北京市朝阳区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市朝阳区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题第一部分（选择题共50分）一､选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若直线l的斜率为，则l的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设直线l的倾斜角为，因为直线的斜率是，可得，又因为，所以，即直线的倾斜角为.故选：C2.已知等差数列，其前项和为，若，则（）A.3 B.6 C.9 D.27【答案】C【解析】在等差数列中，，解得，所以.故选：C3.已知双曲线的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由双曲线知，焦点在轴上，设左焦点，其中一条渐近线方程为，即.由实轴长为得，解得；由左焦点到渐近线的距离,则双曲线渐近线方程为.故选：A.4.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】抛物线的焦点，直线的方程为，联立方程组，得，设，，则，.故选：D.5.在正方体中，分别为和的中点，则异面直线与.所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】设正方体棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，由异面直线与.所成角为锐角，则余弦值面直线与.所成角的余弦值为.故选：B.6.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为方程表示椭圆，则，解得，则实数的取值范围是.故选：B.7.已知等比数列各项都为正数，前项和为，则“是递增数列”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】等比数列各项都为正数，设公比为，则，①当时，是递增数列，，由，则,不满足.所以是递增数列.②当时，则，此时满足，为常数列，不是递增数列.所以是递增数列.故“是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.8.为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（）A.该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多B.该月内，甲厂污水排放量减少速度是先慢后快C.在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快D.该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同【答案】D【解析】选项A，设，设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为，结合图像可知：，所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误；选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知，直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度，而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快，从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误；选项C，设为接近的时刻且，从时刻到时刻，污水排放量平均变化率，由导数的定义与几何意义可知，在接近时，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替.设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为，结合图象可知，所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误；选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等，即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同，所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确.故选：D.9.是圆上两点,,若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆，圆心，，由是弦的中点，且，则由圆的几何性质，，所以，故点在以为圆心，以为半径的圆上.又在圆上存在点满足题设，且其圆心，半径，则由两圆有公共点，得，即，解得，或.故选：C.10.已知数列的通项公式.设，，若，则（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】由题意知，，则，由得，则，解得.故选：C.第二部分（非选择题共100分）二､填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.两条直线与之间的距离是__________.【答案】【解析】由两条平行线的距离公式可得：.故答案为：.12.已知函数，则__________.【答案】【解析】由，则，所以.故答案：.13.以为直径端点圆的方程是__________.【答案】【解析】是直径端点，由两点间距离公式得直径长为，故半径为，且设圆心为，由中点坐标公式得圆心，故圆的方程为.故答案为：14.在空间直角坐标系中，已知点，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标__________.【答案】（答案不唯一）【解析】点在平面内，所以四点共面，则，所以，所以，则，所以满足即可令，满足，所以符合题意的点的坐标可以为.故答案为：（答案不唯一）.15.某学校球类社团组织学生进行单淘汰制的乒乓球比赛（负者不再比赛），如果报名人数是2的正整数次幂，那么每2人编为一组进行比赛，逐轮淘汰.以2022年世界杯足球赛为例，共有16支队进入单淘汰制比赛阶段，需要四轮，场比赛决出冠军.如果报名人数不是2的正整数次幂，则规定在第一轮比赛中安排轮空（轮空不计入场数），使得第二轮比赛人数为2的最大正整数次幂.（如20人参加单淘汰制比赛，第一轮有12人轮空，其余8人进行4场比赛，淘汰4人，使得第二轮比赛人数为16.）最终有120名同学参加校乒乓球赛，则直到决出冠军共需__________轮；决出冠军的比赛总场数是__________.【答案】7;119【解析】因为，所以第二轮需要64名同学参加比赛，则第一轮淘汰人，即第一轮有8人轮空，有112人进行淘汰赛，共进行了56场比赛，则第二轮有64名同学参加比赛，所以共进行了32场比赛，淘汰了32人，则第三轮有32名同学比赛，则进行了16场比赛，第四轮有16名同学参加比赛，共进行了8场比赛，第五轮有8名同学参加比赛，共进行了4场比赛，第六轮有4名同学参加比赛，共进行了2场比赛，第七轮有2名同学参加比赛，共进行了1场比赛，故直到决出冠军共需7轮比赛，共进行了场比赛，故答案为：7；119.16.如图，在长方体中，为棱的中点，点是侧面上的动点，满足，给出下列四个结论：①动点的轨迹是一段圆弧；②动点的轨迹长度为；③动点的轨迹与线段有且只有一个公共点；④三棱锥的体积的最大值为.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】由长方体性质可知：都与平面垂直，而在平面内，所以，由，可知，即，故，建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为点是侧面上的动点，故设，故所求点满足，化简得，则动点的轨迹为此圆在矩形内的部分，是一段圆弧，故①正确；记圆心为，当时，由，得，显然动点的轨迹与线段没有公共点，故③错误；当时，由，得或（舍去），当时，由，得或（舍去），则，，易得，又，则，所以动点的轨迹长度为，故②正确；显然，动点到平面的最大距离为点到平面的距离，即，所以三棱锥的体积的最大值为，故④正确.故答案为：①②④.三､解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间.解：（1）由，的定义域为.则，所以，又，所以在点处的切线方程为.（2），由，得，或，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为.18.已知为数列的前项和，满足，数列是等差数列，且.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）当时，，得，当时，①，由已知②，②①得，，所以，由，得所以数列为等比数列，公比，因为，所以.设等差数列的公差为，由，则，解得.所以.（2）设，则，设的前项和为，则.19.如图，三棱锥中，，平面平面，点是棱的中点，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.条件①：；条件②：直线与平面所成角为.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.解：（1）选择条件①.取的中点，连接.由于是等边三角形，故，又平面平面，平面，平面平面，故平面，而平面，故，即，所以，又，故，则，即.因为，平面，所以平面，平面，所以.选择条件②.取的中点，连接.由于是等边三角形，故，又平面平面，平面，平面平面，故平面，所以在平面内的射影是，所以是直线与平面所成角.所以.由平面，而平面，故，即，所以，又，故，则，即.因为，平面，所以平面，平面，所以.（2）由（1）知两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，于是，由点是棱的中点，所以，于是，又，设是平面的一个法向量，则，令，则，所以，又是平面的一个法向量，设二面角的大小为，由题可知为锐角，所以.20.已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线分别交直线轴，轴于点，求的值.解：（1）由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）由（1）椭圆的标准方程为，可得，可得直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，易知，设，所以，，所以，代入直线的方程得，所以，所以直线的方程为，当时，，当时，，所以，，所以，，所以..21.设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.（1）判断集合和是否为集合，说明理由；（2）若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数；（3）若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数.解：（1）集合是集合，当时，；当时，；当时，；集合不是集合，取，则，不满足题中性质.（2）当时，，当时，，当时，，所以.不妨设，①若，因为，从而，与矛盾；②若，因为，故，所以.经验证，此时是集合，元素大于1的个数为；③若，因为，所以与矛盾；④若，因为，故，所以.经验证，此时是集合，元素大于1的个数