工程力学 第5版 课件 第9章 圆轴的扭转

第九章圆轴的扭转自本章起，开始涉及杆件横截面上应力非均布的变形状态，本章介绍圆截面轴受到扭转作用下的内力、应力和变形，给出扭转变形强度与刚度的计算与校核方法。第九章圆轴的扭转9.1扭转的概念扭矩与扭矩图9.2圆轴扭转时的应力与强度计算9.3圆轴扭转时的变形与刚度计算第九章圆轴的扭转9.1扭转的概念扭矩与扭矩图第九章圆轴的扭转9.1扭转的概念扭矩与扭矩图

杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。以扭转为主要变形的杆件称为轴。

当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转。9.1扭转的概念扭矩与扭矩图9.1扭转的概念扭矩与扭矩图三峡水轮发电机主轴是三峡地下电站单机70万千瓦发电机与水轮机连轴的关键部件。主轴直径达4.1米，长6.3米，壁厚116毫米，重达117吨；水轮机和发电机要通过主轴连接才能发电，对轴线的精度要求特别严，要求径向和端面跳动要小于0.05毫米。其尺寸之大和质量要求之高，在世界水电设备制造史上都属空前。9.1扭转的概念扭矩与扭矩图北宋《武经总要》（1040年）“绞车，合大木为床，前建二叉手，柱上为绞车，下施四卑轮，皆极壮大，力可挽二千斤。”我国最早的绞车实物（残件）发掘于江西铜绿山一座战国晚期的矿井遗址，它也是世界上最早的绞车实物。

《武经总要》绞车图9.1扭转的概念扭矩与扭矩图外力偶矩的计算制动器为什么装在高速轴上？1-电动机2-带制动轮的联轴器3-减速器；4-开式齿轮5-行程限制器6-卷筒组7-荷载限制器8-吊具9-制动器固定卷扬式启闭机卷扬机构9.1扭转的概念扭矩与扭矩图外力偶矩的计算

工程中作用于轴上的外力偶矩Me往往不是直接给出的，而是根据轴所传递的功率P(kW)和轴的转速n(r/min)计算获得。9.1扭转的概念扭矩与扭矩图扭矩和扭矩图受扭构件的内力矩(扭矩)如何？截面法

由被截下部分的静力平衡(匀速转动)，横截面上必有内力矩(扭矩)T

根据右手定则确定力偶矩矢的方向力偶旋转方向力偶矩矢方向9.1扭转的概念扭矩与扭矩图扭矩和扭矩图扭矩的正负号规定力偶旋转方向力偶矩矢方向

按照右手螺旋法则，扭矩矢量的指向与截面外法线方向一致为正，反之为负。截面扭矩矢量n截面外法线9.1扭转的概念扭矩与扭矩图扭矩和扭矩图扭矩的计算及扭矩图的绘制1、计算各外力偶矩的大小（已知功率和转速）；2、将各外力矩采用右手螺旋定则绘出外力偶矩矢；3、取各控制截面，预设扭矩矢（内力矩矢）为正方向，列平衡方程，计算扭矩矢的大小；4、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出扭矩图。9.1扭转的概念扭矩与扭矩图扭矩和扭矩图【例题】

如图所示一传动系统，A为主动轮，B、C、D为从动轮。各轮的功率：PA=60kW，PB=25kW，PC=25kW，PD=10kW，轴的转速n=300r/min。画出轴的扭矩图。9.1扭转的概念扭矩与扭矩图扭矩和扭矩图(1)求外力偶矩9.1扭转的概念扭矩与扭矩图扭矩和扭矩图(2)求各段上的扭矩将外力偶画成力偶矩矢的形式取3个截面计算扭矩矢量方程:投影方程:矢量方程:投影方程:9.1扭转的概念扭矩与扭矩图取BAC:矢量方程:投影方程:取D(C):矢量方程:投影方程:(沿外法线n方向)取截面的左、右部得到的结果绝对值相等，正负号相同。9.1扭转的概念扭矩与扭矩图(3)画扭矩图扭矩和扭矩图9.1扭转的概念扭矩与扭矩图扭矩和扭矩图讨论：若将从动轮B和主动轮A交换位置，会发生何种变化，对轴的设计会产生何种影响？9.2圆轴扭转时的应力与强度计算第九章圆轴的扭转9.2圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转时的应力(1)所有纵向线仍近似为直线，但都倾斜了同一角度g，变形前圆轴表面上的小矩形，变形后错动成菱形。(2)所有圆周线都相对地绕轴线转过了不同角度，且圆周线的长度、形状及其相互之间的距离均保持不变。9.2圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转时的应力平面假设:变形后，横截面仍保持平面，其形状、大小与横截面间的距离均不改变，且半径仍为直线。圆轴扭转时，各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。9.2圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转时的应力由平截面假设，通过几何关系可以推知圆轴扭转时，其横截面上各点的切应变与该点至截面形心的距离成正比。由剪切胡克定律可知，横截面上各点必有切应力存在，且垂直于半径呈线性分布，如图所示其中K是暂定的比例系数，r

是所求的点至轴心的距离。9.2圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转时的应力静力学关系：定义为截面的极惯性矩9.2圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转时的应力适应条件等直圆（环）截面杆；横截面上的最大切应力小于剪切比例极限t(r)：距轴心r处点的切应力。计算单位：Pa；MPaT：扭矩。计算单位：N·m；

N·mmIp：横截面的极惯性矩。计算单位：m4；mm4r：所求切应力点到圆心的距离。计算单位：m；mm9.2圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转时的应力最大切应力轴(圆)心处r

=0

t=0外表面r

=r

max

t

=t

max取Wp∶扭转截面系数，单位mm3m3切应力分布：9.2圆轴扭转时的应力与强度计算圆与空心圆截面的极惯性矩与抗扭截面系数9.2圆轴扭转时的应力与强度计算圆与空心圆截面的极惯性矩与抗扭截面系数空心圆截面:9.2圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转的强度计算强度条件：塑性材料：脆性材料：强度设计问题：校核强度、设计直径、确定许可载荷9.2圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转的强度计算受扭圆轴的最大切应力发生在截面的外周边各点处。为了使圆轴能够正常工作，必须使轴上的最大切应力不超过材料的许用应力。设在轴向x位置的截面，其上的扭矩为T(x)，其抗扭截面系数为Wp(x)，则要求9.2圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转的强度计算【例题】阶梯轴如图所示，M1=5kN·m，M2=3.2kN·m，M3=1.8kN·m，材料的许用切应力[t]=60MPa。校核该轴的强度。9.2圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转的强度计算【例题】画出扭矩图

AB段

BC段9.2圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转的强度计算【例题】画出扭矩图轴的强度不能满足要求。9.2圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转的强度计算【例题】

实心圆轴和空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递功率，如图所示。已知轴匀速转动，转速n=100r/min，传递的功率

P=7.5kW。若两传动轴横截面上的最大切应力均等于40MPa，并且已知空心轴的内外径之比a=0.5，试确定实心轴的直径与空心轴的外径。9.2圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转的强度计算(1)计算扭矩(2)根据切应力计算直径实心轴9.2圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转的强度计算空心轴(3)实心和空心轴的横截面面积之比轴长度相同，承受扭矩相同，则在最大切应力相同的情况下，实心轴要使用更多的材料。思考：若a=0.9，则空心轴的外径为多少？空心轴和实心轴的材料用量比为多少？由此可以得到什么结论？9.3圆轴扭转时的变形与刚度计算第九章圆轴的扭转9.3圆轴扭转时的变形与刚度计算圆轴扭转变形计算公式单位长度相对扭转角B截面相对于A截面的扭转角9.3圆轴扭转时的变形与刚度计算圆轴扭转变形计算公式多段不同扭矩，材料不同，截面直径不同：9.3圆轴扭转时的变形与刚度计算单位长度扭转角

用来表示扭转变形的大小单位长度扭转角的单位:rad/m抗扭刚度转换为(°/m)9.3圆轴扭转时的变形与刚度计算圆轴扭转时的刚度设计对于主要承受扭转的圆轴，刚度设计主要是使轴上最大单位长度扭转角满足扭转刚度设计准则。精密机械轴：许用单位长度扭转角一般传动轴：9.3圆轴扭转时的变形与刚度计算【例题】图示钢轴，所受的扭转外力偶矩和尺寸分别为：轴的许用切应力和许用单位长度扭转角分别为，根据强度和刚度条件设计轴的直径尺寸。9.3圆轴扭转时的变形与刚度计算画扭矩图按照强度条件设计直径9.3圆轴扭转时的变形与刚度计算按照刚度条件设计直径9.3圆轴扭转时的变形与刚度计算综合强度刚度条件设计直径取设计直径9.3圆轴扭转时的变形与刚度计算【例题】

如图所示钻杆横截面直径为20mm，在旋转时BC段受均匀分布的扭力矩m的作用。已知使其转动的外力偶矩Me=120N·m，材料的切变模量G=80GPa，求钻杆两端的相对扭转角。9.3圆轴扭转时的变形与刚度计算解(1)求各段扭矩由截面法，BC任一截面上的扭矩(2)求相对扭转角AB段