工程力学 第5版 课件 第10章 直梁的弯曲

第十章直梁的弯曲直梁的弯曲是杆件横截面上应力呈线性分布的另一种基本变形，本章将讨论直梁弯曲变形时梁的内力(剪力、弯矩)、强度与刚度问题。第十章直梁的弯曲10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)10.2梁弯曲时的强度计算10.3梁的刚度计算10.4提高梁强度和刚度的措施第十章直梁的弯曲10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)第十章直梁的弯曲10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)

杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲（bending）。主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。栋梁（屋顶最高处的水平木梁，支承着椽子的上端）之才10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)平面弯曲的概念

当杆件承受垂直于其轴线的外力，或在过其轴线的平面内作用有外力偶时，杆的轴线将变为曲线，这种变形称为弯曲。平面弯曲梁轴线纵向对称面变形后，梁的轴线弯成外载荷作用平面内的平面曲线。10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)梁的计算简图及分类支座的简化固定铰支座可动铰支座10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)梁的计算简图及分类支座的简化固定铰支座可动铰支座固定端约束问题：这些约束上有哪些约束反力(偶)？10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)梁的计算简图及分类梁的类型简支梁外伸梁悬臂梁10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)梁的计算简图及分类静定梁和超静定梁

支座约束反力均可由静平衡条件完全确定，称静定梁。

梁的约束反力数目多于静力平衡方程数目，约束反力不能完全由静力平衡方程确定，这种梁称为超静定梁或静不定梁10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)梁的计算简图及分类

桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布载荷q)的作用下,大梁将发生弯曲。10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)梁的计算简图及分类

石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)梁的内力计算如图所示简支梁，求任意截面处的内力可求约束反力利用截面法求内力FQ

剪力

与横截面相切的分布内力系的合力M

弯矩

与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)梁的内力计算剪力方程和弯矩方程

一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置而变化，若以横座标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为x的函数(分段函数)。剪力方程弯矩方程

依照剪力方程和弯矩方程绘制的内力曲线图(x轴-横截面位置，y轴-剪力弯矩)称为剪力图和弯矩图。10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)梁的内力计算凡剪力对所取梁内任一点的力矩顺时针转向的为正，反之为负；凡弯矩使所取梁段产生上凹下凸变形的为正，反之为负。10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)梁的内力计算【例题】

如图所示简支梁，AC段受均布载荷q作用，支座B内侧受力偶Me=ql2作用，求截面D-D、E-E上的剪力和弯矩，其中截面E-E无限接近于右端支座但位于集中力偶作用处的左侧。10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)梁的内力计算【解答】(1)求约束力(过程略)(2)求截面D-D上的内力(3)求截面E-E上的内力10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)梁的内力计算【注释】(1)力矩平衡方程中未写下标表示默认向横截面形心取矩。(2)梁任一横截面上的剪力，数值上等于该截面左边(或右边)梁上所有外力的代数和。截面左边梁上向上的外力(或截面右边梁上向下的外力)引起的剪力为正，反之为负。(3)梁任一横截面上的弯矩，数值上等于该截面左边(或右边)梁上所有外力对该截面形心C之矩的代数和。截面左边梁上的外力和外力偶对该截面形心C之矩为顺时针(或截面右边梁的外力和外力偶对该截面形心C之矩为逆时针)转向的为正，反之为负。10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)梁的内力计算

AB段上无外载，剪力不变，剪力图为水平直线。集中力作用处，剪力图沿集中力方向突变集中力值。10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)梁的内力计算

AB段上作用均布载荷，剪力图表现为线性渐变。在集中力偶Me作用两侧，剪力图不变化，弯矩图突变集中力偶值；10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)弯矩、剪力与载荷集度间的关系

由于载荷的不同，梁的剪力和弯矩图也不同。

图中FQ=0的截面上，弯矩有极值，其他的例子中也总结了一些规律，这都说明载荷、剪力、弯矩之间存在着一定的关系；

找到这些关系，对我们方便快速地画出剪力弯矩图具有很大的益处。10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)弯矩、剪力与载荷集度间的关系如图所示受任意载荷的直梁建立坐标系取其中一微段dxq(x)为连续函数，规定向上为正将该微段取出，加以受力分析10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)弯矩、剪力与载荷集度间的关系由（1）式可得:（2）式中略去高阶微量注意在集中力和集中力偶作用处微分关系不成立10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)弯矩、剪力与载荷集度间的关系剪力图上某点的斜率等于分布载荷的数值弯矩图上某点的斜率等于剪力的数值10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)弯矩、剪力与载荷集度间的关系在剪力图无突变(无集中力作用)的某段梁上，有在弯矩图无突变(无集中外力偶作用)的某段梁上，有上述积分关系有时可简化控制截面的内力计算。q图的面积FQ图的面积10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)弯矩、剪力与载荷集度间的关系若q(x)为常数，则可根据这些关系得到如下表格10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)弯矩、剪力与载荷集度间的关系忽略高阶微量忽略高阶微量在有集中力F

作用处两侧截面上剪力值突变F在有集中力偶M作用处两侧横截面上弯矩值突变Me若梁上某处既有集中力，又有集中力偶，则该截面剪力突变，弯矩突变10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)弯矩、剪力与载荷集度间的关系【例题】

如图所示，不列剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图（已知均布载荷q=3kN/m,集中力偶M=3kN·m）10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)弯矩、剪力与载荷集度间的关系(1)计算约束力q=3kN/m,M=3kN·m(2)画出剪力图集中力突变均布载荷线性渐变10.1弯曲内力图(剪力图与弯矩图)(3)画出弯矩图根据微分关系列表(熟练后可省略)

由于剪力值均为负，且AC段无集中力偶，故AC段任一截面上弯矩不可能大于0

剪力为0处弯矩极值，按照几何关系求出剪力为0的位置E注意此处MD为D截面左侧的弯矩与铰支座弯矩为0相符10.2梁弯曲时的强度计算第十章直梁的弯曲10.2梁弯曲时的强度计算纯弯曲AC、DB段既有剪力又有弯矩，横截面上同时存在正应力和切应力，这种情况称为横力弯曲(TransverseBending)CD段只有弯矩，横截面上就只有正应力而无切应力，这种情况称为纯弯曲(PureBending)10.2梁弯曲时的强度计算纯弯曲纯弯曲的实验观察10.2梁弯曲时的强度计算纯弯曲纯弯曲的实验观察10.2梁弯曲时的强度计算实验观察与假设现象1)纵向线弯曲成圆弧线，其纵向线间距不变。2)横向线仍为直线，且与纵向线正交，横向线间相对地转过了一个微小的角度。假设1)梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴转过了一个微小的角度。2)设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于单向受拉或单向受压状态。10.2梁弯曲时的强度计算实验观察与假设变形前变形后

由于弯曲的作用，上部纤维缩短，下部纤维伸长。

中间必有一层保持原长，这一层称为:中性层(Neutrosphere)10.2梁弯曲时的强度计算实验观察与假设cc是中性层和横截面的交线，称为中性轴(Neutralaxis)

除平面假设外，我们还假设纵向纤维之间无挤压，即纵向纤维间无正应力。10.2梁弯曲时的强度计算弯曲正应力的计算正应力的分布1)中性轴由于既不伸长，也不缩短，所以其上各点的线应变为零，正应力亦为零。2)距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也相等。3)在正弯矩作用下，中性轴上部各点正应力为负值，中性轴下部各点正应力为正值。说明中性轴上部受压，下部受拉。4)根据平截面假设，以及实验现象可以推出正应力沿y

轴线性分布，即s(y)=Ky，K为待定常数，如图所示。10.2梁弯曲时的强度计算弯曲正应力的计算正应力的计算纯弯曲情况下：定义截面对z轴的静矩表明：中性轴z必然通过截面的形心10.2梁弯曲时的强度计算弯曲正应力的计算正应力的计算定义截面对z轴的惯性矩10.2梁弯曲时的强度计算弯曲正应力的计算

由公式可知，某一截面的最大正应力发生在距离中性轴最远处。Wz

抗弯截面系数/弯曲截面系数单位m310.2梁弯曲时的强度计算弯曲正应力的计算

工程中实际的梁大多发生横力弯曲，横截面由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不成立。

但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比l/h大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%，

故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，10.2梁弯曲时的强度计算惯性矩与抗弯截面系数

设任意形状平面图形如图所示。其图形面积为A，任取微面积dA，则积分

分别称为平面图形对轴y与轴z

的惯性矩或二次矩（Momentofinertia）。惯性矩

Iy和Iz

恒为正，其量纲为长度的四次方。

iy和iz分别称为平面图形对轴y和轴z

的惯性半径（Radiusofinertia）。惯性半径的量纲为长度。10.2梁弯曲时的强度计算惯性矩与抗弯截面系数求实心和空心圆对形心轴的惯性矩和抗弯截面系数。(1)实心圆极惯性矩抗弯截面系数10.2梁弯曲时的强度计算惯性矩与抗弯截面系数(2)空心圆惯性矩抗弯截面系数10.2梁弯曲时的强度计算惯性矩与抗弯截面系数求矩形图形对形心轴的惯性矩。

微面积取宽为dy

，高为h且平行于轴z的狭长矩形，即

矩形图形对轴z的惯性矩为

矩形图形对轴z的抗弯截面系数10.2梁弯曲时的强度计算惯性矩与抗弯截面系数对于由规则的矩形截面构成的组合截面，应当首先确定其形心、形心轴的位置，然后通过平行移轴公式计算截面对形心轴的惯性矩。即其中IzC是对图形形心轴的惯性矩，d是平行于形心轴z和形心轴zC之间的距离。显然截面对形心轴的惯性矩最小。10.2梁弯曲时的强度计算惯性矩与抗弯截面系数【例题】求图示T

形截面图形对其形心轴

zC的惯性矩IzC。10.2梁弯曲时的强度计算惯性矩与抗弯截面系数【求解】10.2梁弯曲时的强度计算弯曲切应力简介横力弯曲矩形截面梁横截面的切应力儒拉夫斯基假设1）截面上任意一点的切应力

t的方向和该截面上的剪力FQ的方向平行。2）切应力沿宽度均匀分布，即t的大小只与距离中性轴的距离有关。10.2梁弯曲时的强度计算弯曲切应力简介整个横截面上的剪力整个截面对中性轴的惯性矩梁横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩的绝对值所求切应力点的位置的梁截面宽度。10.2梁弯曲时的强度计算弯曲切应力简介对于矩形截面梁，取公式改写为在截面的两端，y=±h/2在中性层，y=010.2梁弯曲时的强度计算梁的强度计算在进行梁的强度计算时，首先要确定梁的危险截面以及危险截面上的危险点。对于等截面细长直梁，其危险截面在弯矩最大的截面，而危险截面上的边缘是最大正应力所在的位置。无论是横力弯曲还是纯弯曲，距离中性轴最远处的点只有正应力而无切应力，因此正应力强度条件可写为式中[s]是弯曲许用正应力，作为近似，可取为材料在轴向拉压时的许用正应力。10.2梁弯曲时的强度计算梁的强度计算对于横力弯曲梁，在支座附近容易形成比较大的剪力，这种情况下有时需要考虑切应力强度，即对于变截面梁、材料的许用拉应力和许用压应力不相等（如铸铁等脆性材料）、中性轴不是截面的对称轴等情况，则需要综合分析内力和截面几何性质，分析梁上可能的危险截面和危险点进行强度计算。10.2梁弯曲时的强度计算梁的强度计算在设计梁的截面时，通常先按照正应力强度条件计算，必要时再进行切应力强度校核。根据强度条件，我们可以验算梁的强度是否满足条件，判断梁的工作是否安全，即对梁进行强度校核；根据梁的最大载荷和材料的许用应力，确定梁横截面的尺寸和形状，或选用合适的标准型钢，即对梁进行截面设计；根据梁截面的形状和尺寸以及许用应力，确定梁可承受的最大弯矩，再由弯矩和载荷的关系确定梁的许用载荷，即许可载荷的确定。10.2梁弯曲时的强度计算梁的强度计算【例题】如图所示的吊车梁，用32c工字钢制成，将其简化为一简支梁的力学模型。梁长l=10m，吊车梁及其所有附件自重不计。若最大起重载荷为F=35kN，梁许用应力为[s]=130MPa，校核梁的强度。10.2梁弯曲时的强度计算梁的强度计算【求解】1)求最大弯矩。2)校核梁的强度，32c工字钢的抗弯截面系数该梁满足强度要求。10.2梁弯曲时的强度计算梁的强度计算

如图所示一槽型截面铸铁梁的载荷和截面尺寸，铸铁的抗拉许用应力[st]=30MPa，抗压许用应力[sc]=120MPa。已知F1=32kN，F2=12kN。试校核该梁的强度。【例题】10.2梁弯曲时的强度计算梁的强度计算【求解】

对铸铁这样的抗压和抗拉强度不一样的材料，截面中性轴又不在对称轴上，同一截面的最大拉应力和最大压应力不相等，计算最大应力时应分清抗拉和抗压强度校核。10.2梁弯曲时的强度计算梁的强度计算【求解】(1)计算约束力，画弯矩图F1=32kN，F2=12kN10.2梁弯曲时的强度计算梁的强度计算【求解】(2)计算截面几何性质求形心C

的位置（负面积法）横截面的惯性矩(注意平行移轴公式)10.2梁弯曲时的强度计算梁的强度计算【求解】(3)对截面B弯矩负值，上侧受拉10.2梁弯曲时的强度计算梁的强度计算【求解】(4)对截面C弯矩正值，下侧受拉10.2梁弯曲时的强度计算梁的强度计算【求解】全梁的最大拉应力位于截面C

下边缘全梁的最大压应力位于截面B

下边缘该梁满足强度条件10.2梁弯曲时的强度计算梁的强度计算讨论截面C的弯矩不是最大对于铸铁这样的抗拉强度和抗压强度不一样的材料:但全梁的最大拉应力却发生在截面C的下边缘。

若中性轴不是对称轴，须确定梁的最大正弯矩和最大负弯矩，分别进行强度校核，而不是仅确定一个危险截面。10.2梁弯曲时的强度计算梁的强度计算【例题】

如图所示矩形截面悬臂梁，承受集度为q的均布载荷作用，求梁内最大正应力和最大切应力之比。10.2梁弯曲时的强度计算梁的强度计算【求解】

由内力分析，梁的最大剪力和最大弯矩位于固定端截面梁最大弯曲正应力10.2梁弯曲时的强度计算梁的强度计算【求解】梁最大弯曲切应力梁内最大正应力和最大切应力之比

由此可见，当梁的跨度l远大于其截面高度h时，梁的最大弯曲正应力远大于最大弯曲切应力。10.3梁的刚度计算第十章直梁的弯曲10.3梁的刚度计算梁的弯曲变形概述梁在受到载荷作用后会发生变形，微小的弹性变形一般不影响梁的正常工作，但变形过大显然会影响机器的正常运行。如齿轮轴变形过大，会使齿轮不能正常啮合，产生振动和噪声；机械加工中刀杆或工件的变形，将导致较大的制造误差；起重机横梁的变形过大，可能导致吊车移动困难。因此除了要满足强度条件外，还要将梁的变形限制在一定范围内，使其满足刚度条件。特殊情况下，有些梁要有较大的或合适的弯曲变形才能满足工作要求，如金属切削工艺实验中使用的悬臂梁式车削测力仪及车辆上使用的隔振板簧等。10.3梁的刚度计算梁的弯曲变形概述取变形前的梁轴线为轴x，垂直向上的轴为轴y平面xy为梁的纵向对称面

对称弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为平面xy内的一条曲线，称为挠曲线。横截面形心在y方向的位移挠度

w横截面对其原来位置转过的角度

转角q10.3梁的刚度计算梁的弯曲变形概述规定挠度y向上为正，转角q逆时针为正。挠曲线方程截面转角

q

就是轴

y

与挠曲线法线的夹角，小变形条件下转角方程10.3梁的刚度计算梁的刚度条件

对于有刚度要求的梁，需要限制其最大挠度或最大转角在许可范围内，故刚度条件为或许用挠度许用转角可根据工作要求或参照有关手册确定。

10.3梁的刚度计算积分法求梁的变形

挠曲线近似微分方程弯矩与曲率的关系：平面曲线的曲率数学计算：10.3梁的刚度计算积分法求梁的变形

挠曲线近似微分方程小变形条件下，挠曲线近似微分方程10.3梁的刚度计算积分法求梁的变形

积分法求解梁的变形梁的挠曲线近似微分方程对上式进行一次积分,可得到转角方程再进行一次积分,可得到挠曲线方程C和D是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确定其值。10.3梁的刚度计算积分法求梁的变形

积分法求解梁的变形边界条件

根据约束的性质，确定约束处的挠度，转角10.3梁的刚度计算积分法求梁的变形

积分法求解梁的变形连续条件

在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等(挠曲线是光滑连续曲线)。若梁分为n段积分，则要出现2n个待定常数，总可找到2n个相应的边界条件或连续条件将其确定。10.3梁的刚度计算积分法求梁的变形

积分法求解梁的变形【例题】等直悬臂梁受均布载荷q的作用，建立该梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端B的转角qB和挠度yB。梁的抗弯刚度EI为常数。10.3梁的刚度计算积分法求梁的变形

积分法求解梁的变形【求解】(1)弯矩方程(2)挠曲线近似微分方程(3)积分(b)10.3梁的刚度计算积分法求梁的变形

积分法求解梁的变形【求解】(b)(4)确定积分常数。由边界条件，固定端A处代入转角方程和挠度方程，经计算:(5)列出转角方程和挠曲线方程10.3梁的刚度计算积分法求梁的变形

积分法求解梁的变形【求解】(b)在自由端B，x=l代入方程得10.3梁的刚度计算积分法求梁的变形

积分法求解梁的变形【例题】

弯曲刚度为EI的简支梁如图所示，在截面C处受一集中力F作用。求梁的挠度方程和转角方程，并确定其最大挠度。10.3梁的刚度计算积分法求梁的变形（1）求约束反力FAFB（2）列出弯矩方程AC段CB段（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算10.3梁的刚度计算积分法求梁的变形（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算AC段CB段FAFB10.3梁的刚度计算积分法求梁的变形FAFB利用边界条件和连续条件确定四个积分常数AC段CB段边界条件:连续条件:代入以上各式

求得积分常数10.3梁的刚度计算积分法求梁的变形FAFBAC段CB段求最大挠度最大挠度位于此时代入得10.3梁的刚度计算积分法求梁的变形讨论FAFB(1)在CB段内积分时，对含有(x2－a)的项不展开，以(x2－a)为自变量进行积分，可使确定积分常数的工作得到简化。(2)结果为负，表示挠度方向向下。10.3梁的刚度计算积分法求梁的变形FAFB(3)跨中挠度若若集中力作用于跨中，则若取极端情形，力F接近于右端支座b0y0此时而跨中挠度若用跨度中点挠度代替最大挠度，引起的误差仅为2.6%

10.3梁的刚度计算叠加法求梁的变形

在杆件符合线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法。

在很多的工程计算手册(教材表10-2)中，已将各种支承条件下的静定梁在各种典型的简单载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，称为挠度表。实际工程计算中，往往只需要计算梁在几个载荷作用下的最大挠度和最大转角，或某些特殊截面的挠度和转角，此时用叠加法较为简便。10.3梁的刚度计算叠加法求梁的变形

如图所示起重机大梁的自重为均布载荷，集度为q，集中力F=ql

作用于梁的跨度中点C。已知弯曲刚度EI，求跨度中点C的挠度。10.3梁的刚度计算叠加法求梁的变形=+=+10.3梁的刚度计算简单超静定梁如图所示，求固定端的约束力平面一般力系，通过静力学平衡方程可以解出全部的三个约束反力。若在C处增加一个约束则无法仅通过静力学平衡方程求出全部的四个未知力。静定梁超静定梁10.3梁的刚度计算简单超静定梁

比较上下两图，下面的图中是在上面的图中增加了一个约束。在静定结构上增加的约束，称为多余约束。相应的反力称为多余约束力。

多余约束并不“多余”，通过增加多余约束，可提高安全度，减少变形。

超静定次数等于多余约束力的个数。一次超静定梁去除B处的多余约束，代以约束力FB原超静定结构的相当系统此超静定梁的变形协调条件按照叠加法求得

求出FB后，截面A的