辽宁省朝阳市重点高中2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省朝阳市重点高中2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】集合，，则.故选：C.2.命题:“，”的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】因为原命题为全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，并且需要否定结论，所以原命题“，”的否定为“，”.故选：D.3.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于AC，当时，AC显然错误；对于B，取满足，显然，显然不成立，故错误；对于D，由，因为，所以，所以，故D正确.故选：D.4.下列各组函数是同一个函数的是（）①与；②与；③与；④与.A.①② B.③④ C.②④ D.①④【答案】C【解析】对于①，由函数可得，解得，则其定义域为，由函数可得，解得，则其定义域为，故①不符合题意；对于②，函数的定义域为，函数的定义域为，故②符合题意；对于③，函数的定义域为，函数的定义域为，故③不符合题意；对于④，函数的定义域为，函数的定义域为，故④符合题意.故选：C.5.命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，可得在上能成立，因，故得.由题意知，是选项的范围的真子集即可.故选：D.6.已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】不等式可化，因为，所以，所以不等式的解集为，所以，，则，因为，所以，，则，当且仅当，即时取等号，所以.故选：D．7.设，，，则a，b，c的大小顺序是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，，又因为在上单调递增，所以，即，因为，所以，又因为在上单调递增，所以，即，综上：.故选：D.8.已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（）A.B.C.函数有3个零点D.当时，【答案】B【解析】对于A，因为，且为偶函数，所以，即4是的一个周期，故A正确；对于B，由4是的一个周期，知，，所以，故B错误；对于C，令，可得，作函数和y=fx的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，故C正确；对于D，当时，，则，故D正确．故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.方程组的解集是B.若集合中只有一个元素，则C.“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件D.已知集合，则满足条件的集合的个数为4【答案】CD【解析】对于A，因为，解得，所以解集为，故A错误；对于B，当时，，解得，此时集合，满足题意；当时，需满足，可得，因此或，故B错误；对于C，由可知一元二次方程的判别式，即该方程有两根，且两根之积，即两根异号，所以充分性成立；若一元二次方程有一正一负根，可知两根之积为负，即，也即，所以必要性成立，故C正确；对于D，由可知是集合的子集，所以集合可以是，，，共4个，故D正确.故选：CD.10.已知正数，满足，下列说法正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为C.的最小值为D.的最小值为【答案】BCD【解析】正数，满足，对于A，，解得，当且仅当时取等号，A错误；对于B，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，，当且仅当，即时取等号，D正确.故选：BCD.11.对于函数下列说法正确的是（）A.当时，的最小值为0B.当时，存在最小值C.当时，在上单调递增D.的零点个数为，则函数的值域为【答案】AD【解析】选项A：时，，又因为，，故函数最小值为0（当x=0时取到），选项正确；选项B：不妨设，此时，当时，，当时，，故，此时函数不存在最小值，选项错误；选项C：在上单调递增，且，当时，在上单调递增，且，当时，，故当时，在R上不单调递增，选项错误；选项D：在上单调递增，当时，设，显然单调递增，又t-1<0,t-12>0当时，无解，即在上无零点，此时有两个零点，0和，故此时，当时，在上有1个零点，此时有两个零点，0和，故此时，当时，，由A知，此时有1个零点，即，当时，在上无零点，在上也无零点，此时，则函数的值域为，选项正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.不等式对恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】当时，，符合题意，所以；当，只需，解得，综上实数的取值范围为.13.函数y=fx是上的增函数，且y=fx的图象经过点和，则不等式的解集为______.【答案】【解析】因为y=fx的图象经过点和，所以，.又，所以，即．因为函数y=fx是上的增函数，所以，即2x-1>-22x-1<1，即x>-1所以.14.已知函数若，则函数的零点个数为______；若函数的最小值为a，则实数a的值为______.【答案】1或【解析】（1）当时，fx=当时，由，得，解得，当时，由，得，，无解，所以函数的零点为，即函数y=fx的零点个数为1；（2）①若，即时，则fx=a+1所以在上单调递减，最小值为；在上的最小值为．因为函数最小值为，所以．②当，即时，则，所以在上先减后增，最小值为；在上的最小值为．因为函数最小值为，所以，解得，不合题意，舍去．③当，即时，则，所以在上先减后增，最小值为；在上的最小值为．因为函数最小值为，所以，解得或（舍去）．综上可得或.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合，.（1）若，求；；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.解：（1）当时，，，所以，或，则或x>6=x|x≠6（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，对于集合，不等式，即，解得，所以，因为是B的真子集，，所以m-1>-1m+1<6，解得，所以实数m的取值范围是.16.某国产车企业在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为3000万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车的售价为9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出年利润（万元）关于年产量x（百辆）函数关系式；（利润=销售量×售价成本）（2）年产量为多少百辆时，该企业所获年利润最大？并求出最大年利润.解：（1）当时，，当时，.综上所述，（2）当时，，所以当时，；当时，，当且仅当，即时等号成立.所以当时，.所以当，即当年产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元.17.已知，函数是奇函数，.（1）求实数a的值；（2）若，，使得，求实数k的取值范围.解：（1）由函数是奇函数，则，可得，，，解得，由，则，当时，，可得，，解得，所以函数的定义域为，经检验，符合题意.（2）由函数，则函数在上单调递增，所以函数在上的最小值；由函数，且当时，，则在上的最小值.由，，使得，则，即，解得.18.已知函数.（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；（2）判断的奇偶性，并求在区间上的值域；（3）解不等式.解：（1）在区间上的单调递增，证明如下：任取，且，则，因为，且，所以，故，所以，故在区间上的单调递增.（2）为奇函数，理由如下：的定义域为，，故为奇函数，由于在区间上的单调递增，故在上单调递增，又，，故在上值域为.（3）的定义域为，令，解得，由得，当，即时，可得，整理得，所以，所以，所以，其中的根为或，由数轴标根法得到不等式解为或，又，所以或，当，即或时，由得，所以mm+2其中的根为或，同理得到不等式解为或或，又或，所以或，故不等式的解为.19.已知函数对一切实数，，都有成立，且，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.解：（1）由等式，令，可得，由，解得.（2）由等式，令，可得，由（1）中的，整理可得，即，所以.（3）令，则，令