辽宁省名校联盟（东北三省三校）2025届高三上学期9月份联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省名校联盟（东北三省三校）2025届高三上学期9月份联合考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】.故选：C.2.已知命题，命题，则（）A.和都是真命题 B.和都是真命题C.和都是真命题 D.和都是真命题【答案】A【解析】对于可知，当时满足命题，为真命题，所以为假命题；易知，所以，也即为真命题，为假命题；可得和都是真命题.故选：A3.已知为全集的非空真子集，且不相等，若，则（）A B.C. D.【答案】B【解析】因为，等价于，等价于，且不相等，可知集合是集合的真子集，故A错误；且，故B正确；据此作出韦恩图，可知，，故CD错误；故选：B.4.如图，有一个无盖的盛水的容器，高为，其可看作将两个完全相同的圆台面积较大的底面去掉后对接而成.现从顶部向该容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为单位时间内注水的体积不变，结合容器的形状，在单位时间内，高度变化率先由快变慢，后由慢变快.故选：D.5.已知等比数列的公比为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】例如，则，满足，但，即充分性不成立；例如，则，满足，但，即，即必要性不成立；综上所述：“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.6.若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】易知，显然，又因为在上单调递增，所以可得；由偶函数性质可得，即.故选：B7.已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（）A. B. C.2 D.1【答案】C【解析】因为函数的图象关于直线对称，又的图象由的图象向左平移一个单位长度得到，所以的图象关于直线对称，故为偶函数，因为4，所以，所以是以8为一个周期的偶函数，所以，由，得，则.故选：C.8.已知函数，则当时，方程的不同的实数解的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】由题意可知：的定义域为，若，则，且，令，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，即f'x>0对任意可知在1,+∞内单调递增，当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于；若，则，且，令，则，可知hx在内单调递减，且，当，则hx>0，即f'x>0；当，则h可知在内单调递增，在0,1内单调递减，则，当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于；据此作出函数的图形，如图所示：对于方程，令，则，且，，可知方程有2个不相等的实根，则，可知的正负性相反，不妨设，则有3个不相等的实根；有1个不相等的实根；综上所述：程的不同的实数解的个数为4.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知且，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】对于选项AB：因为，则，且，则，解得，若，则，故A错误，B正确；对于选项C：令，则，故C错误；对于选项D：可知均为正数，则，即，当且仅当时，等号成立，所以，故D正确；故选：BD.10.已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（）A.B.是偶函数C.D.若，则【答案】BCD【解析】设幂函数，代入点可得，解得；所以，因此函数的定义域为，不存在，A错误；易知，因此是偶函数，即B正确；由可得，所以，即C正确；由幂函数性质可得在0,+∞上单调递减，又是偶函数,所以不等式转化为，且；整理可得，解得且；即不等式的解集为，即D正确.故选：BCD11.表示不超过的最大整数，例如，，已知函数，下列结论正确的有（）A.若，则B.C.设，则D.所有满足的点组成的区域的面积为【答案】ABD【解析】对于A项，若，则，则，所以，故A正确；对于B，设，则，又，所以，所以，即，故B正确；对于C，因为，而表示轴，直线，及曲线所围成区域的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数（不含轴上的点），设函数和，可得函数和互为反函数，即两个函数的图象关于直线对称，由函数对称性可得轴，直线及曲线围成的区域与以轴，直线及曲线围成的区域所包含的整点一样多，如图所示：则表示边长为20的正方形内整点的个数之和，其中有两个，且不含坐标轴上的点，所以整点的个数为，故C错误；对于D，当时，，此时组成区域的面积为1；当时，，，此时组成区域的面积为1；当时，，此时组成区域的面积为1；当时，，，此时组成区域的面积为1；当时，，此时组成区域的面积为.综上，点组成区域的面积为，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则的取值范围是______.【答案】【解析】因为，可得且，可得且，可知，且，可得，解得或（舍去），若，则，则，可得，整理可得，解得或（舍去），所以的取值范围是.13.数列共有5项，前三项成等差数列，且公差为，后三项成等比数列，且公比为.若第1项为1，第2项与第4项的和为18，第3项与第5项的和为35，则______.【答案】5【解析】由题意可知：数列的有5项为，因为，则，可得，整理可得，解得或（舍去），若，可得，即，所以.14.已知均为正数，，则的最大值为______.【答案】【解析】因为，当且仅当，即时，等号成立，又因为，，设，则，其中，可知的最大值为，其中，即，可得，综上所述：的最大值为，其中.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列是首项为3，公比为9的等比数列，数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）因为数列是首项为3，公比为9的等比数列，所以，所以，由，得当时，，两式相减，得，即，又当时，也符合，所以.（2）设，则，故.，两式作差得，即，所以.16.定义三阶行列式运算：，其中.已知，关于的不等式的解集为.（1）求；（2）已知函数不存在最小值，求的取值范围.解：（1），解得且，又，，所以不等式解集.（2）由（1）可知，有，所以当时，；当时，当，即时，，所以不存最小值；当，即时，，因为不存在最小值，所以，解得，综上，的取值范围是.17.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）设，当时，记在区间上的最大值为，最小值为，求的取值范围.解：（1）由，得，所以，所以，所以，所以，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）由（1）可得，，因为，所以，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值.又，，所以，从而的最大值，所以设，则，由，知，所以单调递增，因为，，所以的取值范围为.18.已知为数列的前项和，为数列的前项和，.（1）求的通项公式；（2）若，求的最大值；（3）设，证明：.解：（1）由，得，所以数列an为等差数列，所以，所以.又，所以，设an公差为d，即解得所以an的通项公式是.（2）由（1）知，所以，，令，得，设，则数列是递增数列.又，，所以n的最大值为5.（3）由（2）知，设是的前n项和，则，所以是递增数列，所以成立.又，所以当时，得，所以.综上，.19.已知函数（是自然对数的底数）.（1）若，求的极值；（2）若，求；（3）利用（2）中求得的，若，数列满足，且，证明：.解：（1）由题意得，则，为减函数，令得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值，极大值为，无极小值；（2）