湖北省武汉市东湖高新区2023-2024学年九年级（上）期末数学试卷

湖北省武汉市东湖高新区2023-2024学年九年级（上）期末数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°；事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯；则下列说法正确的是（）A．事件①和②都是随机事件B．事件①是随机事件，事件②是必然事件C．事件①和②都是必然事件D．事件①是必然事件，事件②是随机事件3．若一元二次方程x2-3x+a=0的一个根为x=2，则A．2 B．-2 C．4 D．-44．在平面直角坐标系中，以点(4，3)为圆心，A．与x轴相切 B．与x轴相离 C．与y轴相切 D．与y轴相交5．我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步.如果设宽为x步，则可列出方程（）A．x(x-6)=864 B．x(x-12)=864 C．x(x+6)=864 D．x(x+12)=8646．已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，A，B，C，P四点均在格点上，则点P叫做△ABC的（）A．垂心(三边高线的交点) B．重心(三边中线的交点)C．外心(三边垂直平分线的交点) D．内心(三内角平分线的交点)7．已知二次函数y=x2-2x+c的图象经过点P(-1，y1)和Q(m，y2)．若y1<y2，则m的取值范围是（）A．-1<m<3 B．1<m<3 C．m<-1或m>3 D．m<-18．有一个从不透明的袋子中摸球的游戏，这些球除颜色外都相同，小红根据游戏规则，作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（）A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3个球9．如图，点P在⊙O的直径AB上，作正方形PCDE和正方形PFGH，其中点D，G在直径所在直线上，点C，E，F，H都在⊙O上，若两个正方形的面积之和为16，OP=2，则DGA．62 B．214 C．7 10．已知抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，将此抛物线向右平移2个单位，再向下平移3A．4 B．5 C．8 D．4二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．在平面直角坐标系中，点(-3，4)关于原点对称的点的坐标是12．若x1=m，x2=n是一元二次方程x13．如图是可以自由转动的三个转盘，请根据下列情形回答问题(不考虑指针落在分界线上)．（1）转盘1被分成了2个扇形，圆心角为120°的扇形涂成红色，其余部分涂成白色，转动转盘1，当转盘1停止转动时，指针落在红色区域的概率是．（2）转盘2、转盘3都已被分成了3个相同的扇形，并且分别涂成红色、白色、黄色，同时转动转盘2和转盘3，当两个转盘停止转动时，则指针落在区域的颜色都是红色的概率为．14．如图，以点O为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻度线与直角三角板的斜边AB重合，点D为斜边AB上一点，作射线CD交半圆弧AB于点E，如果点E在量角器上对应的读数为50°，那么∠BDE的大小为．15．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的正半轴相交于A(x1，0)，B两点(0<x1<1)，与y轴交于点C.①abc>0；②4a+b=0；③若ax2+bx+c<x+c，则0<x<-c；④关于x的方程a16．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，请将等腰Rt△ABC以点A为旋转中心旋转60°得到△A1B1C1，延长B1C1与直线AB三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．已知二次函数y=x（1）用配方法将二次函数的一般式化成y=a(（2）分别写出此二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴．18．若关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0有两个相等的实数根，求19．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE，B，C，D三点恰好在同一直线上．（1）判断△ACE的形状；（2）连接CE，若CE⊥BD，求∠BAC的度数．20．一只不透明袋中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从袋中摸出1个球，记下颜色后放回、揽匀，不断重复这个过程，获得数据如下：摸球的次数200300400100016002000摸到白球的频数7293130334532667摸到白球的频率000000（1）该小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是(精确到0.001)（2）现从该袋中随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图或列表法求恰好摸到1个白球和1个红球的概率．21．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，半圆O与直角边AC交于点E，且B，E两点是半圆弧的三等分点．（1）在图1中，请仅用无刻度的直尺，按要求完成下列作图(作图过程用虚线，作图结果用实线)．①画一条和BC平行的弦；②画BE的中点M．（2）如图2，已知⊙O的半径为4，求图中两个阴影部分面积的和．22．中山公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一点的位置与水管的水平距离为x米，与湖面的垂直高度为y米，表中记录了x与y的五组数据：x(米01234y(米01110（1）根据表中所给数据，在图1建立的平面直角坐标系中画出表示y与x函数关系的图象；（2）求y与x的函数表达式；（3）公园准备调节水管露出湖面的高度，使游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船以抛物线的对称轴为中轴线从水柱下方通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度2米，顶棚到湖面的高度为1.8米，请计算分析水管露出湖面的高度23．如图（1）【问题背景】如图1，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，求证：BD=CE：（2）【尝试应用】如图2，在△ABC中，∠BAC=60°，在AC上截取AF=AB，连接BF，D为BC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接AE并延长交线段BF于点M，且BM=CF，求证：点D为线段BC的中点：（3）【拓展探究】如图3，在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边AC上的一点，当AD>AB时，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接AE，DE，若AD=4，请直接写出△ABE面积的最大值为．24．如图（1）已知抛物线C1：y=ax2+bx经过原点O，其顶点P的坐标为（2）如图1，若抛物线C1与x轴交于另一点E，过O，E两点作开口向下的抛物线C2，设其顶点为Q(点Q在点P的下方)，线段PQ的垂直平分线与抛物线C1相交于M，N两点，若四边形PMQN的面积为（3）如图2，将抛物线C1向左平移1个单位长度，得到抛物线C3，且与y轴正半轴，x轴正半轴分别交于A，B两点，连接AB，过点P作PH⊥x轴于点H，在直线PH上有一点C，坐标平面内有一点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的D点的坐标：

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意；故答案为：D.【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°，这是必然事件；事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，可能遇见红灯、绿灯或黄灯，所以遇到红灯，这是随机事件；故答案为：D.【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件；从而根据多边形外角和均为360°可判断①；经过一个有交通信号灯的十字路口，可能遇到红灯、黄灯、绿灯，据此判断②.3．【答案】A【解析】【解答】解：将x=2代入方程可得：

4-6+a=0

解得：a=2故答案为：A【分析】将x=2代入方程得到关于a的方程，解方程即可求出答案.4．【答案】C【解析】【解答】解：∵以点(4，3)为圆心，4为半径的圆

∴圆心到x轴的距离为3，到y轴的距离为4

故答案为：C【分析】根据直线与圆的位置关系即可求出答案.5．【答案】D【解析】【解答】解：设宽为x步，则长为（12+x）步由题意可得：x(x+12)=864

故答案为：D【分析】设宽为x步，则长为（12+x）步，根据矩形面积建立方程即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】解：如图

∵AF，BG是△ABC的中线

∴点P是三角形的重心故答案为：B【分析】根据重心的定义判断即可求出答案.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2-2x+c的图象经过点P(-1，y1)和Q(m，y2)，

∴y1=3+c，y2=m2-2m+c，

∵y1<y2，

∴3+c＜m2-2m+c，即m2-2m-3＜0，

解得m＜-1或m＞3.

故答案为：C.

【分析】将两点的坐标分别代入y=x2-2x+c表示出y1与y2，进而根据y1<y2列出不等式，求解即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：由图可得：第一次摸球时，袋中有红，黄，蓝三个球

第二次摸球时，袋中有红，黄，蓝三个球

∴第二次摸球时，袋中球个数不变

∴随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球

故答案为：A【分析】根据两次摸球时，袋中球个数不变可得随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球，即可求出答案.9．【答案】B【解析】【解答】解：作OK⊥PC于K，设正方形PFGH的边长是x

∵四边形PCDE是正方形

∴∠CPD=45°

∵∠OKP=90°

∴△KOP是等腰直角三角形

∴PK=22OP=1

∴CK=FK=x+1

∴PC=CK+PK=x+2

∵两个正方形的面积之和为16

∴x2+x+22=16

解得：x=7-1或x=-7-1(舍去)【分析】作OK⊥PC于K，设正方形PFGH的边长是x，根据正方形性质可得∠CPD=45°，再根据等腰直角三角形判定定理可得△KOP是等腰直角三角形，则PK=22OP=1，再根据边之间的关系可得CK=1，PC=2，再根据正方形面积建立方程，解方程可得PC=10．【答案】A【解析】【解答】解：设抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点坐标为x1,0,x2,0,x1-x2=2

即x1，x2为方程x2+ax+b=0的两根

∴x1+x2=-a,x1·x2=b

∵x1-x2=2

∴x1-x22=4

∴x1+x22-4x1故答案为：A【分析】设抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点坐标为x1,0,x2,0,x1-11．【答案】(3，-4)【解析】【解答】解：由题意可得：

点(-3，4)关于原点对称的点的坐标是(3，-4)

故答案为：(3，-4)12．【答案】-7【解析】【解答】解：∵x1=m，x2=n是一元二次方程x2-2x-5=0的两个实数根故答案为：-7【分析】根据二次方程根与系数的关系可得m+n=2，mn=-5，化简代数式，再整体代入即可求出答案。13．【答案】（1）1（2）19【解析】【解答】解：（1）由题意可得：

转动转盘1，当转盘1停止转动时，指针落在红色区域的概率是120360=13

故答案为：13

（2）由题意可得：

同时转动转盘故答案为：1【分析】（1）根据简单事件的概率计算即可求出答案.

（2）根据简单事件的概率计算即可求出答案.14．【答案】110°​​​​​​​【解析】【解答】解：连接OE，则∠AOE=50°

∵∠ACB=90°

∴点C在圆上

∴∠ACE=12∠AOE=25°

∵∠CAB=45°

∴∠ADC＝180°-25°-45°＝110°

故答案为：110°【分析】连接OE，则∠AOE=50°，根据圆周角性质可得点C在圆上，则∠ACE=115．【答案】①②④​​​​​​​【解析】【解答】解：∵函数图象开口朝下，则a<0

与y轴交于负半轴，则c<0，对称轴为x=2

∴-b2a=2

∴b=-4a>0

∴abc>0，4a+b==0，①②正确

∵OA=OC，C(0，c)

∴OA=OC=-c

∴A(-c，0)

∵直线y=x+c与x轴的交点为（-c，0）

∴直线y=x+c过A，C点

观察图象，若ax2+bx+c<x+c，则x<0或x>-c，③错误

将A（-c，0）代入y=ax2+bx+c得：0=ac2+bc+c

两边同时除以ac得：c-b故答案为：①②④【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.16．【答案】4-23或【解析】【解答】解：∵AC=BC，∠ACB=90°

∴∠CAB=∠B=45°

将等腰Rt△ABC绕以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到△A1B1C1，线段B1C1的延长线交线段AB于点D

∴AC1=AC=2，∠CAC1=60°，∠AC1B1=∠ACB=90°

∴∠DAC1=∠CAC1-∠CAB=15°

在AC1取一点E，连接DE，使得AE=DE，则∠EDA=∠BAC1=15°

∴∠DEC1=∠EDA+∠BAC1=30°

∵∠DC1E=∠AC1B1=90°

∴AE=DE=2C1D

∴C1E=DE2-C1D2=2C1D2-C1D2=3C1D

∴2C1D+3C1D=AC1=2

∴C1D=4-23

将等腰Rt△ABC绕以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到△A1B1C1，线段B1C1的延长线交线段AB于点D

∴AC1=AC=2，∠CAC1=60°，∠AC1B1=∠AC1D=∠ACB=90°

∴∠BAC1=∠CAC17．【答案】（1）解：将二次函数y=x2（2）解：∵y=(x+2)2-7∴此二次函数的的图象开口向上，顶点坐标为(-2，-7)，对称轴为直线x=-2【解析】【分析】（1）根据配方法将解析式化成顶点式即可求出答案.

（2）根据二次函数的性质即可求出答案。18．【答案】解：∵一元二次方程x2∴Δ=42-4(m-1)=0∴x∴x=-4解得x【解析】【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式∆=b19．【答案】（1）解：∵△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE，∴AC=AE，∠CAE=140°，∴△ACE是以顶角为140°的等腰三角形（2）解：∵△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE，∴∠BAD=∠CAE=140°，AB=AD，AC=AE，∴∠ABC=∠ADB=1同理可得∠ACE=∠AEC=20°，∵CE⊥BD，∴∠ECB=90°，∴∠ACB=∠ECB-∠ACE=90°-20°=70°，在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-20°-70°=90°，即∠BAC的度数为90°【解析】【分析】（1）根据旋转性质可得AC=AE，∠CAE=140°，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.

（2）根据旋转性质可得∠BAD=∠CAE=140°，AB=AD，AC=AE，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠ABC=∠ADB=20°，同理可得∠ACE=∠AEC=20°，再根据角之间的关系可得∠ACB=70°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.20．【答案】（1）0.334；2（2）解：列表为：白红红白红白红白红白红红红红白红红红共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球和1个红球的有4种，所以恰好摸到1个白球和1个红球的概率为4【解析】【解答】解：（1）随着摸球次数的越来越多，频率越来越接近0.334

∴这个常数是0.334

设红球有x个，由题意可得：

11+x=0.334，解得：x≈2

故答案为：0.334，2

【分析】（1）随着摸球次数的越来越多，摸到白球的频率稳定在0.334，即可得常数为0.334，设红球有x个，再根据概率公式即可得红球个数.

（2）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出恰好摸到1个白球和21．【答案】（1）解：①如图1中，线段DE即为所求；②如图1中，点M即为所求；（2）解：连接BE，OB，OE．∵B，E是三等分点，∴∠BOE=60°，∵OB=OE，∴△OBE是等边三角形，∴BE=OB=OE=4，同理△AOE是等边三角形，∴AE=OE=BE=4，∵∠BAE=1∴∠EBA=∠EAB=30°，∵∠BEC=∠EBA+∠EAB=60°，∠C=90°，∴EC=12BE=2∴【解析】【分析】（1）根据平行线的性质作图即可得DE，根据线段中点性质作图即可求出答案.

（2）连接BE，OB，OE，根据圆周角定理可得∠BOE=60°，再根据等边三角形判定定理可得△OBE是等边三角形，则BE=OB=OE=4，同理△AOE是等边三角形，则AE=OE=BE=4，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠EBA=∠EAB=30°，再解含30°角的直角三角形性质即可求出答案.22．【答案】（1）解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：（2）解：由图1可得函数顶点为(2，1.5∴可设二次函数的解析式为：y=a(x-2)将(0，0.5)代入解得a=-1∴抛物线的解析式为：y=-（3）解：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：y=-1由题意可知，当横坐标为时2+22=3∴-1解得n≥1.05，∴水管高度至少向上调节1.05米，∴1.05+0.5=1.55(米)，∴公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到约1.55米才能符合要求【解析】【分析】（1）根据点的坐标特征建立直角坐标系即可求出答案.

（2）设二次函数的解析式为：y=a(x-2)2+1.5，根据待定系数法将点(0，0.5)代入解析式即可求出答案.

（3）设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：y=-23．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE（2）证明：如图所示，过点B作BN//AC交FD延长线与N，∵∠BAC=60°，AF=AB，∴△ABF是等边三角形，∴BA=BF，∠AFB=60°，∵BN//AC，∴∠FBN=∠AFB=60°，∠CFD=∠N，∠C=∠DBN，由旋转的性质可得∠DBE=60°，BE=BD，∴∠ABE=∠DBF，∠MBE=∠NAD，∴△ABE≌△DBF(SAS)，∴∠AEB=∠FDB，∴∠BEM=∠BDN，∴△BEM≌△BDN(ASA)，∴BM=BN，∵BM=CF，∴BN=CF，∴△BDN≌△CDF(ASA)，∴BD=CD，∴点D为线段BC的中点；（3）3【解析】【解答】解：（3）在线段AD截取一点F使得AF=AB，连接BF，过点B作BH⊥EA交EA延长线于点H

∵∠BAC=60°，AF=AB

∴△ABF是等边三角形

∴AB=BF，∠ABF=∠AFB=60°

∴∠BFD=120°

由旋转性质可得：BD=BE，∠EBD=60°

∴∠ABE=∠DBF

∴△ABE≌△DBF

∴AE=DF，∠BAE=∠BFD=120°

∴∠BAH=60°

∴∠ABH=30°

∴BH=32AB

∵AD=AF+DF=4

∴5AE=DF=AD-AF=4-AF=4-AB

设AB=2x，则BH=3x，AE=4-2x

∴S△ABE=12AE·BH=-3x-12+3

∴当x=1时，S△ABE有最大值3

故答案为：3

【分析】（1）根据等边三角形性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，则∠BAD=∠CAE，再根据全等三角形判定定理可得△BAD≌△CAE(SAS)，则BD=CE，即可求出答案.

（2）过点B作BN//AC交FD延长线与N，根据等边三角形判定定理可得△ABF是等边三角形，则BA=BF，∠AFB=60°，再根据直线平行性质可得∠FBN=∠AFB=60°，∠CFD=∠N，∠C=∠DBN，由