黑龙江省龙东联盟2025届高三上学期11月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省龙东联盟2025届高三上学期11月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，故选：D.2.“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，可得成立，即充分性成立；反正：若，可得或，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件.故选：A.3.已知函数，则（）A. B.-2 C. D.【答案】B【解析】由题意可得，故B正确.故选:B.4.如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点是底面圆周上异于的一点，若，当三棱锥体积最大时，则点到平面的距离（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】法一：因为三棱锥的高即为圆柱的高，即，当三棱锥体积最大时，即直角的面积最大，由于，所以点是弧AB的中点时，即是等腰直角三角形，此时，，连接交于点，所以点为的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，设点到平面的距离为，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，由于平面，所以，，所以，所以，解得.法二：因为三棱锥的高即为圆柱的高，即，当三棱锥体积最大时，即直角的面积最大，由于，所以点是弧AB的中点时，即是等腰直角三角形，所以，，连接交于点，所以点为的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，做，且交于点，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因此点到平面的距离为点到直线DE的距离，即.法三：因为三棱锥的高即为圆柱的高，即，当三棱锥体积最大时，即直角的面积最大，由于，所以点是弧AB的中点时，即是等腰直角三角形，可得，，设为平面的一个法向量，则，即，令，则，所以，所以点到平面的距离为.故选：D.5.已知平面向量和满足，在上的投影向量为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在上的投影向量为.在上的投影向量为，故选:A.6.已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等比数列的各项均为正数，可知公比.成等差数列，.，，即，解得（舍），或，则的通项公式，.构造数列bn，设.当时，；当时，；当时，，故.下面证明当时，.构造函数，则，且在单调递增；则，故在上单调递增，则，所以当，成立，即，故当时，，则，，则当时，.综上可知，数列bn的最大项为，即.要使恒成立，即恒成立，则.故选：C7.当时，曲线与的交点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】在同一个坐标系下，作出曲线与在内的图像，由图像可知，共有4个交点.故选：B.8.半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的.它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），点满足，则直线与平面所成角的正弦值（）A.为定值 B.存在最大值，且最大值为1C.为定值1 D.存在最小值，且最小值为【答案】A【解析】，即在线段（不包括点）.如图，将该半正多面体补成正方体，则平面平面，因此直线与平面所成角等于直线与平面所成角.在正四面体中，设正四面体的棱长为2，作平面，垂足为，连接，则即为直线与平面所成角.易求，所以，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小给出的选项中，有多项符合目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设复数，则下列结论正确的是（）A. B.C.若，则或 D.若，则【答案】ABC【解析】A选项，方法一：，，又，方法二：设，则，故，又，故，故A正确；B选项，，，，∴，故B正确；C选项，方法一：，，，将①式两边乘以得，代入②式得或，或或；方法二：设，且不恒等于0，，即或，故C正确；D选项，当时，，但虚数与不能比较大小，故D不正确.故选：ABC10.已知，则a，b满足（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】A选项，由得，，故A正确;B选项，由得，，故B错误;C选项，，故C错误;D选项，由基本不等式得:，故D正确.故选：AD11.已知函数的定义域为，且，若，则（）A. B.C.函数为减函数 D.函数为奇函数【答案】ABD【解析】因为，令，得，，，故A正确；令，，得，，，，故B正确;令得，，，所以，则函数为增函数，且函数为奇函数，故C错误，D正确；故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片82块，往下每一层多铺2块，斜面上铺了瓦片19层，共铺瓦片____________块.【答案】1900【解析】瓦片块数可以看作首项为82，公差2的等差数列，则.故答案为：1900.13.已知函数在处有极大值，则的值为____________.【答案】【解析】，令，解得；令，解得；故在上单调递增;在上单调递减，因此在处有极大值，即.14.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形.是扇形弧上的动点，是扇形的内接平行四边形，则四边形ABCD的面积最大值为____________.【答案】【解析】如图：作于点，作于点，则矩形EFCD的面积等于平行四边形ABCD的面积，设，则，在Rt中，，所以，所以矩形EFCD的面积为因为，所以，当即时，矩形EFCD的面积最大为，所以平行四边形ABCD的面积最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.15.已知等差数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式（2）若，设数列bn的前项和为，求.解：（1）设数列的公差为，由得，，则（2），则，又是首项为3，公比为9的等比数列，则.16.已知分别为三个内角的对边，且（1）求；（2）若，求的周长.解：（1）在中，，由正弦定理得，，，且，即.（2）且，.由正弦定理得，的周长为.17.已知函数.（1）当时，求函数在处切线;（2）当时，若的极小值小于0，求的取值范围解：（1）当时，，所以，所以，所以函数在处的切线为，即；（2）的定义域为，且，当时，令，则，所以单调递增；令，则，所以单调递减.故当时，取极小值，所以.设，则，所以是增函数.因为，所以时，.综上所述，的取值范围是.18.如图，多面体中，四边形与四边形均为直角梯形，，且点四点共面.（1）证明：（i）平面平面；（ii）多面体是三棱台；（2）若动点在内部及边界上运动，且，求异面直线与所成角的最小值.解：（1）（i）四边形ABED与四边形ACFD均为直角梯形，，故，因为平面平面，所以平面，同理可得平面，因为平面，所以平面平面DEF;（ii）在梯形中，延长交于点，平面平面BEFC，同理平面ADFC，又平面平面故直线EB，FC，DA相交于点，又由（i）可知：平面平面DEF，故多面体ABCDEF是三棱台；（2）∵四边形ABED与四边形ACFD均为直角梯形，，，又平面DEF，又动点在内部及边界上运动，且，是等腰直角三角形，点轨迹是以点为圆心，2为半径的圆（在内部及边界上）如图以DE，DF，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，设异面直线AP与FB所成角为，则，设（取为锐角），则，且为锐角，，当，即时，异面直线AP与FB所成角的最小值.19.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凸函数”.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的