四点共圆基本判断方法(超全)

Key.四点共圆的证明五个基本判断方法：1.若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。2.若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。4.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。5.同斜边的直角三角形的顶点共圆。2021/6/271

1.若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆

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如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上分析指导：利用直角三角形斜边的中点等于斜边的一半，再利用菱形的四边相等即可证出。2021/6/2732.若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆2021/6/274已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°

求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆证明：用反证法

过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，则C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°，

∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C

这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。

∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。2021/6/2753.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上2021/6/276例如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F点。求证:C、D、E、F四点共圆。分析:欲证C、D、E、F四点共圆，可证以该四点构成的四边形中，一组对角互补或外角等于内对角即可。由此，连接EF构成四边形EFCD后，证明∠BFE=∠D即可。证明:连接EF，∵四边形ABFE是圆内接四边形，∴∠A+∠BFE=180°。又∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠D=180°。

∴∠BFE=∠D。∴C、D、E、F四点共圆2021/6/2774.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆

2021/6/278用反证法：

已知：同侧△ABC和△CBD，共有底边CB，〈A=〈D，

求证：A、B、C、D四点共圆

证明：假设四点不在同一圆上，

作△ABC外接圆，则D点不在圆上，因二角共用AB弧，则〈A≠<D，

与实际不符，

所以只有D点在△ABC外接圆上，

故A、B、C、D四点共圆。

2021/6/2795.同斜边的直角三角形的顶点共圆如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D四点共圆.如图2，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D四点共圆.

分析指导：可以直接根据圆的定义证明