辽宁省鞍山市鞍钢高级中学2024-2025学年高三上学期12月期末考试数学试题

鞍山市鞍钢高级中学2024-2025第一学期期末考试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2024·贵州遵义高三第三次质量监测)已知集合A＝{x∈N|x2－x－12≤0}，B＝{－1，1，2，3，4，5}，则A∩B＝()A．{0，1，3，4，5} B．{1，2，3，4，5}C．{1，2，3，4} D．{－1，0，2，3，4}2．(2024·浙江宁波十校高三3月联考)若复数z满足(1＋i)z＝5i－z，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z－1,z－i)))＝()A．3 B．2C．eq\r(2) D．13．“a>0”是“点(0，1)在圆x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0外”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a－2b|的值为()A．eq\r(2) B．2C．4 D．eq\f(1,2)5．函数y＝sinx·lneq\f(x2＋1,x2)的图象可能是()6．(2x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,\r(x))))eq\s\up12(5)的展开式中x3的系数为()A．180 B．90C．20 D．107．(2024·山东泰安高三第二次模拟)设抛物线x2＝4y的焦点为F，过抛物线上点P作准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝()A．eq\f(4,3) B．eq\f(4\r(3),3)C．eq\r(3) D．eq\f(2\r(3),3)8．(2024·辽宁辽阳高三第一次模拟)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,4)，则f(100)＝()A．10000 B．10082C．10100 D．10302二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．(2024·重庆部分学校高三3月联考)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)由关系式h＝Asin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)确定，其中A>0，ω>0，φ∈(0，π]．小球从最高点出发，经过1．8s后，第一次回到最高点，则()A．φ＝eq\f(π,4)B．ω＝eq\f(10π,9)C．t＝9s与t＝2．1s时的相对于平衡位置的高度h之比为eq\f(3,2)D．t＝9s与t＝2．1s时的相对于平衡位置的高度h之比为210．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝4，M为CC1的中点，P为线段A1M上的点(不包括端点)，则下列说法正确的是()A．A1M⊥平面ABMB．三棱锥P－ABM体积的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4\r(3),3)))C．存在点P，使得BP与平面A1B1C1所成的角为60°D．存在点P，使得AP⊥BM11．已知直线y＝－x＋2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确的是()A．x1＋x2＝2 B．ex1＋ex2>2eC．x1lnx2＋x2lnx1<0 D．x1x2>eq\f(\r(e),2)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知tan(π－α)＝－eq\f(3,4)，则sin2α的值为________．13．已知{an}是等差数列，a3＋a9＝12，则a13－eq\f(1,2)a20＝________．14．过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)右焦点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为点A，O为坐标原点，若∠OAF的平分线与x轴交于点M，且点M到OA与AF的距离都为eq\f(b,3)，则双曲线C的离心率为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sinA－sinB)＋bsinB＝csinC．(1)求角C；(2)若c＝3，a＋b＝6，求△ABC的面积．16．(2024·江苏徐州高三适应性测试)(本小题满分15分)已知函数f(x)＝x2＋ax－lnx，a∈R．(1)若函数y＝f(x)－2x2在(0，2]上单调递减，求a的取值范围；(2)若直线y＝ex与函数f(x)的图象相切，求a的值．17．(本小题满分15分)如图，四边形ABCD是边长为eq\r(13)的菱形，对角线BD＝4，F为CD的中点，CE⊥平面BCD，CE＝2．现沿BD将△ABD翻折至△A1BD的位置，使得平面A1BD⊥平面BCD，且点A1和点E在平面BCD同侧．(1)证明：A1F∥平面BCE；(2)求二面角A1－BF－E的正弦值．18．(2024·吉林地区高三第三次模拟)(本小题满分17分)短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人．(1)依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值α＝0．001的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关联；单位：人收看短视频未收看短视频合计南方游客北方游客合计(2)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出．①求经过i次传递后球回到甲的概率；②记前m次传递中球传到乙的次数为X，求X的数学期望．参考公式：χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d，E(eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do6(i＝1))Xi)＝eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do6(i＝1))E(Xi)．附表：α0．10．050．010．0050．001xα2．7063．8416．6357．87910．82819．(2024·湖南永州高三第三次模拟)(本小题满分17分)已知O为坐标原点，动点M在椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1上，动点N满足eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(OM,\s\up6(