山东省青岛市部分学校2025届高三上学期教学质量联合测评数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省青岛市部分学校2025届高三上学期教学质量联合测评数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】.故选：A.2.已知平面上的两个非零向量，满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，故，则，又，故.故选：B.3.在等差数列中，若，则的值为（）A.10 B.20 C.30 D.40【答案】D【解析】由题设，所以.故选：D4.已知，，则（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，，所以，，所以.故选：A.5.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如下图，将七块三角形编号如下，所以从七巧板的五块三角形中任意取出两块的基本事件为：，，，，，共有种，将七巧板划分如下，被分成个全等的三角形，设正方形的面积为，则编号的面积为，则编号的面积为，编号的面积为，任取两块板面积相等的基本事件为：.从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为.故选：C.6.已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，，，因为过点的直线与线段相交，结合图象可知，该直线的斜率的取值范围为.故选：B.7.已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知，平面，平面，所以，又，故以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则，得所以，，记，则，所以F到直线BC的距离为.故选：A8.若函数的最大值为，最小值为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】，令，因为函数的最大值为，最小值为，所以函数的最大值为，最小值为，因为，所以函数是奇函数，所以，即，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知关于x不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最大值为C.的最小值为 D.的最小值为【答案】BC【解析】因为关于的不等式的解集为,所以，所以，，所以，A错误；因为，，所以，当且仅当时取等号，故，由于设，由于，故，当且仅当时等号成立，故B正确；，当且仅当，即时取等号，C正确；，当且仅当时取等号，故最小值为，D错误．故选：BC．10.已知事件A，B满足，，则（）A若，则B.若A与B互斥，则C.若P(AB)=0.1，则A与B相互独立D.若A与B相互独立，则【答案】BC【解析】对于A，由，得，A错误；对于B，由A与B互斥，得，B正确；对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确；对于D，由A与B相互独立，得相互独立，则，D错误.故选：BC11.在直三棱柱中，，，E、F分别是、的中点，D在线段上，则下面说法中正确的有（）A.平面B.直线EF与平面ABC所成角的正弦值为C.若D是的中点，若M是的中点，则F到平面BDM的距离是D.直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为【答案】ABD【解析】因为直三棱柱中，，所以两两互相垂直，于是以点为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，分别是的中点，在线段上，所以，对于A：因为在直三棱柱中，平面，又，平面，所以，又，所以，又，平面，所以平面，所以为平面的一个法向量，又，则，又平面，平面，故A正确；对于B：为平面的一个法向量，又，设直线与平面所成角为，则，故B正确；对于C：若是的中点，若M是的中点，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，所以到平面的距离是，故C错误；对于D：设，则，设直线与直线所成角为，又，则，当，即时，取最大值，此时直线与直线所成角最小，，，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】因为，为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面积.13.在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知，，，，点在矩形内（含边界）且到点，的“折线距离”相等，则点的轨迹长度为______．【答案】【解析】设Mx,y，因为点在矩形内（含边界），则，，因为点到点，的“折线距离”相等，所以，即，则，当时，，当时，，设，，则点的轨迹为线段，故点的轨迹长度为.14.已知无穷数列满足，，给出下列四个结论：①，；②数列为单调递减数列；③，使得；④，均有.其中正确结论的序号是________.【答案】①②④【解析】由，，进而可得，结合，以此类推可得，故，故，故①②正确，③错误，由可得，故，由于，故，进而可得，，故，因此，累加，故，当时，，故，故④正确.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，函数.（1）求函数的解析式及对称中心；（2）若，且，求的值.（3）在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围.解：（1）.令，则，，函数的对称中心为，.（2）由可知，化简有，，，，（3）由可得，即，又，所以由正弦定理有所以，因为为锐角三角形，所以，解得所以，则，所以，则，所以的周长的取值范围为.16.已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面.（1）证明：平面；（2）若是线段上一点，且平面，①求三棱锥的体积；②求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）因，，故,又，且，故在直角梯形中，，由可得；因平面平面，，平面平面，则平面，又平面，则，又，因平面，故平面.（2）①如图，连接,设，连接,因平面，且平面,平面平面，则，故，在四边形中，由,可得,故，即，即点是线段上靠近点的三等分点，故②如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则,所以，,,设平面的法向量为，则，可取，因，故,,设平面的法向量为，则由，可取，故，故平面与平面夹角的余弦值为.17.已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点.（1）当时，求的长；（2）是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由；（3）记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.解：（1）因为，所以，直线的方程为，设圆心到直线的距离为，则，所以（2）取的中点为，如图，假设存在弦被点三等分，设，，则，，解得，当斜率不存在时，，故斜率存在，设斜率为，则：，，解得，即存在弦被点三等分，直线的斜率为.（3）由题意知，,当直线斜率不存在时，，，不妨取，则，此时直线斜率存在时，设方程为，代入圆的方程可得，设，则，又，所以综上，为定值.18.模糊数学普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测､种群数量变化和天体运动等等.假设在一个模糊数学系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中.（1）当时，若满足对，有，求；（2）当时，判断中是否存在连续的三项构成等比数列；若存在，求出连续的三项；若不存在，说明理由.（3）若，，记，证明：.解：（1）当时，，由题意知：，，两式作差得：，或；当时，，解得：或，又，；当时，，解得：；恒成立，又，，数列为常数列，即.（2）当时，；假设在数列中，存在连续的三项成等比数列，则，，，，即，又，，解得：，与矛盾，假设错误，即在中，不存在连续的三项成等比数列.（3）当时，，当时，且，；，，，，数列为递减数列，，，.19.已知函数.（1）写出函数在的零点个数，并证明；（2）若存在，方程有解，记的最大值为，证明.解：（1）求导，可得，当时，，，所以，