苏教版高二上学期数学(选择性必修1)《2.1.2圆的一般方程》同步测试题及答案

第第页苏教版高二上学期数学(选择性必修1)《2.1.2圆的一般方程》同步测试题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________[分值：100分]单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分【基础巩固】1．(多选)若a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，1，\f(2,3)))，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为()A．－2B．0C．1D.eq\f(2,3)2．已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为()A．3B.eq\r(5)C．5D．43．(多选)下列结论正确的是()A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程B．圆的一般方程和标准方程可以互化C．方程x2＋y2＋2x－6y＋10＝0表示圆D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>04．已知圆O的方程为x2＋y2－2mx＋4my＋4m2＋6m＋27＝0，若圆O的半径小于8，则m的取值范围是()A．(－7,13)B．(－∞，－3)∪(9，＋∞)C．(3－2eq\r(11)，－3)∪(9,3＋2eq\r(11))D．(－7，－3)∪(9,13)5．圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5D．(x－2)2＋(y＋3)2＝56．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角为()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(π,5)7．(5分)若方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝________.8．(5分)过坐标原点，且在x轴和y轴上的交点分别为(2,0)和(0,3)的圆的方程为___________．9．(10分)已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．(1)求t的取值范围；(3分)(2)求这个圆的圆心坐标和半径；(3分)(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．(4分)10．(10分)已知圆的方程为x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.(1)求此圆的圆心与半径；(4分)(2)求证：无论m为何实数，方程表示圆心在同一条直线上且半径相等的圆．(6分)【综合运用】11．若圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为()A．0B．1C．2D．312．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)13.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向40eq\r(2)m处设立观测点A，在平台O的正西方向240m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆C的一般方程为()A．x2＋y2－240x＋320y＝0B．x2＋y2＋240x－320y＝0C．x2＋y2＋120x－160y＝0D．x2＋y2＋240x－160y＝014．(5分)已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________．【创新拓展】15．已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则SP＋SQ的最小值为()A．7B．8C．9D．1016．(13分)在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆．②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(－4,0)为曲线W上不同的四点．(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程；(4分)(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；(4分)(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程．(5分)参考答案1．ABD[根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1，又a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，1，\f(2,3)))，则a的值可以为－2,0，eq\f(2,3).]2．D[圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0，即(x＋a)2＋y2＝a2－9，它的圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5，故它的半径为eq\r(a2－9)＝eq\r(25－9)＝4.]3．ABD[A，B显然正确；C中方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝0，所以表示点(－1,3)，故C错误；D正确．]4．D[因为圆O的方程为x2＋y2－2mx＋4my＋4m2＋6m＋27＝0，所以圆O的标准方程为(x－m)2＋(y＋2m)2＝m2－6m－27，故0<m2－6m－27<82，解得－7<m<－3或9<m<13.]5．C[把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心C(2，－1)．设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－－1,x0－2)＝－1，,\f(y0－1,2)＝\f(x0＋2,2)＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－2，,y0＝3，))故C′(－2,3)，∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.]6．C[x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝1－eq\f(3,4)k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为eq\f(3π,4).]7．2解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＝1，,－\f(b,2)＝2，,\f(1,4)a2＋b2－4c＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－4，,c＝4，))则a＋b＋c＝2.8．x2＋y2－2x－3y＝0解析设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，由题意知，圆过点(0,0)，(2,0)和(0,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,4＋2D＋F＝0，,9＋3E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－3，,F＝0，))所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－3y＝0.9．解(1)圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2.由7t2－6t－1<0，得－eq\f(1,7)<t<1.故t的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)，1)).(2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t＋3,4t2－1)，半径为eq\r(1＋6t－7t2).(3)r＝eq\r(－7t2＋6t＋1)＝eq\r(－7\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,7)))2＋\f(16,7))≤eq\f(4\r(7),7).所以r的最大值为eq\f(4\r(7),7)，此时t＝eq\f(3,7)，故圆的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(24,7)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(13,49)))2＝eq\f(16,7).10．(1)解x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，所以圆心为(1－m,2m)，半径r＝3.(2)证明由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a，b)满足方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1－m，,b＝2m，))即2a＋b＝2.所以无论m为何实数，方程表示的是圆心在直线2x＋y－2＝0上，且半径都等于3的圆．11．C[由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))，圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N(2,0)，且两圆关于直线x－y－1＝0对称，则eq\f(1－0,\f(a,2)－2)×1＝－1，解得a＝2.]12．D[由题意得，曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，因此曲线C是圆心为(－a,2a)，半径为2的圆．∵曲线C上所有的点均在第二象限内，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a<－2，,2a>2，))解得a>2，∴a的取值范围是(2，＋∞)．]13．B[由题意，得A(40,40)，B(－240,0)，设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，因为圆C经过O，A，B三点，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,402＋402＋40D＋40E＋F＝0，,－2402＋－240D＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝240，,E＝－320，,F＝0，))所以圆C的一般方程为x2＋y2＋240x－320y＝0.]14．－2解析设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16＋4＋4D＋2E＋F＝0，,1＋9＋D＋3E＋F＝0，,25＋1＋5D＋E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20，))所以圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，则y2＋4y－20＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝－4；令y＝0，则x2－2x－20＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝2，故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2.15．C[由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时SP＋SQ的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，由于P与P′关于x轴对称，所以SP＝SP′，S′P＝S′P′，所以SP＋SQ＝SP′＋SQ＝P′Q<S′P′＋S′Q＝S′P＋S′Q.故(SP＋SQ)min＝P′M－1＝eq\r(1－72＋5＋32)－1＝9.]16．解(1)由题意，得t＝－2，由于△ABC为锐角三角形，所以其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆．设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－2E＋F＝0，,16＋4D＋F＝0，,4＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－3，,E＝0，,F＝－4.))所以△ABC的最小覆盖圆的方程为x2＋y2－3x－4＝0.(2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆，所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.又因为OA＝OC＝2<4(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内．所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.(3)由题意，知曲线W为中心对称图形．设P(x0，y0)，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(4,0)＝1