辽宁省五校联考2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省五校联考2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.，，，为坐标原点，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设点C坐标为，因为，，所以，，又因为，所以，，，即，，，所以C坐标为.故选：A2.直线,若直线的一个法向量为,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线的一个法向量为,直线的斜率直线,解得故选:B.3.已知书架上有4本不同的数学书，3本不同的化学书，从中任取3本书.若数学书，化学书每种都取出至少一本，则不同的取法种数为（）A.60 B.180 C.30 D.90【答案】C【解析】由书架上有4本不同的数学书，3本不同的化学书，从中任取3本书，若数学书，化学书每种都取出至少一本，可分为两类：若1本数学书，2本化学书，有种；若2本数学书，1本化学书，有种，所以不同的取法种数共有种.故选：C.4.为双曲线上一点，，则的最小值为（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】设点是双曲线上任意一点，则，即，则，因为或，所以，当时，可得，所以的最小值为.故选：D.5.是平面内的一条直线，是平面的一条斜线，且在平面内的射影为.若与的夹角为，与的夹角为，则与平面所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不妨设直线相交于点，在直线上取异于的点，过作⊥于点，过做⊥于点，连接，由题意知：，，，且是直线与平面所成角，∵，，∴，又，，∴平面，平面，∴，∴在Rt中，，在Rt中，，∴，由题意可知，∴在Rt中，，即，又，∴.∴与平面所成角的大小为.故选：C.6.，则（）A.31 B.1023 C.1024 D.32【答案】B【解析】由二项式的展开式的通项为，所以，当时，可得为正数，当时，可得为负数，令，可得，令，可得，所以.故选：B.7.已知双曲线（，），点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】双曲线的一条渐近线方程为，因为点是直线上任意一点，又直线与直线的距离为：，即圆心到直线的距离为：,因为圆与双曲线C的右支没有公共点，所以，即，又,所以双曲线的离心率的取值范围为.故选：B.8.正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（）A.24 B.25 C.48 D.50【答案】D【解析】因为正四面体的棱长为，所以，同理可得,,又因为以A为球心且半径为1的球面上有两点M，N，,所以，由，则因为，所以当且仅当取等号，此时，所以故的最小值为.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线，下列说法正确的是（）A.恒过定点B.当时，在轴上的截距为2C.当时，的倾斜角为D.圆与相切时，【答案】AC【解析】A选项，变形为，令，解得，故恒过定点，A正确；B选项，当时，，令时，，当时，在轴上的截距为，B错误；C选项，当时，，直线的斜率为，故倾斜角为，C正确；D选项，由题意得，解得，圆与相切时，，D错误.故选：AC10.现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（）A.所有可能的安排方法有64种B.若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种C.若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种D.若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A医院，则不同的安排方法有18种【答案】ACD【解析】A选项，甲、乙、丙三人均有4种选择，故所有可能的安排方法有种，A正确；B选项，先从4所医院选择2所，有种选择，再将三名专家分到两所医院，有种选择，则不同的安排方法有种，B错误；C选项，先从4所医院选择3所，有种选择，再将三名专家和三所医院进行全排列，有种选择，则不同的安排方法有种，C正确；D选项，由C选项可知，三名专家选择三所医院，每所医院去一人，共24种选择，若甲去A医院，从所医院中选两所，和剩余两名专家进行全排列，共有种选择，故不同的安排方法有种，D正确.故选：ACD11.已知正方体的棱长为1，则（）A.与平面所成角的正弦值为B.为平面内一点，则C.异面直线与的距离为D.为正方体内任意一点，，，，则【答案】BCD【解析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，对于A中，由，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，又由，设与平面所成角为，则，即与平面所成角正弦值为，所以A错误；对于B中，在正方体中，可得平面，因为平面，所以，即在直线上的射影为，所以，所以B正确；对于C中，由，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，因为，且平面，平面，所以平面，所以异面直线与的距离，即为直线到平面的距离，又由，可得，所以C正确；对于D中，设点，其中，可得，且，则，，，则，所以D正确.故选：BCD.12.已知椭圆上有不同两点，，，则（）A.若过原点，则B.，的最小值为C.若，则的最大值为9D.，，异于点，若线段的垂直平分线与轴相交于点，则直线的斜率为【答案】ABD【解析】因为椭圆，所以，则是其右焦点，对于A，设椭圆的左焦点为，因为过原点，所以由椭圆的对称性易知四边形是平行四边形，则，故A正确；对于B，因为，则，又，所以，当在线段与椭圆交点位置时，等号成立，故B正确；对于C，当轴，点为椭圆的右顶点时，满足，此时，但，故C错误；对于D，因为在椭圆上，所以，，所以，同理：，而由，可知，所以由，得，则，故可设的中点坐标为，又在椭圆上，所以，，两式相减，得，所以.所以直线的斜率为，则直线的方程为，令，得，即，所以直线的斜率，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.，，，，则点A到平面的距离为________.【答案】【解析】由题，，设平面BCD的法向量为，则，取，则，又，则点A到平面的距离为.故答案为：14.已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为_____________.【答案】或【解析】当过的直线斜率不存在时，方程为，与相切，满足要求，当过的直线斜率存在时，设切线方程为，联立得，，令，解得，故，即.故答案为：或15.已知椭圆的左、右焦点分别为,，直线与交于两点,.若△的面积是△面积的3倍,则___________.【答案】【解析】设直线与轴交于点,则△的面积,△的面积又由椭圆,得,,在直线上,故答案为:.16.已知是平行六面体，，，，，为直线上一点，若，则_________.【答案】【解析】设，即，则，因为且，所以，即即，所以，所以.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在（）的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2.（1）求的值；（2）求展开式中含的项.解：（1）由题知：，解得.（2），，，令，得，所以展开式中含有的项为：18.如图，在正四棱柱中，，点在上，且，为中点.（1）求直线和直线所成角的余弦值；（2）求到直线的距离.解：（1）正四棱柱中，，，，以为坐标原点，分别以向量，，的方向为轴、轴、轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，∵，，，∴，，，，，∴直线和直线所成角的余弦值为.（2），，所以的单位方向向量∴到直线的距离为19.圆与轴的交点分别为，且与和都相切.（1）求圆的方程；（2）圆上是否存在点满足？若存在，求出满足条件所有点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由，，可得中垂线为，可得设，因为圆都与和都相切，可得，所以或，解得，所以圆心坐标，可得，即圆的半径，所以圆的方程为.（2）假设存在满足题意，设，，，可得，因为，联立方程组，解得，又因为是圆上的一点，可得，所以此方程组无解，所以点不存在.20.已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大1.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过且斜率为的直线与轨迹交于，两点，，.①求的值；②若，，且满足直线和直线的斜率之和恒为0，求的值.解：（1）设，则，当时，，∴；当时，，∴，∴；可以检验，上述方程就是点的轨迹方程.∴的方程为和.（2）①直线的方程为：，设，，易知直线与无交点，联立得，，恒成立，∴，，∴，∴，②，即，∴∴，∴，∴.21.如图，在四棱锥中，平面，，为中点，且，，，，.（1）求二面角的余弦值；（2）若在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.解：（1）设为中点，连接，因为，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，因为，所以四边形为矩形，所以，又因为平面，且平面，所以，，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴轴轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，则，，，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，所以，设平面的一个法向量为，则，取，可得，所以，设二面角为，且由图知为锐角，所以.（2）设，且，由，，可得，所以，所以，化简得，解得或，因为，可得，所以，，则，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，所以，所以，所以点到平面的距离为.22.已知