2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷12.3.1 等腰三角形(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷12.3.1等腰三角形(含答案)12.3.1等腰三角形思维启动小明将大小不同的两个量角器按如图所示的方示摆放在一起，小量角器的零度线与大量角器的零度线在一条直线上，小量角器的中心在大量角器的外缘边上．小明发现外缘边上的公共点P在小量角器上对应的度数为65，那么它在大量角器上对应是多少度呢？综合探究探究一等腰三角形中三边关系计算问题已知一个三角形的两边长分别为4cm，5cm，第三边长为整数．1．由4cm，5cm，cm为边可以组成多少个不同的三角形？为什么？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．2．如果这个三角形是等腰三角形，试确定的值．__________________________________________________________________________．答案：1．由三角形关系知：，即．又∵为整数，故可取值为2，3，4，5，6，7，8共7个，因而由4cm，5cm，cm为边可组成7个不同的三角形．2．要使4cm，5cm，cm组成一个等腰三角形，则可取值为4cm或5cm，即当4cm或5cm时，以4cm，5cm，cm为边可组成一个等腰三角形．探究二等腰三角形中求角问题如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE．1．图中有几个等腰三角形？_________________________________________________．2．设∠A＝，则∠DEA＝__________，∠DBA＝__________，∠CDB＝__________，∠C＝__________，∠CBA＝__________．3．讨论：你能求出∠A的度数吗？________________________________________________________________________．答案：1．4个．△ADE，△BDE，△BDC，△ABC．2．，，，，．3．，解得，即∠A＝45．探究三应用等腰三角形性质证明两线垂直在△ABC中，AB＝AC，点E是CA延长线上一点，点F在AB上，且∠AEF＝∠AFE．求证：EF⊥BC．1．如图1，延长EF，交BC边于点G．∵AB＝AC，∴_____________．∵∠AFE＝∠BFG，∠E＝∠AFE，∴_____________．又∵∠C＋∠E＋∠EGC＝∠B＋∠BFG＋∠FGB＝180，∴_____________．∵∠EGC＋∠FGB＝180，∴EF⊥BC．图1图2图32．如图2，过A作AD⊥BC于D．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴______________．∵∠BAC＝∠E＋∠EFA，∠E＝∠EFA，∴∠BAC＝2∠E＝2∠EFA．∴______________．∴EF∥AD，∴EF⊥BC．3．如图3，过A点作AM⊥EF，垂足为M．用此法如何证明EF⊥BC呢？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．答案：1．∠B＝∠C，∠E＝∠BFG，∠EGC＝∠FGB．2．∠BAD＝∠CAD，∠CAD＝∠E．3．∵∠E＝∠EFA，∴AE＝AF．∵AM⊥EF，∴∠EAM＝∠FAM．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠EAF＝∠B＋∠C，∴∠EAF＝2∠B＝2∠C．∴∠EAM＝∠C．∴AM∥BC，∴EF⊥BC．探究四与全等三角形一起构成综合证明如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD＝CE，连接DE交BC于F，求证：DF＝EF．欲证DF＝EF，可先把DF和EF放在两个三角形中，再证明这两个三角形全等，因此必须构造全等三角形．由于构造方法的不同，本题有两种不同的解法．1．如图1，过D作DN∥AE，交BC于N，利用这种方法该怎样证明DF＝EF呢？请你写出证明过程．___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．2．参考图2，写出另一种方法的证明过程．___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．答案：1．过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB＝∠ACB，∠NDE＝∠E．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠DNB，∴BD＝DN．∵BD＝CE，∴DN＝CE．又∵∠DFN＝∠CFE，∴△DNF≌△ECF，∴DF＝EF．2．过E作EM∥AB，交BC的延长线于M，则∠EMB＝∠B．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠ACB＝∠EMB．∵∠ACB＝∠ECM，∴∠ECM＝∠EMB，∴CE＝EM．∵BD＝CE，∴BD＝EM．∵∠DFB＝∠EFM，∴△BDF≌△MEF，∴DF＝EF．探究五运用面积法证明有关问题如图，△ABC中，AB＝AC，D是底边BC上的一点，DM⊥AB，DN⊥AC，垂足为M，N．求证：DM＋DN为定值（一腰上的高）．1．如图，连接AD，作CH⊥AB，垂足为H．DM、DN、CH分别为哪些三角形的高？_____________________________________________________．2．由“△ABC的面积＝△ABD的面积＋△ACD的面积”可以得到什么？____________________________________________________．3．由于AB＝AC，2中的等式可以变成什么？____________________________________________________．答案：1．DM为△ABD的高，DN为△ACD的高，CH为△ABC的高．2．AB·CH＝AB·DM＋AC·DN．3．DM＋DN＝CH．探究六实际应用问题1．∵OE＝EF，∠O＝10，∴∠EFO＝__________度，∠FEG＝__________度．2．∵EF＝FG，∴∠EGF＝__________度，∠GFH＝__________度．3．同理，∠GHF＝__________度，∠HGM＝__________度，∠GMH＝__________度．4．讨论总结：最后一根钢管与∠AOB的一边具有什么关系？一共能添加多少根钢管？_________________________________________________________________________．答案：1．10，20．2．20，30．3．30，40，40．4．当最后一根钢管与∠AOB的一边垂直时，一共添加了8根钢管，即最多能添加8根这样的钢管．探究七探究某一条件的变化对结论的影响如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交直线BC于M．图1图2图31．如图1，当∠A＝40时，∠NMB＝____________度．2．如图2，当∠A＝70时，∠NMB＝____________度．3．你发现了什么规律？写出猜想，并证明．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．4．如图3，当∠A改成钝角时，对于3中规律是否需要修改？_________________________________________________________________________．答案：1．20．2．35．3．等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线的夹角（锐角）等于顶角的一半．证明：设∠A＝．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝．∵∠BNM＝90，∴∠NMB＝90－∠B＝．4．由3中的证明知，将∠A改成钝角，这个规律仍然成立，不必修改．探究八“角平分线＋垂线”构成等腰三角形如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90，D是AC上的任一点，且AE垂直BD，交BD延长线于点E，又AE＝BD．求证：BD平分∠ABC．1．“结论BD平分∠ABC”与“已知AE垂直BD”相结合，考虑到延长AE、BC相交于点F，只要证明出什么？即可证得结论．_______________________________________________．2．你能证明△ACF≌△BCD吗？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．3．由2中全等，能得到什么？根据AE＝BD，还可以得到什么？________________________________________________________________________．4．你能证明△ABF是等腰三角形吗？能说明BD平分∠ABC吗？________________________________________________________________________．答案：1．AB＝BF．2．∵∠FAC＋∠ADE＝90，∠DBC＋∠BDC＝90，∠ADE＝∠BDC，∴∠FAC＝∠DBC．∵∠ACF＝∠BCD＝90，AC＝BC，∴△ACF≌△BCD．3．AF＝BD，AE＝EF．4．∵AE＝EF，BE⊥AF，∴AB＝BF，∴BD平分∠ABC．探究九“角平分线＋平行线”构造等腰三角形如图，∠ABC与∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，若△ABC的两边AB，AC的长分别为12cm，10cm，求△ADE的周长．1．由“BF平分∠ABC”和“DE∥BC”能得到哪个三角形是等腰三角形？为什么？________________________________________________．2．由“CF平分∠ABC”和“DE∥BC”能得到哪个三角形是等腰三角形？__________________________________________________________________________．3．根据1，2，请你求出△ADE的周长．_________________________________________________________________________．答案：1．∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF．∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DFB＝∠DBF．∴DF＝DB．2．同理，EF＝FC．3．△ADE的周长＝AD＋DF＋FE＋AE＝AD＋DB＋AE＋EF＝AB＋AC＝22（cm）．探究十等腰三角形的设计问题如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36，请你仿照图1，在图2、图3中设计两种不同的方法，将△ABC分割成3个等腰三角形．图1图2图3答案：本题有多种可能结果，现提供3种，以供同学们参考．随堂反馈1．如果一个等腰三角形的周长为19，其中一边长为5，那么这个三角形底边的长为（）A．9 B．5 C．5或9 D．以上都不对2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90，AB＝AC，∠BAD＝30，AD＝AE，则∠EDC的度数为（）A．10 B．12 C．15 D．20第2题第3题3．如图，在△ABC中，D为AC上一点，∠A＝36，∠DBC＝36，∠C＝72，则图中等腰三角形的个数为（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50，则这个等腰三角形的底角是（）A．70 B．20 C．70或20 D．40或1405．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为______________．第5题6．若等腰△ABC的周长为10，若设腰长为，则的取值范围是______________．7．在△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为，那么当＝_____________秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于F．求证：△AEF是等腰三角形．9．如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：AE＝DE＝BE．10．已知△ABC的三个内角如图所示，试画一条直线MN，将这个三角形分成两个等腰三角形．参考答案1．C2．C3．A4．D5．136．7或178．∵∠BAC＝90，AD⊥BC于D，∴∠ABC＋∠C＝90，∠ABC＋∠BAD＝90．∴∠BAD＝∠C．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∴∠AFE＝∠AEF．∴AE＝AF．9．∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠CAD．∵D是∠BAC的角平分线上一点，∴∠EAD＝∠CAD，∴∠ADE＝∠EAD．∴AE＝DE．∵BD⊥AD，∴∠EAD＋∠ABD＝∠EDA＋∠BDE＝90，∴∠ABD＝∠EDB．∴BE＝DE．即AE＝DE＝BE．10．如图所示：12.3.1等腰三角形一、选择题1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）Ａ．6㎝ Ｂ．10㎝ Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝ 2．已知△ABC，AB=AC，∠B=65°，∠C度数是()A．50°B．65°C．70°D．75°3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线 B．底边的垂线C．顶角的平分线所在的直线 D．腰上的高所在的直线二、填空题4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）．5．已知△ABC，AB=AC，∠A=80°，∠B度数是_________．6．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________．三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数参考答案一、选择题1．B2．B3．C二、填空题4．底角，等边对等角5．50°6．36°或90°7．16或17三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．证明：∵AB=AD（已知）∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）∵AD∥BC（已知）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∴∠ABD=∠CBD（等量代换）∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）9．4512.3.2等边三角形(1)班级姓名座号月日主要内容:等边三角形的性质和判定方法一、课堂练习:1.(课本54页)如图,等边三角形中,是上的高,,图中有哪些与相等的线段?2.如图,是等边三角形内一点,,求的度数.3.(课本65页)如图,在等边三角形的三边上,分别取点,,,使.求证是等边三角形.二、课后作业:1.下列说法正确的是()A.角是轴对称图形,它的平分线是对称轴B.等腰三角形的角平分线,中线,高三线合一C.直角三角形是轴对称图形D.等边三角形有三条对称轴2.三角形任意一个内角的平分线都垂直于这个角所对的边,则这个三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.等边三角形的两条角平分线和相交于点,则等于()A.B.C.D.

4.如图,是等边三角形,为中线,,求的度数.5.如图,在等边中,是的中点,且,.求证.E6.(课本58页)如图,、都是等边三角形,求证.E图2图2图1三、新课预习:1.如图1,在等边中,于,则度,.2.如图2,在中,若于,,则,延长到使,连接,则是三角形,BDAB.总结:以上两题可得结论:在直角三角形中,如果一个锐角等于,那么它所对应的直角边等于斜边的.

参考答案一、课堂练习:1.(课本54页)如图,等边三角形中,是上的高,,图中有哪些与相等的线段?答:与相等的线段有:,,,,,,.2.如图,是等边三角形内一点,,求的度数.解:∵是等边三角形∴即∵∴∴即3.(课本65页)如图,在等边三角形的三边上,分别取点,,,使.求证是等边三角形.证明:∵是等边三角形∴又∵∴∴在与中∴≌∴同理∴∴是等边三角形二、课后作业:1.下列说法正确的是(D)A.角是轴对称图形,它的平分线是对称轴B.等腰三角形的角平分线,中线,高三线合一C.直角三角形是轴对称图形D.等边三角形有三条对称轴2.三角形任意一个内角的平分线都垂直于这个角所对的边,则这个三角形是(C)A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.等边三角形的两条角平分线和相交于点,则等于(B)A.B.C.D.

4.如图,是等边三角形,为中线,,求的度数.解:∵为等边三角形,为中线∴,∵∴∵∴5.如图,在等边中,是的中点,且,.求证.证明:∵为等边三角形∴,∵是的中点∴∵∴∴∴∴又∵∴6.(课本58页)如图,、都是等边三角形,求证.证明:∵,都是等边三角形∴,,∴即在和中∴≌()∴图2图1图2图1三、新课预习:1.如图1,在等边中,于,则度,.2.如图2,在中,若于,,则,延长到使,连接,则是等边三角形,BDAB.总结:以上两题可得结论:在直角三角形中,如果一个锐角等于,那么它所对应的直角边等于斜边的一半.12.3.2等边三角形思维启动等边三角形给人以“稳如泰山”的美观，它具有独特的对称性．你能用三种不同的分割方法，将以下三个等边三角形分割成四个等腰三角形吗？综合探究探究一用火柴棒拼等边三角形如图，用长度相等的火柴棒拼成下面由三角形组成的图形．1．根据图形规律填写下列表格：图形123456所需火柴棒的根数3572．按此规律，第个图形所需火柴棒的根数是_________________．答案：1．9，11，13．2．．探究二等边三角形的性质应用如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ．1．△APQ是什么三角形？各内角分别是多少度？______________________________________________________________________________________．2．由1得，你能求出∠B、∠C的度数吗？____________________________________________________________________________________________________________________．3．求∠BAC的度数．______________________________________________________________________．答案：1．∵AP＝PQ＝AQ，∴△APQ是等边三角形，∴∠PAQ＝∠AQP＝∠QPA＝60．2．∵AP＝BP，∴∠BAP＝∠B＝30．同理∠C＝30．3．∠BAC＝180―∠B―∠C＝120．探究三子母三角形如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O．1．△ACE与△DCB全等吗？为什么？___________________________________________________________________________________________________________________________________________________．2．据1，你能求出∠AOB的度数吗？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．3．图中还有哪些全等三角形？请你一一写出来．__________________________________________________________________________．4．讨论总结：判断△MCN的形状，并说明理由．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．答案：1．∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠ECB＝60，∴∠ACE＝∠DCB．∴△ACE≌△DCB．2．∵△ACE≌△DCB，∴∠EAC＝∠BDC．∴∠AOB＝∠ADO＋∠DAO＝∠CDA＋∠DAC＝60＋60＝120．3．△ACM≌△DCN，△BCN≌△ECM．4．∵∠CAM＝∠CDN，AC＝CD，∠ACM＝∠DCN＝60，∴△ACM≌△DCN．∴CM＝CN．∴△CMN为等边三角形．探究四线段和差问题如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CB延长线上的一点，∠ADB＝60，E是AD上的一点，且DE＝DB．求证：AE＝BE＋BC．图1图2图31．△BDE是什么三角形？为什么？_______________________________________________________________________．2．如图1，延长DC到F，使CF＝BD，连接AF．△ADF是什么三角形？为什么？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．3．如图1，要证AE＝BE＋BC，只需证明什么？怎么证明？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．4．如图2，延长EB到P，使BP＝BC，连接AP、CP．要证AE＝BE＋BC，只需证明什么？怎样证明？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．5．如图3，过C作CM∥BE，交AD于M．△CDM是什么三角形？为什么？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．6．要证AE＝BE＋BC，还需证明什么？怎么证明？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．答案：1．∵∠ADB＝60，DE＝BD，∴△DBE是等边三角形．2．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACF．∵BD＝CF，∴△ABD≌△ACF．∴∠F＝∠D＝60，∴△ADF是等边三角形．3．AE＝BF．∵△ADF和△DBE都是等边三角形，∴AD＝DF，DE＝DB．∴AE＝BF．∴AE＝BC＋CF＝BC＋BE．4．AE＝EP．易知△BPC为等边三角形，∴BP＝PC．∵AB＝AC，AP＝AP，∴△BAP≌△CAP，∴∠BPA＝∠CPA．∵∠PCB＝∠D＝60，∴PC∥AD，∴∠CPA＝∠EAP，∠EAP＝∠BPA，∴AE＝EP＝BE＋BC．5．∵△DBE为等边三角形，∴∠DBE＝60．∵CM∥BE，∴∠MCD＝∠DBE＝60．∴△DCM为等边三角形．6．AM＝BE．∵AB＝AC