB,

：.PQLAB；

(3)解：当04tW5,BQ=23

当5〈"阴BQ=10-4(t-5)=30-43

•••△8PQ是等边三角形，

BPBQ

=,

82却

-t-”

8

t--或£=232

3

3.【答案】(1)解：•・•点P的运动速度为2cm/s,

：.BP=2£,

：,PC=10-2t；

(2)解：△CQP以WC为顶角的等腰三角形，

则PC=CQ,

PC=10-23CQ=t,

即10-2t=t,

解得：”当

・♦•当£=^S时，△口?「是以乙C为顶角的等腰三角形；

(3)解：①当BP=CQ时，BD=CP,

此对△BPD=△CQP,

根据题意可得：BP=2t,CQ=at,BD=\AB=6»PC=10-23

J

/.2t=at,6=10—23

解得：Q=2,t=2,

②当BP*CQ时，

1•△BP。与△CQP全等，Z.B=£C,

：・BP=CP==5，BD=CQ=6,

..5

,CQ12.

♦・汉=—=-g-cm/5，

综上可得：当Q的速度为2cm/s或第cm/sO寸，△BPD与△CQP在某一时刻全等.

4.【答案】(1)VzC=90°,乙B=28°

・••/.CAB=90—N8=90°-28°=62°

由折叠的性质可知Z-CAE=LEAB

1

2LCAE=-ZLCAR=31°

(2)VzC=90°,AC=6,AB=10

=yjAB2-AC2=V102-62=8

由折叠的性质可知AC=AD,CE=DE.^EDA=Zf=90°

:.乙EDB=1800-/-EDA=180°-90°=90°

设OE=%,贝I」BE=8一%,=10-6=4

在Rl△EDB中，ED2+DB2=EB2

/.X2+42=(8-X)2

解得x=3

:・DE=3

5.【答案】(I)证明：在Rt△ABC中，

\'AC=BC,・"4=乙ABC=45°.

•・•点。是A8的中点，."8CG=义乙4cB=45。，

：.LA=Z.BCG.

VBF1CE,乙CBG+乙BCF=90。.

'：LACE+Z.BCF=90°,

:•乙CBG=(ACE,

在△力CE和dCBG中,

Z.ACE=Z.CBG

AC=BC,:.△ACE=△CBG(ASA)

乙4=乙BCG

(2)解：结论仍然成立，HPAACE^ACBG.

理由如下：在RsABC中，

VAC=BC,.\ZA=ZABC=45°.

•・•点D是AB的中点，・•・ZBCG=iZACB=45°,

AZA=ZBCG.

VBF±CE,.\ZCBG+ZBCF=90o.

VZACE+ZBCF=90°,

AZCBG=ZACE,

在△力CE利ACBG中，

Z-ACE=乙CBG

AC=BC,:.△ACEWACBG(ASA)

LA=乙BCG

(3)解：在RJABC中，

VAC=BC,点D是AB的中点，

ACD1AB,CD=AD=BD=1AB=4,

在RtABDG中，DG=y/BG2-BD2=V52-42=3,

点E在运动的过程中，分两种情况讨论：

①当点E在点D的左侧运动时，CG=CD-DG=1,

,:&ACE^ACBG,

.*.AE=CG=1；

②当点E在点D的右侧运动时，CG=CD+DG=7,

,?△ACE^ACBG,

.,.AE=CG=7.

故答案为：1或7.

6.【答案】(I)NM=NP；60°

(2)解：△MNP是等边三角形.理由如下：由旋转可得，ZBAD=ZCAE,又・・'AB=AC,AD=

AE,・•・△ABD咨ZXACE(SAS；,ABD=CE,ZABD=ZACE,丁点M、N、P分别为DE、BE、

BC的中点.AMN=iBD,PN=lcE,MN〃BD,PN〃CE,AMN=PN,ZENM=ZEBD,

ZBPN=ZBCE,，NENP=NNBP+NNPB=NNBP+NECB,VZEBD=ZABD+ZABE=

NACE+ZABE,NMNP=ZMNE+ZENP=ZACE+ZABE+ZEBC+ZEBC4-ZECB=

180°-ZBAC=60°,・•・△MNP是等边三角形.

7.【答案】（1）解：如图即为所求，

(2)解：是等边三角形.

如图，连接BD、CE,

由点D与点E关于直线BC对称可知BF垂直平分DE,

CD=CE,BD=BE

由旋转可知AB=AD,LBAD=60°,

“ABD为等边三角形

AB=BD=AD.^BAD=^ABD=60°

/-CAD=60°-^BAC

•・•AB=AC

180-^BAC。ABAC

•••乙ABC=----------5-----------=90--------5—,BE=BD=AB=AC

乙乙

。BACo。BAC

乙FBD=乙ABC-乙ABD=90---------------60=30-------—

乙EBD=2乙FBD=60°-Z-BAC

Z-CAD=乙FBD

在△4C0和ABED中,

AD=BD

4C40=乙EBD

AC=BE

ACD=△BEDIAS)

ACD=ED

:.CD=ED=CE

••.△COE是等边三角形；

（3）解：存在，

如图，将ABCD绕点B逆时针旋转60°得到△4BC',廷长AC交直线CE于点P,连接BP,

由（2）得△CDE是等边二角形,

Z.DCE=60

二(DCF=Z.ECF=30°

•••乙BCD=150°

由旋转可得CD=CA./.CBC=60°,z8C'4=乙BCD=150°,

•••乙BC'P=30°

•••PA-PB=CD,PA-PC=C'A=CD

PB=PC1

Z-CBP=乙BC'P=30°

:.乙PBC=30°

•••乙BCP=乙ECF=30°

・••乙PBC=乙BCP

BP=CP

所以直线CE上存在点P,使得PA-PB=CD成立，点P在点C左边距离为CE长的位置.

8.【答案】（1）证明：证法一：•••401CM,BE工CM.

­.AD||BE,

LADM=乙BEM=90°（或乙DAM=iEBM）

■:点M为A8的中点,

：,AM=BM

•••LAMD=乙BME,

，△ADMBEM

.'.AD=BE

训边形40BE是平行四边形

证法二：vAD1CM,BE上CM.

••・/.ADM=乙BEM=90°

•・•点M为48的中点，

:.AM=BM

vLAMD=乙BME,

•••△ADM=△BEM

•••DM=EM

••・四边形4DBE是平行四边形

(2)证明:延长。。交BE于F,

vAD1CM,BE1CM.

・••AD||BE,乙BEM=90°

LDAO=乙EBO,/.ODE+Z-OFE=乙DEO+乙FEO=90°

•••点O在DE的垂直平分线上，.•.0。=EO

乙ODE=乙DEO

•••乙OFE=乙FEO

/.FO=EO

•••DO=FO

Z.AOD=Z.BOF

ADO=△BFO

：.A0=BO.

9.【答案】(1)2<AD<6

(2)解：如图2,延长FD至点M,使DM=DF,连接BM、EM

c

图2

同(1)得：△BMD=△CFD(SAS)

：.BM=CF

YDE1DF,DM=DF

：.DE是MF的垂直平分线

：.EM=EF

在ABME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM

：.BE+CF>EF；

(3)解：BE+DF=EF；证明如下：

如图3,延长AB至点N,使BN=DF,连接CN

图3

*：LABC+ZD=180°,乙NBC+LABC=180°

，乙NBC=乙。

(BN=DF

在△NBC和LFDC中，/NBC=2。

(CB=CD

/.△NBC会△FOC(SAS)

：・CN=CF,乙NCB=cFCD

•・•乙BCD=140°,乙ECF=70°

，乙BCE+乙FCD=70°

:•乙BCE+乙NCB=70°

:•乙ECN=70°=乙ECF

CN=CF

在△NCE和△FCE中，乙ECN=乙ECF

CE=CE

“NCE»FCE(SAS)

：・EN=EF

•：BE+BN=EN

：・BE+DF=EF.

10•【答案】(1)解：•・•直线y=mx+m交x轴于点A,交y轴的正半轴于点B,

当x=0时,y=m,

AB(0,m)

当y=()时，mx+m=0,解得x=-l

AA(-1,0)

/.OA=l,OB=m

••一csOBm4”八OBm

•tanz.BAO=诋=y=?n,tanz_BCO=灰=瓦

又tanz.BAO=3tanz_BC。

.3m

••k

.\OC=3

AC(3,0)

(2)解：过点P作PH_Lx轴于点H,则/PHA=90*NBOC

・・・NPAH+NAPH=90。

VAPXBC

，ZAEC=90°

AZPAH+ZBCO=90°

AZAPH=ZBCO

VAP=BC

.*.△APH^ABCO,

・•・PH=OC=3,AH=BO,

则m=l+1；

(3)解：过点E作EM_Lx轴于点M,延长ME交BD于N,则NNMO=90。

y

〈AAPHg△BCO,PH=3=OC,BD=m-3

/.ZDBF-ZPAH,

•・・PD_Ly轴

:.ZPDO=ZPHO=ZDOH=ZNMO=90°

AZNPE=ZPAH=ZDBF

VBF=PE

:・&BDF^APNE,

••・BD:NP=ni-3=MH,

VOH=t

/.OM=OH-MH=OH-MH=t-(m-3)=t-m+3

乂OC=3

/.CM=OC-OM=3-(t-m+3)=m-t

,:m=t+1

/.CM=m-t=l

AM=AH-MH=(1+t)-(m-3)=l+t-m+3=3

VZCEM=ZEAM

.1_EM

•♦丽=丁

故EM=V3

A:anZEAM=tanZCBO

.EM733

••丽W

m=3V3.

IL【答案】（1）解：如图4,延长CB、DE交于点H.

图4

△ABC绕点A顺时针旋转90。得到△ADE

三△AOE,Z.CAE=LBAD=90°,ZH=90°,

：.AB=AD=6,AC=AE=6,Z.DAE=LBAC,DE=BC

V.4Z?=AC=6,乙BAC=30°

/.△ABC是等腰三角形，4BAE=乙CAE-ABAC=60°

：-LABC=180°尸4c=75。，

V.4F=/IB=6

是等边三角形

:,BE=AB=6,乙ABE=60°

，乙EBH=180°-乙ABE-乙ABC=45°

・・・AEB”是等腰直角三角形

：.HE=HB.

V.4D=AB,Z,DAB=90°.

是等腰直角三角形，^BDA=45°.

在RtAEBH中,由勾股定理，得叱+叱=BE?.

：.HE2+HB2-62=36.

AHE2=HB2=18

•'HE=HB=V1S=3夜.

在A80”中，Z.H=90°,ABDH=/.EDA-^BDA=/.ABC-Z-BDA=30°.

在RMBDH中，BH=、BD=3近.

=6或.

在RtABDH中，tan4BOH=需，

・3&73

••而=丁

；・DH=3瓜

:・DE=DH-EH=3vs-3vL

•；DE=BC,

・・・BC的长是3遍-3vL

(2)解：四边形力OFC是菱形.理由如下：

•；AABC绕点A顺时针旋转120。得到△ADE,AB=AC,Z.BAC=30°,

：・&ABCz&ADE,Z-BAD=/-CAE=120°.

A.4C=AE,AB=AD,LBAC=^.DAE=30°.

：.AC=AE=AB=AD.

・•・AACE是等腰三角形

1800-N&4£

：-LACE=^AEC==30°.

2

同理可得：4ABD=AADB=30°.

180°-zfi/lC

•：UCB==75°.

2

:•乙BCG=Z-ACB-/.ACE=45°,乙FBC=/-ABC+/.ABF=105°.

BFC中，乙BFG=180°-"BC-乙BCG=30°.

，乙BFG=/-ACE,乙BFG=乙ADB.

：.DB||AC,FC||AD.

・•・四边形AD”是平行四边形.

V.4D=AC,

，四边形AON?是菱形.

（3）解：如图5,作AHJ_BD于点H,则=90。

D.

E

A

G

BC

图5

•；AABC绕点、A顺时针旋转12。。得到△ADE,

：.LABC=^ADE,/.BAD=120°

：.AB=AD=6

/.△ABD是等腰三角形

ABH=DH=iBD

180°—484D

••乙ABD=Z.ADB==30°.

2

在RsABH中，NAHB=90。，ZABH=3O°,AB=6

:器=cosZ.ABH=cos30°

ABH=3V3

ABD=2BH=6>/3

由（2）知四边形/WFC是菱形

DF=AD=6

.\BF=BD-DF=6X/3-6

当A8GF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，当旋转到A、B、F第一次三点共线时，如图6,

△BGFaBG"F〃,

：.BF=BF〃

此讨AF有最小值,

止匕时AF=A产〃=AB-8尸〃=AB-BF=6-(60-6)=12-673

图6

当旋转到A、B、F第二次三点共线时，如图7,

△BGF三ABG'F',

=BFf

此时AF有最大值，

止匕打AF=AB+FF/=AB+BF=6+6X/3-6=6V3

A

\I

F

故AF的最大值是6百，人产的最小值是12-6百

12.【答案】(1)等腰直角三角形

(2)①・.・AB=6,ZB=45°,ZADB=90°,

:NAD?+BD2=AB，

AAD=BD=3V2，

AEF=3a,

VZBFC=ZBAC=90°,

AZGFE=ZBAG,

VZAGP=ZEGF,

JNABQ=NGBF,

EGF^ABGA,

.FG_EF

••布=丽'

,FG_EF_342_42_1

••诟一而一丁一三一质

故答案为：1:V2;

②如图，过P作PM〃BC交CE与点M,

,EM_EP_1

••两一前一T'

AEM=CM

AFM//BC,

JF在PM上，

，PF〃CD,

故答案为：平行；

@VBP=PE,BD=CD,

・•・DP为△BCE的中位线，

APD//CE,

VCE±BC,

APD±BC,

XVAD1BC,

二P在AD上，ZAPF=ZADC=90°,

IQ为AF的中点,

・・・PQ=,

又・.・/B=45°,ZADB=90°,

•*,EF=芋48=3A/2，

AFC=EF=3V2，

/.AF=AC-CF=6-3y/2，

・・・PQ=鼻尸二3-挈；

乙L

(3)22.5。或67.5。

13.【答案】(1)解：由旋转的性质可得AABC经ZXADE

AZBAC=ZDAE

・.・DF_LAC,点F与点A重合，

AZCAD=90°

AZBAC=ZDAE=45°

VZACB=90°

・•・ZABC=90°-ZCAB=45°：

(2)®VAABC^AADE,则NBAC=NDAE=|NDAF

VZDAF=ZDBA,

Z.ZDAE=|ZDAF=1ZDBA

♦:&ABC^AADE

AAB=AD

AZDBA=ZBDA,

设NBAONBAD-x,贝ij/DBA二NBDA-2x

,/ZBAD+ZABD+ZADB=18()u

.3+2*+2*=180。解得：x=36°

AZBAC=36°

，ZABC=90°-ZBAC=54°：

②竽百

14.【答案】（1）证明：:BD平分/ABC,

AZABE=ZFBE,

VBA=BF,BE=BE,

/.△ABE^AFBE(SAS),

AAE=FE,ZAEB=ZFEB=1x180°=90°,

乙

ABD垂直平分AF.

(2)解：BD=2CE,理由如下：

延长CE,交BA的延长线于G,

VCE1BD,ZABE=ZFBE,

/.GE-2CE-2GE,

VZCED=90°=ZBAD,NADB=/EDC,

AZABD=ZGCA,

又AB=AC,ZBAD=ZCAG,

:・&BAD^ACAG(ASA),

ABD=CG=2CE,

(3)解：FM=2CE,理由如下：

作FM的中垂线NH交CF于N,交FM于H,

AZNMH=ZNBH,

VZEFC=|ZABC=22.5°,

AZMNC=2ZNFH=2x1ZABC=ZABC,

VAB=AC,ZBAC=90,

JZABC=ZACB=ZMNC=45°.

ANM=CM=FN,

VZEMC=ZMFC+ZMCF=22.5O4-45O=67.5°,

・•・ZECM=90°-ZEMC=22.5°,

AZNFH=ZMCE,

又・.・NFHN=NE=90。，

FNH^ACME(AAS),

/.FH=CE,

，FM=2FH=2CE.

15.【答案】(1)解：①•・♦菱形ABCD,

AAB=AD,ZABC=ZADC,AD〃BC,

VAE±BC,

AAE1AD,

・•・ZEAF+ZDAF=ZBAE+ZABE=90°,

VZEAF=ZABC,

.\ZDAF=ZBAE,

在^ABE和巳ADF中

(/.ABC=乙ADC

AB=AD

Z.DAF=4BAE

:・&ABE^AADF(ASA)

.\AE=AF.

②连接AC,

:菱形ABCD,

AAB=BC=CD,AC1BD,

,:&ABE四△ADF,

ABE=CF,

ACE=CF

VAE=AF

AAC±EF

，BD〃FE,

CEF^ACBD,

.EC_EF_2

•,瓦=阮=5

设EC=2a,贝IJAB=BC=5x,BE=3a,

•'•AE=>j25a2—9a2=4a，

•嚼=%，ZEAF=ZABC,

・•・△AEFS/XBAC,

2