2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷11.2 三角形全等的判定(ASA,AAS)(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷11.2三角形全等的判定(ASA,AAS)(含答案)11.2三角形全等的判定(ASA,AAS)◆课堂测控测试点ASA，AAS1．三角形对应相等的两个三角形______全等，即两个三角形全等的条件中至少有_______相等．2．已知在△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，则在下列条件中不能确定△ABC与△A′B′C′全等的是（）A．AB=A′B′B．BC=B′C′C．AC=A′C′D．∠C=∠C′3．如图，已知AB=A′B′，∠A=∠A′，若△ABC≌△A′B′C′，还需要（）A．∠B=∠B′B．∠C=∠C′C．AC=A′C′D．以上都对4．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲，乙，丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去◆课后测控6．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，∠1=∠2，∠B=∠ADE，根据______可判定△ABC≌△ADE．7．如图，AD=AB，∠C=∠E，∠ADC=125°，则∠ABE=_____．8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，且DC=15，则点D到AB的距离DE长为_______．(第6题)(第7题)(第8题)9．如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM，其中正确的结论是_______．（注：将你认为正确的结论都填上）(第9题)(第11题)10．在△ABC与△A′B′C′中，∠A=44°，∠B=67°，∠C′=69°，∠B′=44°，且AC=B′C′．那么这两个三角形（提醒：画出草图）（）A．一定不全等B．一定全等C．不一定全等D．以上都不对11．如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B=∠E，BC=EFB．BC=EF，AC=DFC．∠A=∠D，∠B=∠ED．∠A=∠D，BC=EF12．如图，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AD=AE．13．如图，AC和BD相交于点E，AB∥CD，AB=CD，求证：E为BD的中点．14．已知：如图，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．求证：△ABC≌△CDE．◆拓展测控15．（教材变式探究题）如图（1），在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，直线L经过点C，AD⊥L于D，BE⊥L于E．（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）当直线L绕点C旋转到图（2）的位置时，DE，AD，BE具有怎样的等量关系？说出你的猜想，并证明你的猜想．答案：1．不一定一对对应边2．D（点拨：没有一对对应边相等）3．D（点拨：根据ASA可选A，根据AAS可选B，根据SAS可选C）4．B（点拨：根据SAS可知乙，根据AAS可知丙）5．C（点拨：依据ASA）[总结反思]证明三角形全等的方法增加了ASA和AAS．6．ASA（点拨：由∠1=∠2可得∠BAC=∠DAE）7．125°（点拨：易知△ADC≌△ABE）8．15（点拨：易证△ACD≌△AED，DE=CD）9．①②③（点拨：根据已知条件易证△ABE≌△ACF，△ABM≌△ACN）10．B（点拨：画出草图后，确定对应边和角）11．D（点拨：三角形全等条件中边边角不成立）12．证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC=∠AEB=90°．在△ADC和△AEB中，∴△ADC≌△AEB，∴AD=AE．[解题规律]有两角及其一角对边相等的两个三角形全等．13．证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D．在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE（ASA）．∴BE=DE，即E为BD的中点．[解题规律]有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．14．证明：∵AC∥DE，∴∠ACD=∠D，∠ACB=∠E．又∵∠ACD=∠B，∴B=∠D．在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（AAS）．[解题技巧]充分利用AC∥DE得到∠ACB=∠E和∠ACD=∠D，即一线二用．15．（1）证明：∵AD⊥L，BE⊥L，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠ECB=90°．又∠1+∠ACD=90°，∴∠1=∠ECB．在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE．∴DE=CE+DC=AD+BE．（2）结论：DE=AD-BE．证明：同（1）可证△ADC≌△CEB．∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE．[解题方法]解决问题（2）的关键是弄清图（2）中哪些量发生了变化，哪些没有发生变化，本题在证明过程中要发现∠ACD=90°的用法，即由∠ACB=90°可得∠ACD+∠BCE=90°．11.2三角形全等的判定(HL)◆课堂测控测试点斜边，直角边1．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，由_______可证明△ABD≌△ACD，从而有BD=______，∠B=________．11.2三角形全等的判定（HL）◆随堂检测CDAB1.如图，AC=AD，∠CDAB2．如图，两根长相等的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两根木桩到旗杆底部的距离相等吗？请说明理由。3.如图，已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证：AB//DE.典例分析例:已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，如AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的高，且AD=A′D′．问△ABC与△A′B′C′是否全等？如果全等，给出证明.如果不全等，请举出反例．错解：这两个三角形全等．证明如下：图1如图1，在Rt△ABD和Rt△A′B′D′中，∵AB=A′B′，AD=A′D′∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′.∴BD=B′D′同理可证DC=D′C′，∴BC=B′C′在△ABC和△A′B′C′中，∵AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′.评析：这两个三角形不一定全等．当这两个三角形均为钝角(或锐角)三角形时全等；若一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时就不可能全等．如图2，虽有AB=A′B′，AC=A′C′，但BC≠B′C′，因此这两个三角形不全等．◆课下作业●拓展提高4.把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.(1)_______,∠A=∠D(ASA)(2)AC=DF,________(SAS)(3)AB=DE,BC=EF()(4)AC=DF,______(HL)(5)∠A=∠D,BC=EF()(6)________,AC=DF(AAS)5.小明既无圆规，又无量角器，只有一个三角板，他是怎样画角平分线的呢？他的具体做法如下：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线交点为P,画射线OP.则OP平分∠AOB。其中运用的数学道理是。6.如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，则图中全等的三角形对数为（）（A）1（B）2（C）3（D）47.如图，幼儿园的滑梯有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，(1)△ABC≌△DEF吗?(2)两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？8.如图，已知∠B=∠E=90°，AC=DF，BF=EC.求证：AB=DE.●体验中考1．(2009年浙江省湖州市)如图：已知在中，DE=DF，为边的中点，过点作，垂足分别为.DCBEDCBEAF2．(2009年北京市).已知：如图，在△ABC中，∠ACB=，于点D,点E在AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB=FC。参考答案随堂检测：1、要挖掘图中隐含的公共边答案：在Rt△ACB和Rt△ADB中,∵AB=AB,AC=AD∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL)∴BC=BD(全等三角形对应边相等).2、两根木桩到旗杆底部的距离是否相等，也就是看OB与OC是否相等，OB、OC分别在Rt△ABO和Rt△ACO中,只需证明这两个三角形全等。答案：在Rt△ABO和Rt△ACO∵AB=AC，AO=AO∴Rt△ABO≌Rt△ACO(HL),∴OB=OC.3、要证明AB//DE,则需要证明∠B=∠E,而∠B、∠E分别是△ABC、△DEC的角，所以问题转化为证明△ABC和△DEC全等.由AD⊥BE，可得∠ACB=∠DCE=90，由C是BE的中点，可得BC=EC，再根据AB=DE可利用“HL”证明两个三角形全等.证明：由AD⊥BE，得△ABC和△DEC为直角三角形，由C为BE的中点，得BC=EC，在Rt△ABC和Rt△DEC中，AB=DE，BC=EC，所以Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），所以∠B=∠E，所以AB//DE.评析：证明两个直角三角形全等，当已知条件中有斜边对应相等时，可考虑判定方法“HL”的应用.拓展提高：1、要利用题中的“直角三角形有一个角是直角”的条件答案：AC=DECB=FEHLAB=DEAAS∠B=∠E2、小明在做法中创设“斜边、直角边”，构造两个直角三角形全等，得出对应角相等。答案：“斜边、直角边”证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形的对应角相等3、C.解析:先利用AAS证得△AEC≌△ADB,从而得AE=AD,故EB=DC,再证Rt△EBC≌Rt△DCB(HL)，Rt△EBC≌Rt△DCB（AAS）4、根据已知条件易证（1）△ABC≌△DEF，（2）利用全等三角形的性质得证解：（1）在Rt△ABC和Rt△DEF中,∵BC=EF,AC=DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)∵Rt△ABC≌Rt△DEF∴∠ABC=∠DEF(全等三角形对应角相等)∵∠DEF+∠DFE=90°∴∠ABC+∠DFE=90°5、根据∠B=∠E=90°，可知△ABC和△DEF均为直角三角形，已知斜边AC=DF，所以可使用“HL”证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质得到对应边BA与DE相等.证明：由BF=CE，得BF+FC=CE+FC，即BC=EF.在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DF，BC=EF，所以Rt△ABC≌Rt△DEF，所以BA=DE.评注：利用“HL”判定两个直角三角形全等，当知道斜边对应相等时，应先证明一组直角边对应相等，然后再利用“HL”证明三角形全等.体验中考：1、是的中点，，∵DE=DF(HL)2、要证AB=FC,只需证Rt△ABC≌Rt△FCE证明:∵∠ACB=∴∠BCD+∠ACD=∵∴∠B+∠BCD=∴∠ACD=∠B∵FE⊥AC∴∠FEC=∠ACB=∵CE=BC∴△ABC≌△FCE(ASA)11.2三角形全等的判定（SAS）◆课堂测控测试点SAS1．如图，∠1=∠2，若用“SAS”证明△ACB≌△BDA，还需要加上条件（）A．AD=BCB．BD=ACC．∠D=∠CD．OA=OB2．不能判定△ABC≌△A′B′C′的条件是（）A．AB=A′B′，BC=B′C′，∠B=∠B′B．∠B=135°，∠C′=135°，AB=B′C′，BC=C′A′C．AB=BC=CA，A′B′=B′C′=C′A′，∠A=∠A′D．AB=A′B′，AC=A′C′，∠A=∠A′=135°3．如图，点D在AB上，点E在AC上，且AD=AE，AB=AC，若∠B=20°，则∠C=_____．4．如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：AF=DE．◆课后测控5．如图，∠1=∠2，BC=EF，那么需要补充一个直接条件________（写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF．(第5题)(第6题)(第7题)6．如图，已知AB=AE，AC=AD，只要找出∠____=∠_____或∠____=∠____，就可证得△_____≌△______．7．如图，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2，则∠B=_____，图中有____对三角形全等，请写出来_______．8．如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，点C在BD上，AB=CD，BC=ED，则∠ACE=_______．9．如图，已知AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，须补充的条件是（）A．∠B=∠CB．∠D=∠EC．∠1=∠2D．∠CAD=∠DAC10．如图，已知AD是△ABC的中线，在AD及其延长线上截取DE=DF，连结CE，BF。求证：BF∥CE．11．已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD，求证：AB=CD．12．已知：如图，AE=CF，AD∥BC，AD=CB，求证：△ADF≌△CBE．◆拓展测控13．（变式题）如图（1），A，B，C，D在同一直线上，AB=CD，DE∥AF，且DE=AF．由上题结论可知：△AFC≌△DEB．探究：如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图（2），（3）时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择其中一个图形予以证明；如果不成立，请说明理由．答案：1．B（点拨：夹∠1，∠2的另一边分别为AC和BD）2．C（点拨：没有对应边相等）3．20°（点拨：根据已知条件可得△ABE≌△ACD，有∠B=∠C）4．证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE．在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴AF=DE．[总结反思]两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．5．AC=DF（点拨：根据夹角选择边）6．EADBACBAECADAEDABC（点拨：依据两边找夹角）7．∠C两△ABD≌△ACE△ABE≌△ACD（点拨：可直接得△ABD≌△ACE，从而∠B=∠C，AB=AC，进而由SAS可得△ABE≌△ACD）8．90°（点拨：易知△ABC≌△CDE，有∠A=∠DCE，因为∠A+∠ACB=90°，所以∠DCE+∠ACB=90°，故∠ACE=90°）9．C（点拨：由∠1=∠2得∠BAD=∠CAE，即可运用SAS，同时注意有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等）10．证明：∵AD为中线，∴BD=CD，在△BDF和△CDE中，∴△BDF≌△CDE（SAS）．∴∠F=∠CED，∴BF∥CE．[解题规律]直接运用SAS可证△BDF≌△CDE，注意隐含条件对顶角相等的运用．11．证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线，∴∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP．∴∠AOB=∠COD．在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB=CD．[解题技巧]运用等式性质得夹角∠AOB=∠COD是证明的关键．12．∵AE=CF，∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE．又∵AD∥CB（已知），∴∠A=∠C．在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS），[解题规律]间接的已知条件必须进行加工，如本题中AE=CF不能直接用，可运用等式性质加工成AF=CE．13．解：（2），（3）中结论依然成立，选择（3）证明．∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=DB．∵DE∥AF，∴∠A=∠D．在△AFC和△DEB中，∴△AFC≌△DEB（SAS）．[解题方法]对于探究结论的题可解题方法是：（1）图形在运动过程中，哪些量发生了变化，哪些量是没有变化，原来的等线段，等角还是否存在，是解题关键；（2）几种变化得到的之间存在必然的内在联系，证明的方法必然相似．2．下列命题中，正确的是（）A．有两条边分别相等的两个直角三角形全等B．有一条边相等的两个等腰直角三角形全等C．有两条直角边分别相等的两个直角三角形全等D．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等3．如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，求证：AB∥CD．4．（研讨题）“有两边相等的两个直角三角形全等”这个命题对吗？下面是小松、小强、小红三位同学的看法．小松：正确．因为如果两边都为直角边，则夹角是直角，用SAS可以证明它们全等．小强：正确，因为如果其中一边是直角边，另一边是斜边，则可用HL证明它们全等．小红：不正确，如果一个三角形的较长的直角边与较长的直角边相等，则显而易见两个三角形不全等．请发表你的看法．◆课后测控5．下面说法不正确的是（）A．有一角和一边相等的两个直角三角形全等B．有两直角边对应相等的两个直角三角形全等C．有两角对应相等的两个直角三角形全等D．有一锐角和其对边对应相等的两个直角三角形全等6．如图，AB=AC，AF⊥BC于F，D，E分别为BF，CF的中点，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对(第6题)(第7题)(第8题)7．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC，BD交于点O，如果AC=BD，那么下列结论中：①AD=BC；②∠ABC=∠BAD；③∠DAC=∠CBD；④OC=OD，其中正确的有（）A．①②③④B．①②③C．①②D．②③8．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC交AB于E，则有（）A．DE=DBB．DE=AEC．AE=BED．AE=BD9．如图，AC=AD，∠C和∠D是直角，将上述条件标注在图中，线段BC和BD相等吗？请说明理由．10．如图，∠BAC=90°，AB=AC，D在AC上，E在BA的延长线上，BD=CE，BD延长线交CE于F，求证：BF⊥CE．[注明：图中标注的∠1，∠2能不能给你启发呢？]11．如图，△ABC中，∠B=90°，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于F，E为AB上一点，且DE=DC．求证：BE=CF．◆拓展测控12．如图，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，且AB=A′B′，AD=A′D′，请你补充一个条件使△ABC≌△A′B′C′．答案：1．HLCD∠C（点拨：AD为公共的直角边）2．C（点拨：两条直角边的夹角为直角）3．证明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴∠A=∠C，∴AB∥CD．4．小松、小强两学生的回答都片面地理解成这两边是对应的，即直角边与直角边对