鲁教版七年级数学上册第三章勾股定理3勾股定理的应用举例课件

第三章勾股定理3勾股定理的应用举例基础过关全练知识点1确定几何体上的最短路径问题1.(2023山东青岛即墨月考)某校“光学节”的纪念品是一个

底面为等边三角形的三棱镜(如图).在三棱镜的侧面上,从顶

点A到顶点A'镶有一圈金属丝,已知此三棱镜的高为9cm,底

面边长为4cm,则这圈金属丝的长度至少为

(

)A.8cm

B.10cm

C.12cm

D.15cmD解析将三棱镜的侧面沿AA'展开,如图,

则AA'2=92+(3×4)2=225=152,所以AA'=15cm.故选D.2.(跨学科·体育与健康)(2023山东青岛李沧期末)某滑雪场U

型池的示意图如图,该U型池可以看成是由一个长方体去掉

一个“半圆柱”而成的,中间可供滑行部分的截面是半径为

3的半圆,其边缘AB=CD=16,点E在CD上,CE=4.一名滑雪爱好

者从A点滑到E点时,他滑行的最短路程为

.(π取3)

15解析将可供滑行部分展开,如图.

易知AD=3π=9,∵AB=CD=16,CE=4,∴DE=CD-CE=16-4=12.

在Rt△ADE中,AE2=AD2+DE2=92+122=225,∴AE=15.故他滑行

的最短路程为15.3.(2023山东青岛市北月考)如图所示的是一个长方体透明玻璃鱼缸,其中AB=80cm,高AD=60cm,水深ED=40cm,在鱼缸内水面上紧贴内壁P处有一鱼饵,P在水面线EF上,且EP=60cm.一只小虫想从鱼缸外的D点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁P处吃鱼饵,小虫爬行的最短路线长为

.

100cm解析作点D关于AB的对称点D',连接D'P交AB于点Q,连接

DQ(图略),则小虫沿着D→Q→P的路线爬行时路程最短.因

为AD=60cm,DE=40cm,所以AE=20cm,AD'=60cm,所以D'E

=80cm.在Rt△D'EP中,D'P2=D'E2+EP2=802+602=10000,所以D'P=100

cm,所以DQ+QP=D'Q+QP=D'P=100cm,所以最短路线长为100cm.4.(2024山东泰安肥城期中)如图,一个密封的圆柱形油罐底

面圆的周长是10m,高为13m,上底面边缘C处有食物,一只壁

虎在油罐外侧面,食物相对方向距底面1m的A处,壁虎沿油

罐的外侧面爬行到C处捕食,它爬行的最短路线长为多少?

解析将圆柱形油罐的侧面展开,如图,

由题意可得AD=5m,CD=12m,则AC2=122+52=169,∴AC=13m.答:它爬行的最短路线长为13m.知识点2利用直角三角形的判定条件解决实际问题5.在以下四组长度的三根木条中,刚好能够做成一个直角三

角形教具的是

(

)A.

,

,

B.5,12,13

C.0.4,0.5,0.6

D.1,2,3B解析

A.

≠

+

,不能构成直角三角形;B.52+122=132,能构成直角三角形;C.0.42+0.52≠0.62,不能构成直角三角

形;D.1+2=3,不能构成三角形.故选B.6.(情境题·国防教育)某公安系统坚持“防疫情、反偷渡、打走私、守岸线”的工作思路,大力加强沿海岸线治安防控体系建设,切实筑牢沿海岸线安全屏障,维护辖区安全稳定.如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙两艘轮船同时离开港口P,各自沿固定方向航行,甲、乙两艘轮船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于点A,B处,且相距20海里,如果甲船沿北偏西40°方向航行,则乙船沿

方向航行.北偏东50°解析由题意可知,AP=12海里,BP=16海里,AB=20海里,因为122+162=202,所以AP2+BP2=AB2,所以△APB是直角三角形,∠APB=90°,由题意知∠APN=40°,所以∠BPN=90°-∠APN=50°.

故乙船沿北偏东50°方向航行.7.(新独家原创)如图,实践活动课后,张丽将等腰直角三角形

模具放置在一透明的长方体工具箱内,模具顶点A,B,C分别

落在工具箱内壁上,测得AD=5dm,BE=9dm,则该模具的面积

为

.53dm2解析∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC,∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∵∠ADC=90°,∴∠ACD+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠BCE,在△ADC和△CEB中,

∴△ADC≌△CEB(AAS),∴DC=BE=9dm,∴在Rt△ADC中,AC2=AD2+DC2=52+92=106,∴该模具的面积为

AC·BC=

AC2=

×106=53(dm2).8.(新独家原创)数学社团活动课上,小组测试机器人的动能.

如图,∠AOB=90°,OA=9dm,OB=3dm,一个小球从点A处出

发,沿着AO方向匀速滚向点O,机器人同时从点B出发,沿直线

匀速去拦截小球,恰好在C处截住了小球,如果小球与机器人

的速度相同,均为1cm/s,则机器人行走的时间为

s.

50解析设BC=xdm,由题意知,BC=AC=xdm,则OC=(9-x)dm,在Rt△BOC中,由勾股定理得OB2+OC2=BC2,即32+(9-x)2=x2,解得x=5,∴BC=5dm=50cm,50÷1=50s,∴机器人行走的时间为50s.9.(2024山东淄博高新实验中学期中)某校将宣传牌(AB)放置

在教室的黑板上面(如图所示).在某次数学活动中小明搬来

一架梯子(AE=5米)使其顶端靠在宣传牌的A处,底端落在地

板E处,然后移动梯子使其顶端落在宣传牌的B处,此时底端E

向外移动了1米到达C处.已知AM⊥CM,点B,E分别在线段

AM,CM上,测得BM=3米.求宣传牌的高度.

解析

由题意可得AE=BC=5米,BM=3米,EC=1米,在Rt△MBC中,MC2=BC2-BM2=52-32=16,所以MC=4米,所以EM=4-1=3(米),在Rt△AEM中,AM2=52-32=16,∴AM=4米,所以AB=AM-BM=4-3=1(米).答:宣传牌的高度为1米.能力提升全练10.(新考法)(2024山东济南槐荫期末,8,★★☆)某数学兴趣小

组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图,当张

角为∠BAF时,顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm,此时底

部边缘A处与C处间的距离AC为24cm,小组成员调整张角的

大小继续探究,最后发现当张角为∠DAF时(D是B的对应点),

顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm,则底部边缘A处与E

处之间的距离AE为

(

)A

A.15cm

B.18cm

C.21cm

D.24cm解析

依题意得AC=24cm,BC=7cm,在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=242+72=625,所以AB=25cm,所以AD=AB=25cm,因为DE=20cm,所以在Rt△ADE中,AE2=AD2-DE2=252-202=225,所以AE=15cm.故选A.11.(2022山东烟台龙口期中,11,★★☆)如图,长方体的长,宽,

高分别是6,3,5,现有一只蚂蚁从A点爬行到B点,设爬行的最

短路线长为a,则a2的值是

(

)

A.130

B.106

C.100

D.86C解析

(1)把长方体的前面和上面展开在同一平面,如图1,连

接AB,则AB2=62+(5+3)2=100;(2)把长方体的左面和上面展开在同一平面,如图2,连接AB,

则AB2=32+(5+6)2=130;(3)把长方体的前面和右面展开在同一平面,如图3,连接AB,

则AB2=(6+3)2+52=106.因为100<106<130,所以a2=100.故选C.

图1图2图3方法归纳求空间几何体表面的最短距离问题,通常可将几

何体表面展开,把立体图形问题转化为平面图形问题,由于展

开方式不同,求得的距离也可能不一样.12.(2023四川广安中考,15,★☆☆)如图,圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B处,则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为

cm.(杯壁厚度不计)

10解析如图,将玻璃杯侧面展开(展开图的一半),作B关于EF

的对称点B',作B'D⊥AE,交AE的延长线于点D,连接AB',由题意得DE=

BB'=1cm,AE=9-4=5cm,∴AD=AE+DE=6cm,∵底面周长为16cm,∴B'D=

×16=8cm,∵AB'2=AD2+B'D2=62+82=100,∴AB'=10cm,∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB'=10cm.故答案为10.13.(情境题·数学文化)(2024山东泰安泰山期中,25,★★☆)

《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一,书中在“勾

股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末

折抵地,去本三尺,问折者高几何?”译成数学问题:如图所示,

在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=1丈,BC=3尺,求AC的长.(说

明:1丈=10尺)解析设AC=x尺,∵AC+AB=10尺,∴AB=(10-x)尺.∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10-x)2.解得x=4.55,即AC的长为4.55尺.方法归纳本题考查的是勾股定理的应用,在应用勾股定理

解决实际问题时,常用的方法是将勾股定理与方程相结合,解

题关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,利用数形结

合思想画出示意图.素养探究全练14.(应用意识)某市进行老城区道路改造,原来从小明家A到

商场F需要沿着A→B→C→D→E→F连续多次直角拐弯行

进,出行十分麻烦(数据如图所示,单位:米),道路改造后从小

明家A可以直达商场F.求从小明家A到商场F的路程比原来

缩短了多少米.解析如图所示,过点A作AH⊥EF于H,在Rt△AHF中,AH=40

+40=80(米),FH=70-20+10=60(米),由勾股定理得AF=100米,

故改造后从小明家A到商场F的路程为100米,改造前从小明家A到商场F的路程为10+40+20+40+70=180(米),180-100=80(米).

答:从小明家A到商场F的路程比原来缩短了80米.15.(模型观念)如图,台风中心从点B沿射线BC方向以15km/h

的速度向点D移动,已知A、B两点之间的距离为130km,点A

到BC的距离AD=50km,那么台风中心经过多长时间从点B移

动到点D?如果在距台风中心30km的圆形区域内有遭遇台

风的危险,正在点D处休闲的游人在接到台风警报后的几小

时内撤离才可脱离危险?(台风