2024北京育才学校八年级（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京育才学校初二（上）期中数学一、选择题（每题2分，共16分）1．下面四个图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C． D．2．下列运算正确的是（）A．x3+x3＝x6 B．x2•x5＝x10 C．（x6）6＝x36 D．（2x2）2＝2x43．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS4．下列说法错误的是（）A．直角三角形两锐角互余 B．直角边、斜边分别相等的两个直角三角形全等 C．如果两个三角形全等，则它们一定是关于某条直线成轴对称 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上5．如图，已知△ABC≌△DEF，若∠A＝40°，∠DEF＝65°，则∠ACB的度数（）A．105° B．95° C．75° D．115°6．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．87．如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（）A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）8．如图，以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案．若四个正方形的周长之和为24，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为（）A．1 B．2 C． D．二、填空题（每题2分，共16分）9．在△ABC中∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A＝，∠B＝．10．已知等腰三角形的一边长为8，另一边长为5，则它的周长为．11．如图，已知AB⊥BD，AB∥ED，AB＝ED，要说明△ABC≌△EDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为；若添加条件AC＝EC，则可以用公理（或定理）判定全等．12．如果（x﹣2）（x+3）＝x2+px+q，那么p＝，q＝．13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝58°，将∠A折叠，使点A落在边CB上A'处，折痕为CD，则∠A'DB＝．14．多项式x2﹣8x+k是一个完全平方式，则k＝．15．如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式．16．如图，已知∠MON，在边ON上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON的度数α的取值范围是．三、解答题（共68分）17．（10分）计算：（1）（﹣2m2）3•m2÷（m4）2；（2）（2x﹣3）（x﹣4）﹣（x+2）（3x﹣1）．18．（10分）因式分解：（1）x3y﹣xy3；（2）﹣2a2b+16ab﹣32b．19．（6分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中，y＝﹣1．20．（6分）已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，DF＝BE，∠B＝∠D，AD∥BC，求证：AE＝CF．21．（9分）如图，已知∠AOB和线段MN，点M，N在射线OA，OB上．（1）尺规作图：作∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线，交于点P，保留作图痕迹，不写作图步骤；（2）连接MP、NP，过P作PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为点C和点D，求证：MC＝ND，请补全下列证明．证明：∵P在线段MN的垂直平分线上，∴MP＝NP，（）∵P在∠AOB的角平分线上，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD，（）请补全后续证明．22．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2），B（4，1）．（1）在图中标出点A，点B关于x轴的对称点A1，B1的位置；（2）写出A1，B1的坐标：A1，B1；（3）已知点C在坐标轴上，且满足△ABC是等腰三角形，则所有符合条件的点C有个，并写出任意两个符合条件的点C的坐标：C1，C2．23．（8分）如图，已知：△OAB，△EOF都是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，中，∠EOF＝90°，连接AE、BF．求证：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF．24．（4分）如图，在4×4的网格中有格点三角形，请在下面的图中画出与它成轴对称的格点三角形，至少画出四个不同的方案，并画出对称轴．25．（8分）（1）如图1，在△ABC中，D为BC的中点，若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围；（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，AB⊥AC，D是线段BC上一动点，F为BD的中点，AD＝AE且AD⊥AE，求AF与EC的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，E是BD的中点，连AE，作AE⊥EF，若DF＝CF，直接写出∠BAC与∠DFC的之间关系是．四、选做题（共10分）26．（4分）观察下列等式：①；②；③；④；…根据上述规律回答下列问题：（1）第⑤个等式是；（2）第n个等式是（用含n的式子表示，n为正整数）．27．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点P，Q分别在线段OA，OB上．如果存在点M使得MP＝MQ，∠MPQ＝∠AOB（点M，P，Q逆时针排列），则称点M是线段PQ的“关联点”．如图1，点M是线段PQ的“关联点”．（1）如图2，已知点A（4，4），B（8，0），点P与点A重合．①当点Q是线段OB中点时，在M1（4，2），M2（6，2）中，其中是线段PQ的“关联点”的是；②已知点M（8，4）是线段PQ的“关联点”，则点Q的坐标是．（2）如图3，已知OA＝OB＝4，∠AOB＝60°．①当点P与点A重合，点Q在线段OB上运动时（点Q不与点O重合），若点M是线段PQ的“关联点”，求证：BM∥OA；②当点P，Q分别在线段OA，OB上运动时，直接写出线段PQ的“关联点”M形成的区域的周长．

参考答案一、选择题（每题2分，共16分）1．【分析】利用轴对称图形概念进行分析即可．【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2．【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、x3+x3＝2x3，故A不符合题意；B、x2•x5＝x7，故B不符合题意；C、（x6）6＝x36，故C符合题意；D、（2x2）2＝4x4，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．3．【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选：C．【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．4．【分析】利用直角三角形的性质、三角形的全等的判定方法、全等三角形的性质、线段的垂直平分线的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、直角三角形的两锐角互余，正确，不符合题意；B、直角边、斜边分别相等的两个直角三角形全等，正确，不符合题意；C、如果两个三角形全等，则它们不一定是关于某条直线成轴对称，故原命题错误，符合题意；D、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了轴对称的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．5．【分析】利用全等三角形对应角相等求得∠ABC的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠ACB即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠DEF＝65°，∴∠ABC＝∠DEF＝65°，∵∠A＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝75°，故选：C．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是了解全等三角形的对应角相等，难度不大．6．【分析】利用多边形的内角和公式即可求解．【解答】解：因为多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，所以（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6，所以这个多边形的边数是6．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．内角和公式可能部分学生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了公式，推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要．7．【分析】根据轴对称的性质即可得到结论．【解答】解：∵飞机E（40，a）与飞机D关于y轴对称，∴飞机D的坐标为（﹣40，a），故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．8．【分析】设AB＝a，BC＝b，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12，根据完全平方公式得出2ab＝3，求解即可．【解答】解：设AB＝a，BC＝b，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12，可得，4a×2+4b×2＝24，2a2+2b2＝12，即a+b①，a2+b2②，由①得，a2+2ab+b2③，③﹣②得2ab＝3，∴，即长方形ABCD的面积为，故选：C．【点评】此题考查正方形的性质，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解题的关键．二、填空题（每题2分，共16分）9．【分析】有三角形内角和180度，又知三角形内各角比，从而求出．【解答】解：由三角形内角和180°，又∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴∠A＝180°×＝30°，∠B＝180°×＝60°．故答案为：30°，60°．【点评】本题考查三角形内角和定理，结合已知条件，从而很容易知道各角所占几分之几．10．【分析】根据题意，要分情况讨论：①8是腰；②8是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．【解答】解：①若8是腰，则另一腰也是8，底是5，但是8+8＞5，故构成三角形，故周长为：8+8+5＝21．②若8是底，则腰是5，5．5+5＞8，符合条件．成立．故周长为：8+5+5＝18．故答案为：21或18．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．11．【分析】根据已知条件知∠B＝∠D＝90°．若以“SAS”为依据判定△ABC≌△EDC，结合已知条件缺少对应边BC＝DC；若添加条件AC＝EC，则可以利用直角三角形全等的判定定理证明△ABC≌△EDC．【解答】解：∵AB⊥BD，AB∥ED，∴ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°；①又∵AB＝ED，∴在△ABC和△EDC中，当BC＝DC时，△ABC≌△EDC（SAS）；②在Rt△ABC和△Rt△EDC中，，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（HL）；故答案分别是：BC＝DC、HL．【点评】本题综合考查了全等三角形的判定、直角三角形的全等的判定．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．12．【分析】先根据多项式乘多项式法则计算（x﹣2）（x+3），再根据（x﹣2）（x+3）＝x2+px+q，求出p和q即可．【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝x2+3x﹣2x﹣6＝x2+x﹣6，∵（x﹣2）（x+3）＝x2+px+q，∴p＝1，q＝﹣6，故答案为：1，﹣6．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．13．【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，再由折叠的性质求出∠CA'D的度数，即可利用三角形外角的性质求出答案．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝58°，∴∠B＝90°﹣∠A＝32°，由折叠的性质可知∠CA'D＝∠A＝58°，∴∠A'DB＝∠CA'D﹣∠B＝26°，故答案为：26°．【点评】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，正确求出∠B和∠CA'D的度数是解题的关键．14．【分析】根据完全平方公式的灵活应用，这里中间项为减去x和4的乘积的2倍，那么末项是4的平方．【解答】解：∵x2﹣8x+k是一个完全平方式，∴k＝＝16，故答案为16．【点评】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．15．【分析】大长方形的长为（2a+b），宽为（a+b），可得面积为（a+b）（2a+b），图中6个小长方形的面积和为2a2+3ab+b2，因此即可求解．【解答】解：大长方形的长为（2a+b），宽为（a+b），则面积为（a+b）（2a+b），图中6个小长方形的面积和为2a2+3ab+b2，可得等式（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2．故答案为：（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2．【点评】本题考查列代数式，用不同的方法表示图形的面积是得出等式的前提．16．【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠OP2P3即可判断．（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，解不等式即可解决问题．【解答】解：（1）∵OP1＝P1P2＝P2P3，∴∠OP2P1＝∠O＝30°，∠P2P1P3＝∠P2P3P1＝60°，∴∠OP2P3＝90°，∴△P2P3P4不存在，∴得到的最后一个等腰三角形是△P1P2P3．故答案为△P1P2P3．（2）由题意要使得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，∴18°≤α＜22.5°，故答案为18°≤α＜22.5°．【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（共68分）17．【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答；（2）利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．【解答】解：（1）（﹣2m2）3•m2÷（m4）2＝﹣8m6•m2÷m8＝﹣8m8÷m8＝﹣8；（2）（2x﹣3）（x﹣4）﹣（x+2）（3x﹣1）＝2x2﹣8x﹣3x+12﹣（3x2﹣x+6x﹣2）＝2x2﹣8x﹣3x+12﹣3x2+x﹣6x+2＝﹣x2﹣16x+14．【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．【分析】（1）先提公因式，然后再用平方差公式进行计算即可；（2）先提公因式，然后再用完全平方公式进行计算即可．【解答】解：（1）x3y﹣xy3＝xy（x2﹣y2）＝xy（x+y）（x﹣y）；（2）﹣2a2b+16ab﹣32b＝﹣2b（a2﹣8a+16）＝﹣2b（a﹣4）2．【点评】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．19．【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【解答】解：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）＝（4x2+12xy+9y2）﹣（4x2﹣y2）＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2＝12xy+10y2，当x＝，y＝﹣1时，原式＝12××（﹣1）+10×（﹣1）2＝﹣4+10＝6．【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．20．【分析】由平行线性质可得∠A＝∠C，由“AAS”可证△ADF≌△CBE，可得AF＝CE，即可得结论．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，且∠B＝∠D，DF＝BE，∴△ADF≌△CBE（AAS）∴AF＝CE∴AF﹣EF＝CE﹣EF∴AE＝CF【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．21．【分析】（1）根据垂直平分线和角平分线的基本作图方法进行作图即可；（2）根据HL证明Rt△PCM≌Rt△PDN即可．【解答】解：（1）∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线，如图所示．（2）证明：∵P在线段MN的垂直平分线上，∴MP＝NP，（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），∵P在∠AOB的角平分线上，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD，（角平分线上的点到角的两边距离相等），∵△PCM和△PDN为直角三角形，∴Rt△PCM≌Rt△PDN（HL），∴MC＝ND．故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；角平分线上的点到角的两边距离相等．【点评】本题主要考查了垂直平分线和角平分线基本作图，角平分线和垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明Rt△PCM≌Rt△PDN．22．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）由图可得答案．（3）结合等腰三角形的判定可确定所有点C的位置，进而可得答案．【解答】解：（1）如图，点A1，B1即为所求．（2）由图可得，A1（1，﹣2），B1（4，﹣1）．故答案为：（1，﹣2）；（4，﹣1）．（3）如图所示，所有符合条件的点C有7个，C1（0，5），C2（1，0）（答案不唯一）．故答案为：7；（0，5）；（1，0）．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、等腰三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的判定是解答本题的关键．23．【分析】（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO＝BO，OE＝OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，当然相等了，由此可以证明△AEO≌△BFO；（2）由（1）知：∠OAC＝∠OBF，∠BDA＝∠AOB＝90°，由此可以证明AE⊥BF．【解答】（1）证明：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，∴AO＝OB，OE＝OF，∠AOE＝90°﹣∠BOE＝∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE＝BF；（2）证明：延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD＝∠ACO，由（1）知：∠OAC＝∠OBF，∴∠BDA＝∠AOB＝90°，∴AE⊥BF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．24．【分析】根据网站特征，轴对称的概念分别画出图形即可．【解答】解：如图：【点评】本题考查作图﹣应用与涉及作图，解题的关键是掌握网格的特征和轴对称的概念．25．【分析】（1）延长AD至E，使DE＝AD，证明△ADC≌△EDB（SAS），再根据三角形的三边关系可得AB+AC＞2AD，得出5﹣3＜2AD＜5+3，再计算即可；（2）延长AF至G，使AF＝FG，连接BG，证明△BGF≌△DAF（SAS），由全等三角形的性质可得出∠G＝∠DAF，BG＝AD，证出∠GBA＝∠EAC．证明△ABG≌△CAE（SAS），由全等三角形的性质可得出CE＝AG＝2AF；（3）延长AE至G，使AE＝EG，连接DG，GF，AF，证明△AEB≌△GED（SAS），由全等三角形的性质可得出AB＝DG，∠BAE＝∠EGD，证明△ACF≌△GDF（SSS），由全等三角形的性质可得出∠AFC＝∠GFD，∠FAC＝∠DGF，证出∠DFC＝∠GFA，由三角形内角和定理可得出结论．【解答】解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，∵D为BC的中点，∴DB＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC，在△ABE中，AB+BE＞AE，∴AB+AC＞2AD，∵AB＝5，AC＝3，∴5﹣3＜2AD＜5+3，∴1＜AD＜4．（2）CE＝2AF，理由：延长AF至G，使AF＝FG，连接BG，∵F为BD的中点，∴BF＝DF，∵∠AFD＝∠BFG，∴△BGF≌△DAF（SAS），∴∠G＝∠DAF，BG＝AD，∵AD＝AE，∴AE＝BG，∴∠G＝∠DAF，∴BG∥AD，∴∠GBA+∠BAD＝180°，∵∠EAD＝∠BAC＝90°，∴∠EAD+∠BAD+∠DAC＝180°，∴∠EAC+∠BAD＝180°，∴∠GBA＝∠EAC．又∵AB＝AC，∴△ABG≌△CAE（SAS），∴CE＝AG＝2AF；（3）延长AE至G，使AE＝EG，连接DG，GF，AF，∵AE⊥EF，AE＝EG，∴AF＝GF，∴∠GAF＝∠AGF，∵AE＝EG，∠AEB＝∠DEG，BE＝ED，∴△AEB≌△GED（SAS），∴AB＝DG，∠BAE＝∠EGD，∵AB＝AC，∴AC＝DG，又∵GF＝AF，DF＝CF，∴△ACF≌△GDF（SSS），∴∠AFC＝∠GFD，∠FAC＝∠DGF，∴∠AFC﹣∠AFD＝∠GF