2023年新高考数学一轮复习讲义精讲精练第32讲-计数原理(解析)

第32讲计数原理学校____________姓名____________班级____________知识梳理基本计数原理1.分类加法计数原理完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.排列与组合1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列组合并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合2.排列数与组合数(1)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示.(2)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！).(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，且m≤n).特别地Ceq\o\al(0,n)＝1性质(1)0！＝1；Aeq\o\al(n,n)＝n！.(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m＋1,n)＋Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)二项式定理1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增减性二项式系数Ceq\o\al(k,n)当k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递增的当k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.考点和典型例题1、基本计数原理【典例1-1】（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（

）种.A．24 B．96 C．174 D．175【答案】D【详解】若4人均去茶经楼，则有1种参观方式，若有3人去茶经楼，则从4人中选择3人，另1人从另外3处景点选择一处，有种参观方式；若有2人去茶经楼，则从4人中选择2人，另外2人从另外3处景点任意选择一处，有种参观方式；若有1人去茶经楼，则从4人中选择1人，另外3人从另外的3处景点任意选择一处，有种参观方式，综上：共有种参观方式.故选：D【典例1-2】（2023·山西大同·高三阶段练习）高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（

）A．72 B．144 C．48 D．36【答案】A【详解】先将选择性必修有一､二､三这三本书排成一排，有种方法，再将必修一､必修二这两本书插入两个空隙中，有种方法，所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是：.故选：A.【典例1-3】（2023·全国·高三专题练习（理））2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（

）场次．A．53 B．52 C．51 D．50【答案】C【详解】第一轮分成6个组进行单循环赛共需要场比赛，淘汰赛有如下情况：16进8需要8场比赛，8进4需要4场比赛，4进2需要2场比赛，确定冠亚军需要1场比赛，共需要场比赛故选：C．【典例1-4】（2022·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（

）A．350 B．500 C．550 D．700【答案】C【详解】所选医生中只有一名男主任医师的选法有，所选医生中只有一名女主任医师的选法有，所选医生中有一名女主任医师和一名男主任医师的选法有，故所选医师中有主任医师的选派方法共有种，故选：C【典例1-5】（2023·全国·高三专题练习）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有（

）种.A． B．C． D．【答案】C【详解】分以下两种情况讨论：①若甲只收集一种算法，则甲有种选择，将其余种算法分为组，再分配给乙、丙、丁三人，此时，不同的收集方案种数为种；②若甲收集两种算法，则甲可在运筹算、成数算和把头算种算法中选择种，其余种算法分配给乙、丙、丁三人，此时，不同的收集方案种数为种.综上所述，不同的收集方案种数为种.故选：C.2、排列与组合【典例2-1】（2023·全国·高三专题练习）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】B【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B【典例2-2】（2023·全国·高三专题练习（理））教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择.若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（

）A．60种 B．64种 C．72种 D．80种【答案】A【详解】解：3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况为：种又每家企业至少接待1名校长，故3名校长选的3家企业，不全相同，因为3名校长选的3家企业完全相同有种，则不同的安排方法共有：种.故选：A.【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为（

）A．150 B．180 C．240 D．540【答案】A【详解】先把5名同学分为3组：（3人,1人,1人）或（2人,2人,1人），再把这3组同学分配给3门选修课即可解决.则5名同学选课的种数为（种）故选：A【典例2-4】（2023·全国·高三专题练习）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的安排方案有（

）A．6种 B．12种 C．18种 D．24种【答案】B【详解】由题意可知：应将志愿者分为三人组和两人组.先将小李､小明之外的三人分为两组，有种分法，再将小李､小明分进两组，有种分法，最后将两组分配安装两个吉祥物，有种分法，所以共计有种.故选：B【典例2-5】（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））贵阳一中体育节中，乒乓球球单打12强中有4个种子选手，将这12人平均分成3个组（每组4个人）、则4个种子选手恰好被分在同一组的分法有（

）A．21 B．42 C．35 D．70【答案】C【详解】4个种子选手分在同一组，即剩下的8人平均分成2组，方法有种，故选:C．3、二项式定理【典例3-1】（2022·河南洛阳·模拟预测（理））的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（

）A．540 B．135 C．18 D．1215【答案】B【详解】由题意得，所以，所以展开式的通项，令，得，所以展开式中的常数项为．故选：B．【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习）按降幕排列的展开式中，系数最大的项是（

）A．第项和第项 B．第项C．第项和第项 D．第项【答案】B【详解】因为的展开式通项为，其中第项和第项的二项式系数最大，但第项的系数为正，第项的系数为负，故按降幕排列的展开式中，系数最大的项是第项.故选：B.【典例3-3】（2022·全国·高三专题练习）若的展开式中，某一项的系数为7，则展开式中第三项的系数是（

）A．7 B．21 C．35 D．21或35【答案】B【详解】解：由题意，展开式的通项为，所以某一项的系数为7，即，解得n＝7，r＝