山东省泰安市肥城市2025届高三上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省泰安市肥城市2025届高三上学期开学考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为集合，，所以，所以.故选：A.2.若复数满足，则复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因为，所以.所以，对应的点为，位于第三象限.故选:C.3.已知向量，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，所以，，因为，所以，则故选：B.4.已知，，则（）A. B. C.5 D.-5【答案】D【解析】根据题意，由两角和与差的正弦公式，可得：，，联立方程组，可得，又由.故选：D.5.已知两个圆台甲、乙的上底面半径均为r，下底面半径均为2r，圆台的母线长分别为3r和5r，则圆台甲、乙的体积之比为（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】设甲圆台的高为，乙圆台的高为，则，，所以圆台甲的体积，圆台乙的体积，所以圆台甲、乙的体积之比为.故选：B.6.若函数（其中，且）的最小值是3，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数（其中，且）的最小值是3，当时，函数为单调递减函数，所以，则当时，函数为单调递增函数，则且满足，即，解得，综上可得，实数的取值范围为.故选：D.7.曲线与交点个数是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】作出曲线与大致图象，可知，而，由曲线与图象知，曲线与有个交点.故选：A.8.已知函数，的定义域为R，的图象关于直线对称，且，，若，则（）A.－5 B.－6 C.5 D.6【答案】C【解析】因为的图象关于直线对称，则①，又，即，结合①得②，因为，则，结合②得，则，令，得，令，得，由，得，由，得，则，所以.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在某市举行的一次期末质量检测中，经抽样分析，该市某学校的数学成绩X近似服从正态分布，且．该校有1000人参加此次考试，则（）A.B.C.估计成绩不低于90分的有200人D.估计成绩不低于86分的有300人【答案】BC【解析】因为数学成绩近似服从正态分布，所以数学成绩关于对称，已知，所以，，故A错误；所以，故B正确；估计成绩不低于90分的有人，故C正确；，估计成绩不低于90分的有人，故D错误；故选：BC.10.已知函数，则（）A.当时，是上减函数B.当时，是的极小值点C.当时，取到最小值D.当时，恒成立【答案】ACD【解析】由题意，函数，定义域为，则导函数为，对于A，当时，，则函数在上单调递减，故A正确；对于B，当时，令，解得，当时，，则函数在单调递增；当时，，则函数在单调递减；所以为的极小值点，故B错误；对于C，当时，令，解得，当时，，则函数在单调递增；当时，，则函数单调递减；所以函数的最小值为，故C正确；对于D，由B选项知，函数在取最小值，则，假设，则，即在恒成立，令，则，令，则，单调递增，令，则，在单调递减，所以，所以恒成立，所以当时，恒成立，故D正确.故选：ACD.11.已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作斜率为直线与交于，两点．若直线经过点，则（）A. B.C. D.的取值范围是【答案】ABD【解析】因为抛物线的焦点为，且直线经过点，所以，则，解得：，故A正确；所以抛物线方程为：，则，设过点作斜率为直线的方程为：，联立：，消去可得：，显然，，解得或，故C错误；由韦达定理可得：，，故B正确；因为，，所以，令，则，则，所以的取值范围是，故D正确；故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若双曲线的一个焦点，一条渐近线方程为，则________．【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，又为双曲线的一条渐近线，所以，设双曲线的半焦距为，因为为其一个焦点，所以，又，所以，所以.13.若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为________．【答案】【解析】函数为奇函数，则，所以，所以，，所以曲线在点处的切线的斜率为，所以曲线在点处的切线方程为：，则化简为：.14.为了将课堂所学的专业理论知识与实际生活相结合，提升学生的个人综合素质，增强社会责任感和使命感，某知名大学的校团委安排该校一个大学生志愿服务团体在暑假期间开展“环境保护”、“社区文化”、“便民服务”、“法律援助”、“教育服务”、“公益慈善”六项社区服务活动，并对活动开展顺序提出了如下要求，重点活动“法律援助”必须排在前三位，且“便民服务”和“教育服务”两项活动必须排在一起，则这六项活动完成顺序的不同安排方案种数是________．【答案】【解析】根据题意,由于活动“法律援助”必须排在前三位，分种情况讨论:①“法律援助”排在第一位，活动“便民服务”和“教育服务”必须排在一起，则活动“便民服务”和“教育服务”相邻的位置有个,考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个活动全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种安排方案；②“法律援助”排在第二位，活动“便民服务”和“教育服务”必须排在一起，则活动“便民服务”和“教育服务”相邻的位置有个，考虑两者的顺序,有种情况，将剩下的个活动全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种安排方案；③“法律援助”排在第三位，活动“便民服务”和“教育服务”必须排在一起，则活动“便民服务”和“教育服务”相邻的位置有个,考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个活动全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种安排方案；故符合题意的安排方案有种.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，且．（1）求的面积；（2）若时，求边c和角B．解：（1）由已知可得，可得由，可求得，所以.（2）因为，可得.由余弦定理得，可得.由正弦定理,可得，由于，所以，可得.16.设椭圆的左右焦点分别为，，点在C上，且轴．（1）求C的方程．（2）过左焦点作倾斜角为60°的直线l．直线l与C相交于A，B两点，求的周长和面积．解：（1）由已知轴且P1,22，知，，由椭圆的定义，所以，，的方程为.（2）可知直线的斜率，的方程为.设Ax1,y1,Bx2,y可得，可得，点F21,0到直线的距离，所以的周长为，.17.如图，在三棱柱中，为的中点，，，，.（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的正弦值.（1）证明：取的中点，连接、，为的中点，，，，，又因为，平面，因此平面，又是三棱柱，是平行四边形，，，、均为等边三角形，，则，，，，平面，平面，平面，，，在中，，，，又，，即，又平面，平面，平面，.（2）解：由（1）可知、、两两垂直，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，A3,0,0，，由于是的中点，得，又由可得，，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，设平面的法向量为，则，即，令，得，设平面与平面的夹角为，则，，即平面与平面夹角的正弦值为.18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.（1）解：函数的定义域是，可得.当时，可知，所以在上单调递增；当时，由得，可得时，有，时，有，所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：当时，要证成立，只需证成立，只需证即可.因为，由（1）知，.令，则，可得时，有；时，有，所以在上单调递减，在上单调递增，可知，则有，所以有，所以当时，成立.19.数列满足是常数．（1）当时，求及的值；（2）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（3）求的取值范围，使得存在正整数m，当时总有．解：（1）由于，且，所以当时，得，解得，从而；