四川省南充市2024-2025学年高三上学期一诊考试数学试卷 含解析

南充市高2025届高考适应性考试（一诊）数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，是实数集，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得集合，进而得到，进而根据交集的定义计算即可.【详解】因为或，所以，又，所以.故选：B.2.若复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则及几何意义求解即可.【详解】由，得，所以在复平面内z对应的点为，位于第一象限.故选：A.3.甲同学近10次数学考试成绩情况如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，则甲同学数学考试成绩的第75百分位数是（）A.118 B.121 C.122 D.123【答案】D【解析】【分析】根据百分位数的定义计算．【详解】已知数据按从小到大排列为：，，因此第75百分位数是第8个数123.故选：D．4.已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由抛物线的焦半径公式可得，即可求得，从而求解.【详解】由题意，得，即，所以抛物线方程为.故选：D.5.“”是“直线与直线垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若直线与直线垂直，则，解得，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.故选：A.6.已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果.【详解】设底面半径为，高为，母线为，如图所示：则圆锥的体积，所以，即，又，即，所以，则，解得，所以圆锥的表面积为.故选：B．7.已知函数的图象关于直线对称，若方程在上恰有两个实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式及函数的对称性求出，即可得到函数解析式，再求出函数在上的单调性，求出端点函数值与最大值，依题意与在上恰有两个交点，即可求出参数的取值范围.【详解】因为（其中），又函数的图象关于直线对称，且，所以，解得，所以，当时，则，令，解得，且，令，解得，且，所以在上单调递增，在上单调递减，且，，，因为方程在上恰有两个实数根，即与在上恰有两个交点，所以，即的取值范围是.故选：C8.定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，，当时，都有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象关于点对称可得到，进而求得，，反复利用，适当赋值，再结合条件当时，都有即可求解.【详解】因为函数的图象关于点对称，所以，令，则，又，所以，由，令，则，令，则，令，则，令，则，令，则，同理，令，由，则，即，由，令，则，令，则，令，则，令，则，因为当时，都有，而，则，，所以.故选：D.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用，结合赋值法，采用两边夹逼的方法，求出结果.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在边长为2的正方体中，E为AD的中点，F为的中点，过点、E、B作正方体的截面α，则下列结论中正确的是（）A.三棱锥的体积为B.与所成角的余弦值为C.D.二面角的余弦值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据等体积法直接计算即可；对于BCD，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可.【详解】对于A，，故A正确；对于B，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，所以，，，，，，则，，则，所以与所成角的余弦值为，故B错误；对于C，由B知，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，所以，即，又平面，所以平面，即，故C正确；对于D，在正方体中，平面，所以平面的一个法向量为,所以，所以二面角的余弦值为，故D正确.故选：ACD.10.设函数，，则下列结论中正确的是（）A.存在，使得B.函数的图象与函数的图象有且仅有一条公共的切线C.函数图象上的点与原点距离的最小值为D.函数的极小值点为【答案】BD【解析】【分析】构造函数，进而结合导数分析单调性，得到恒成立，从而判断A；分析可得函数与互为反函数，图象关于直线对称，结合图象即可判断B；表示出函数图象上的点与原点距离，进而结合基本不等式求解判断C；令，进而结合导数分析单调性，从而判断D.【详解】对于A，设，则，令h′x>0，即；令h′所以函数hx在0,1上单调递增，在1,+所以，即恒成立，故A错误；对于B，函数，则，即，所以函数与互为反函数，图象关于直线对称，且直线为函数与唯一的公切线，故B正确；对于C，函数图象上的点与原点距离为，当且仅当，即时等号成立，所以函数图象上的点与原点距离的最小值为，故C错误；对于D，令，则，令，即；令，即，所以函数Fx在0,1上单调递减，在1,+所以当时函数Fx取得极小值，故D正确.故选：BD.11.双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，若P是右支上一点（与B不重合）如图，过点P的直线与双曲线C的左支交于点Q，与其两条渐近线分别交于S，T两点，则下列结论中正确的是（）A.P到两条渐近线的距离之积为B.当直线l运动时，始终有C.在中，D.内切圆半径取值范围为【答案】ABC【解析】【分析】选项A,设出点，然后计算出渐近线，分别计算距离求解即可；选项B，设直线，然后分别联立双曲线和渐近线方程计算交点，计算即可；选项C，利用点坐标表示出，然后利用三角形内角的角度关系得到，，由选项可知，只需得到分母的值就可以得到正确答案；选项D,高中我们求三角形内切圆半径的方法为，然后化简求解即可.【详解】由题可知双曲线的标准方程为，故两个渐近线方程分别为与，设点，由题可知所以点到两个渐近线的距离分别为故由题可知，故，故选项A正确；设点显然直线的斜率存在,设直线联立方程，，得所以直线分别与渐近线与联立得得所以有即由题可知，所以，故选项B正确；不妨设，由题可知，所以有由题可知，故所以整理得，故选项C正确；由三角形内切圆的半径求法可知其内切圆半径易知得因为得,所以，因为，所以，所以，，故选项D错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛，在解析几何中当我们需要运用距离公式的时候，特别是很多距离相加，式子中会存在较多的根号，我们经常利用三角换元然后化简求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，且，则______.【答案】##【解析】【分析】先求出的坐标，再根据平面向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为，，所以，又，所以，即.故答案为：.13.某一随机变量X的分布列如下表，且，则______.X0123P0.1m0.2n【答案】8【解析】【分析】根据题意可得，即可求得的值，进而结合期望公式可求得，进而得到.【详解】由题意，得，解得，所以，所以.故答案为：8.14.已知平面四边形中，，，，，则该平面四边形面积的最大值为_____________.【答案】【解析】【分析】先根据余弦定理可得，进而表示出四边形面积，进而得到，进而求解.【详解】连接，由余弦定理得，，即，即，又四边形的面积，则，即，即，当且仅当时，等号成立，所以平面四边形面积的最大值为.故答案为：.第Ⅱ卷四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知.（1）求角A的大小；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据两角和的正弦公式化简题干条件可得，进而得到，进而求解；（2）根据三角形的面积公式及余弦定理求解即可.【小问1详解】因为，在中，，即.小问2详解】由（1）知，，所以，即，所以，又，即，所以的周长为.16.已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的标准方程；（2）设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据距离公式列出方程即可求解；（2）设，可得直线的方程，呢绒联立方程组，结合对称性与弦长公式列出方程即可求解.【小问1详解】由题意，，整理化简得，，所以曲线C的标准方程为.【小问2详解】由题意，直线的斜率都存在，设，则直线的方程为，分别延长，交曲线于点，设，联立，即，则，根据对称性，可得，则，即，解得，所以直线FM的斜率为.17.如图，在三棱锥中，平面，，，点M，N分别是线段SB，AC上的动点，且满足.（1）证明：平面；（2）当线段MN的长度最小时，求直线SC与平面AMN所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先根据平面可得，再根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，表示出，进而确定线段MN的长度最小时的值，再根据空间向量求解即可.【小问1详解】因为平面，平面，所以，又，，平面所以平面.【小问2详解】以为原点，以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，因为，，所以，，所以，所以当时，最小，此时，，则，，设平面AMN的一个法向量为，则，即，取，则，又，设直线SC与平面AMN所成角为，则，即直线SC与平面AMN所成角的正弦值为.18.已知函数.（1）判断函数的单调性，并求出的极值；（2）讨论方程的解的个数；（3）求证：【答案】（1）取得极小值，无极大值（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用导数判断函数单调性，进而求得极值；（2）结合函数的图象求解即可；（3）转化为证明，构造函数，，进而结合导数证明即可.【小问1详解】由，，则，由于恒成立，因此令，即，令，即或，所以函数在和0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，当时，函数取得极小值，无极大值【小问2详解】由（1）知，函数在和0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，且，画出函数的大致图象：由图可知，当时，函数y=fx与有2个交点，方程有2个解；当或时，函数y=fx与有1个交点，方程有1个解；当时，函数y=fx与有0个交点，方程有0个解.【小问3详解】证明：由，，即，即，设，，所以，令，当时，，所以函数hx在0,+∞上单调递增，则所以令，即；令，即，所以函数在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，所以，所以.19.今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况.星期t123456销售量y（张）21822423023223690经计算可得：，，.（1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程；（2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求；（3）请依据下列定义，解决下列问题：定义：如果对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，（a是一个确定的实数），则称数列收敛于a.运用：记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值，并证明数列收敛.参考公式：，.【答案】（1）（2）（3）最大值为，最小值为，证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到y关于t的经验回归方程；（2）由题意可知，，其中，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）分为偶数和奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】由题意，，，则，，所以y关于t的经验回归方程为.【小问2详解】由题意，可知，，当时，，即，又，所以当时，数列为各项都为1的常数列，即，所以，，又，所以数列为首项为公比为的等比数列，所以，即.【小问3详解】由（2）知，，当