二次函数应用题选讲课件

二次函数应用题选讲二次函数应用题是数学学习中的重要内容之一，涉及现实生活中的实际问题。本讲旨在通过精选的二次函数应用题案例，帮助学生理解二次函数的实际应用，并提高解题能力。课程目标掌握二次函数应用题解题思路理解二次函数与实际问题的联系。提高分析和解决问题的能力学习如何将实际问题转化为数学模型，并运用二次函数知识进行求解。提升数学应用能力通过练习和实践，增强对二次函数应用题的理解和掌握。二次函数概述二次函数是数学中重要的函数类型之一，在许多领域都有广泛的应用。它是一个以自变量的平方为最高次项的函数，其图像为抛物线。二次函数的特点是其图像关于对称轴对称，且开口方向取决于二次项系数的正负。二次函数的定义一般形式二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。顶点形式二次函数的顶点形式为y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标。交点式二次函数的交点式为y=a(x-x1)(x-x2)，其中(x1,0)和(x2,0)为函数图像与x轴的交点坐标。二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线，其形状取决于二次项系数的正负号。当二次项系数大于零时，抛物线开口向上；当二次项系数小于零时，抛物线开口向下。抛物线的对称轴是垂直于x轴的直线，它经过抛物线的顶点。抛物线的顶点是抛物线上最高点或最低点，它的坐标可以通过配方求得。二次函数的性质1对称性二次函数图像关于对称轴对称，对称轴方程为x=-b/2a2单调性当a>0时，二次函数在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增3开口方向当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下4顶点顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))二次函数应用题的分类求最大值或最小值的应用题这类问题通常涉及到求函数的最大值或最小值，例如求利润最大化、成本最小化等问题。几何问题中的应用题利用二次函数的性质来解决几何问题，例如求面积、周长、体积等问题。经济问题中的应用题应用二次函数来分析和解决经济问题，例如利润、成本、收益等方面的分析。物理问题中的应用题利用二次函数来解决物理问题，例如求运动轨迹、速度、加速度等。求最大值或最小值的应用题1问题理解分析题目，确定目标变量，并找到其与其他变量之间的关系2函数模型将目标变量与其他变量之间的关系转化为二次函数表达式3求解问题利用二次函数性质，求出函数的最大值或最小值，并结合实际意义得出答案4验证答案将答案代回题目，验证其合理性这类应用题常涉及优化问题，例如求利润最大、成本最小、面积最大等几何问题中的应用题周长与面积运用二次函数解决长方形、正方形、圆形等的周长和面积问题，常涉及求最大面积、最小周长等。相似三角形利用二次函数求解相似三角形的边长、面积、周长之间的关系，可建立二次函数模型。勾股定理通过勾股定理建立二次函数模型，解决直角三角形边长之间的关系，例如求斜边长度、面积等。体积运用二次函数解决长方体、圆柱、圆锥等几何体的体积问题，常涉及求最大体积、最小表面积等。经济问题中的应用题1利润最大化企业希望通过生产和销售商品或服务获得最大的利润。2成本最小化企业希望在满足生产需求的前提下，尽可能降低生产成本。3投资收益最大化个人或企业希望通过投资获得最大的收益。经济问题中的应用题涉及到企业经营、投资理财等方面。通过建立数学模型，利用二次函数的性质，可以求解最优方案，从而帮助企业或个人做出更合理的决策。物理问题中的应用题1抛射运动例如：求抛物线的轨迹、飞行时间、最大高度等2机械能守恒例如：计算物体从高处落下时的速度、动能、势能等3电学问题例如：计算电路中的电流、电压、功率等生活实际问题中的应用题1优化设计例如，设计最佳的包装盒形状，最大化容量，最小化材料使用，以降低成本，提高效率。2时间管理例如，规划行程，合理分配时间，以最大化效率，减少时间浪费。3投资理财例如，计算投资收益，预测投资风险，制定合理的投资策略，以获得最大收益。求最大值或最小值的应用题示例矩形面积最大化问题：已知矩形的周长为20米，求其面积最大值。设矩形的长为x米，则宽为(10-x)米。面积S=x(10-x)=-x²+10x当x=5时，面积S最大，最大值为25平方米。几何问题应用题示例矩形花园已知矩形花园的长比宽多5米，面积为84平方米，求花园的长和宽。圆形游泳池某圆形游泳池的周长为30米，求游泳池的半径和面积。三角形屋顶一个等腰三角形屋顶的底边长为8米，腰长为5米，求屋顶的面积。经济问题应用题示例例如，一家公司生产某种商品，已知成本函数和价格函数，求利润最大值或最小值。可以利用二次函数的性质求解该问题。这类应用题可以帮助学生了解实际生活中二次函数的应用，提高解决实际问题的能力。常见的经济问题应用题还包括：投资问题、生产问题、销售问题、价格问题等。物理问题应用题示例抛体运动例如，一个物体被抛出后，其运动轨迹可以用二次函数来描述。通过分析二次函数的图像，我们可以了解物体的运动规律，例如最高点的位置和飞行时间等。滑梯问题一个滑梯的形状可以用二次函数来表示，我们可以用二次函数的性质来计算滑梯的长度、倾斜度等。船的运动一条船在平静的水面上运动，我们可以用二次函数来描述船的运动轨迹，例如船在不同时间点的速度和位置等。摆动问题一个摆锤在悬挂的绳子上摆动，我们可以用二次函数来描述摆锤的运动轨迹，例如摆锤的周期和振幅等。生活实际问题应用题示例生活实际问题应用题可以帮助学生将数学知识应用于实际生活，提高解决问题的能力。例如，一个农民想要建一个矩形的鸡舍，并用篱笆围起来。他希望鸡舍的面积最大，可以使用二次函数的知识来求解篱笆的最佳长度，从而使鸡舍的面积最大。应用题解题策略审题仔细阅读题意，理解题目的要求和已知条件。分析题意，确定问题类型和解决思路。建模根据题意，建立数学模型，将实际问题转化为数学问题。选择合适的数学方法，例如二次函数，进行求解。如何分析二次函数应用题仔细阅读题意弄清楚题目所描述的实际问题，找出题目中的已知条件和未知量。找出关键信息从题意中找出与二次函数相关的关键信息，例如函数关系、自变量和因变量之间的关系等。建立数学模型根据关键信息，利用二次函数的知识建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题。求解数学模型利用二次函数的性质和解法，求解数学模型，得到问题的答案。验证解的合理性将解代回原题，检查解是否符合题意，并根据实际情况判断解的合理性。如何建立数学模型1理解问题准确理解题目意思2确定变量定义问题的关键量3建立关系用数学公式表达变量关系4列出方程根据已知条件建立方程组建立数学模型是解决二次函数应用题的关键步骤。首先要仔细阅读题目，准确理解问题本质，然后确定影响问题结果的关键变量，并用数学符号表示它们。接下来，根据题目信息和相关知识，建立变量之间的数学关系，并用方程或不等式来描述这些关系。最后，根据建立的数学模型，利用二次函数的性质和解题方法求解问题。如何求解二次函数应用题1代入求值将已知条件代入二次函数表达式2解方程利用方程解法求解未知数3验证答案将求得的解代入原题进行检验4写出答案将求得的解写成完整的答案求解二次函数应用题需要将实际问题转化为数学模型，然后利用二次函数的知识进行求解。具体步骤包括：分析问题，建立函数关系，求解方程，验证答案，写出结论。如何验证解的合理性1单位一致确保解的单位与问题中要求的单位一致。例如，如果问题要求求面积，则解的单位应该为平方米。2实际意义检验解是否符合问题的实际情况，例如，解是否为正数、是否在合理的范围内。3代入检验将解代回原方程或问题中，验证解是否满足条件。几种常见解题技巧图形法通过二次函数图像直观地求解问题，例如求最值或判断解的个数。方程法将应用题转化为方程，利用二次方程的解法求解。公式法利用二次函数性质公式，直接求解问题，例如求函数的顶点坐标或对称轴。逻辑推理根据题意进行逻辑推理，得出解题思路，避免陷入盲目计算。应用题练习1以下是一个二次函数应用题练习，请同学们认真思考并解答。某商店计划进货一种商品，进价为每件20元。预计该商品的日销量y(件)与售价x(元)之间的函数关系为y=-2x+100。请你帮忙算算，商店每天要将售价定为多少元时，才能获得最大利润？提示：利润=销售收入-进货成本，销售收入=售价×销量，进货成本=进价×销量。应用题练习2本练习题目涉及求最大值或最小值的应用题，需要运用二次函数的性质来求解。例如：一个矩形花园的周长为20米，请问这个花园的最大面积是多少？您可以尝试用二次函数知识来解答，并思考解题过程中的关键步骤。应用题练习3某商店以每件100元的价格购进一批商品，预计如果按每件120元的价格销售，每天可售出80件。为了促销，商店决定降价销售。调查发现，每降价1元，每天可多售出5件。问：商店应该如何定价才能使每天的利润最大？最大利润是多少？应用题练习4本练习涉及多个二次函数应用题。通过解决这些问题，你能进一步理解如何建立数学模型，以及如何运用二次函数性质来解决实际问题。练习题涵盖了不同类型问题，包括求最大值最小值、几何问题和经济问题。练习题将帮助你巩固二次函数应用题的解题技巧，提高分析问题和解决问题的能力。通过练习，你将更熟练地运用二次函数知识解决实际问题，提升学习效率。应用题练习5练习5：某公司生产一种产品，成本为每件20元，销售价格为每件30元。该公司为了扩大销量，决定进行促销活动，对每件产品降价x元，并发现销售量y与降价x元之间存在函数关系：y=-x²+100x+1000。问：当降价多少元时，公司的利润最大？最大利润是多少？课程小结1二次函数应用题是数