工程力学 第5版 课件 第13章 压杆稳定

第十三章压杆稳定稳定性问题同样是工程力学中需要研究的重要问题之一。本章针对轴心受压杆件，讨论其临界载荷的分析和计算方法，进而讨论压杆稳定性校核、提高稳定性的方法和措施。第十三章压杆稳定13.1压杆稳定的概念13.2细长杆的临界力13.3临界应力欧拉公式的适用范围13.4压杆的稳定性校核提高杆件稳定性的措施第十三章压杆稳定13.1压杆稳定的概念第十三章压杆稳定13.1压杆稳定的概念

引例受拉受压等截面拉压杆强度条件:13.1压杆稳定的概念

加拿大魁北克大桥1900-1907第一次设计制造1907.8.29下弦杆失稳垮塌源于简单计算错误1916.9.11支点悬孔脱落再次酿成事故13.1压杆稳定的概念

1922年，加拿大七大工程学院出资将倒塌过程中的所有残骸一并买下，决定把这些钢条打造成一枚枚戒指，发给之后的工程学院毕业生-“工程师之戒”。13.1压杆稳定的概念

问题探究一根宽20mm，厚1mm，长500mm的钢板条，设其材料的许用应力[s]=120MPa，能够承受多大的轴向压力？这个结论合理吗？13.1压杆稳定的概念

在工程中有些构件虽然具有足够的强度，却不一定能安全可靠地工作。稳定性问题

构件或零部件在某些受力形式(例如轴向压力)下其平衡形式不会发生突然转变的能力称为稳定性。13.1压杆稳定的概念

稳定平衡

随遇平衡

不稳定平衡（临界状态）13.1压杆稳定的概念

理想压杆:材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用13.1压杆稳定的概念

压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为丧失稳定，简称失稳，也称为屈曲。

当压杆的材料、尺寸和约束情况已经确定时，临界压力是一个确定的值。因此可以根据杆件的实际工作压力是否大于临界压力来判断压杆是稳定还是不稳定。解决压杆稳定的关键问题是确定临界压力。13.1压杆稳定的概念

压杆失稳后，压力的微小增加将引起弯曲变形的显著增大，从而使杆件丧失承载能力。因失稳造成的失效，可能导致整个结构或机器的破坏。细长压杆失稳时，应力并不一定很高，有时甚至低于比例极限。可见这种形式的失效，并非强度不足，而是稳定性不够。13.2细长杆的临界压力第十三章压杆稳定13.2细长杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界载荷设细长理想压杆两端为球铰支座，如图所示。设距原点为x的任意截面n-n

的挠度为y

，则弯矩挠曲线的近似微分方程式中I为压杆横截面的最小惯性矩令二阶常系数齐次微分方程13.2细长杆的临界压力微分方程二阶常系数齐次微分方程的通解式中A，B为积分常数，由边界条件确定

两端铰支细长压杆的临界载荷13.2细长杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界载荷边界条件

若A=0(TrivialSolution)，直线状态下的平衡13.2细长杆的临界压力n=0(TrivialSolution)

无载荷n=1A代表中点的挠度，可以是任意值-随遇平衡-临界载荷13.2细长杆的临界压力n=1

两端铰支细长压杆临界力

Fcr

的计算公式，也称为欧拉公式欧拉在1744年出版的变分法专著中，曾得到细长压杆失稳后弹性曲线的精确描述及压曲载荷的计算公式13.2细长杆的临界压力其他支座下细长压杆的临界载荷

不同的杆端约束，压杆受到的约束程度不同，杆的抗弯能力也就不同，所以临界力的表达式也不同两端固定的压杆的临界压力为:一端铰支另一端固定的压杆的临界压力为:两端铰支的压杆的临界压力为:一端固定，一端自由的压杆的临界压力:13.2细长杆的临界压力其他支座下细长压杆的临界载荷典型理想约束条件下细长等截面中心受压直杆临界力的欧拉公式CD挠曲线拐点13.2细长杆的临界压力

实际问题中压杆的约束还可能有其他情况，可用不同的长度因数

m

来反映，这些长度因数的值可从相关设计手册或规范中查到。

应当注意，细长压杆临界力的欧拉公式中，I是横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩。

若杆端在各个方向的约束情况都相同(如球形铰等)，则

I

应取最小的形心主惯性矩。

若杆端在不同方向的约束情况不同(如柱形铰)，则

I

应按计算的挠曲方向选取横截面对其相应中性轴的惯性矩。13.2细长杆的临界压力思考

推导下端固定，上端自由，并在自由端受轴向压力作用的等直细长压杆临界力Fcr的欧拉公式。提示：由力

F所引起杆的任意横截面x上的弯矩挠曲线微分方程：13.2细长杆的临界压力例题

两端球铰铰支压杆，长l=1.2m，材料为Q235钢，弹性模量E=206GPa。已知横截面的面积A=900mm2，形状为正方形，求杆的临界力。(压杆满足欧拉公式计算条件*）解设该杆横截面边长为a,则惯性矩该杆的临界压力13.2细长杆的临界压力扩展思考

两端球铰铰支压杆，长l=1.2m，材料为Q235钢，弹性模量E=206GPa。已知横截面的面积A=900mm2，截面形状为长方形，长45mm，宽20mm，该如何计算其临界力？此时的惯性矩

I应该如何选择？13.3临界应力欧拉公式的适用范围第十三章压杆稳定13.3临界应力欧拉公式的适用范围

问题1：是不是所有受压杆件都会存在稳定性问题？问题2：上述欧拉公式是不是对所有两端铰支的受压杆件都成立？问题3：欧拉公式推导过程中的挠曲线近似微分方程的前提是什么？13.3临界应力欧拉公式的适用范围柔度临界应力

由惯性半径公式：引入

l

是一个量纲为1的量，称为柔度或长细比l

集中反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力scr的影响

临界应力公式改写为:13.3临界应力欧拉公式的适用范围柔度课堂思考题如图所示3根压杆的材料及截面都相同，那一种情况的压杆最容易发生失稳？说明理由。13.3临界应力欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围欧拉公式是由弯曲小变形的微分方程导出线弹性，即材料符合胡克定律，则欧拉公式才正确取欧拉公式的适用范围通常称满足的压杆为大柔度压杆或细长压杆线弹性小变形13.3临界应力欧拉公式的适用范围

lp的值与材料的性质有关，材料不同，lp

的值也就不同。Q235E=206GPasp≈

200MPa

则用Q235钢制成的压杆只有当lp≥100时，才能使用欧拉公式计算其临界力或临界应力。13.3临界应力欧拉公式的适用范围

压杆的柔度小于lp时，临界应力scr

大于材料的比例极限sp

，这时欧拉公式已不能使用，属于超比例极限的压杆稳定问题。工程中对这类压杆的计算，一般使用以试验结果为依据的经验公式。两种常用的经验公式：直线公式和抛物线公式。13.3临界应力欧拉公式的适用范围1直线公式

a，b

与材料力学性能有关的常数材料a/MPab/MPaQ235钢(

s=235,b

372)3041.12优质碳钢(

s=306,b

471)4612.57

其他材料的参数参见教材13.3临界应力欧拉公式的适用范围问题：临界应力scr

的范围？

对塑性材料，按直线公式算出的应力最高只能等于ss，否则材料已经屈服，成了强度问题，即要求

令ls为使用直线公式的最小柔度13.3临界应力欧拉公式的适用范围

柔度满足ls≤l≤lp

的压杆，称为中柔度杆或中长压杆。也就是说，中长压杆不能用欧拉公式计算临界应力，但可以用直线公式计算。对于脆性材料只需把以上各式中的ss改为sb，ls改为lb。13.3临界应力欧拉公式的适用范围2抛物线公式*

我国钢结构规范中采用如下抛物线经验公式Q235钢16Mn钢

计算临界应力的抛物线经验公式统一写为：

a1

和b1为与材料有关的常数抛物线公式适合于结构钢与低合金钢等制做的中柔度压杆。13.3临界应力欧拉公式的适用范围3短粗压杆

柔度很小的短柱，受压时不可能像大柔度杆那样出现弯曲变形，其失效原因是应力达到屈服极限(塑性材料)或强度极限(脆性材料)。很明显，这是强度问题。所以，对塑性材料，l≤ls时，临界应力scr=ss。对脆性材料l

≤lb时，临界应力scr=sb

。

对于l

<ls或

l<lb的压杆，称为小柔度杆或粗短压杆。13.3临界应力欧拉公式的适用范围临界应力总图小柔度杆中柔度杆大柔度杆细长杆—发生弹性屈曲(

p)中长杆—发生弹塑性屈曲(

s

p)粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服(

s)1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时，其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度计算时需按削弱后的尺寸计算。13.3临界应力欧拉公式的适用范围例题Q235钢制成的矩形截面杆如图所示，在A，B两处为销钉连接。已知材料弹性模量E=206GPa，l=2300mm，b=40mm，h=60mm。求此杆的临界载荷。13.3临界应力欧拉公式的适用范围E=206GPa，l=2300mm，b=40mm，h=60mm正视图平面内俯视图平面内13.3临界应力欧拉公式的适用范围由于：所以压杆将在正视图平面内屈曲压杆属于细长杆，则临界载荷用欧拉公式计算E=206GPa，l=2300mm，b=40mm，h=60mm13.3临界应力欧拉公式的适用范围实践与思考找一根30cm或50cm的钢尺，测量其截面尺寸，并根据稳定性计算方法，计算其临界载荷，有条件的情况下，可以实测验证。根据所学的稳定性计算方法，请完成以下工作：13.4压杆的稳定性校核提高杆件稳定性的措施第十三章压杆稳定13.4压杆的稳定性校核提高杆件稳定性的措施对各种柔度的压杆，求出相应的临界应力，乘以横截面面积A后便得临界压力Fcr。与实际工作压力F之比称为压杆的工作安全因数n，它应大于或等于规定的稳定安全因数[ncr]，即

稳定安全因数[ncr]

一般要高于强度安全因数。这是因为考虑到杆件的初弯曲、压力偏心、材料不均匀和支座缺陷等因素，它们都严重地影响压杆的稳定，降低压杆的临界压力。压杆柔度l

越大，其影响也越大。稳定安全因数一般可在设计手册或规范中查到。13.4压杆的稳定性校核提高杆件稳定性的措施例题

两端球铰铰支等截面圆柱压杆，长度l=703mm，直径d=45mm，材料为优质碳钢，ss=306MPa，sp=280MPa，E=210GPa。最大轴向压力Fmax=41.6kN，稳定安全因数[ncr]=10。试校核其稳定性。13.4压杆的稳定性校核提高杆件稳定性的措施两端球铰铰支等截面圆柱压杆，长度l=703mm，直径d=45mm，材料为优质碳钢，ss

=306MPa，sp

=280MPa，E=210GPa。最大轴向压力Fmax=41.6kN，稳定安全因数[ncr]=10。试校核其稳定性。分析：先算出柔度，然后根据柔度选择公式校核求lp(2)求l两端铰支圆截面13.4压杆的稳定性校核提高杆件稳定性的措施(3)求ls查表得直线公式a=461MPab=2.57MPa中柔度杆(4)求临界压力(5)工作安全因数两端球铰铰支等截面圆柱压杆，长度l=703mm，直径d=45mm，材料为优质碳钢，ss

=306MPa，sp

=280MPa，E=210GPa。最大轴向压力Fmax=41.6kN，稳定安全因数[ncr]=10。试校核其稳定性。13.4压杆的稳定性校核提高杆件稳定性的措施1.选择合理的截面形状

在保持横截面面积不变的情况下，尽可能地把材料放在远离截面形心处，可以取得较大的I和i值，从而提高临界力。

当然，也不能为了取得较大的I和i，就无限制地增大环形截面的直径并使其壁厚减小，这将使其因壁厚太薄而引起局部失稳，发生局部折皱的危险，反而降低了稳定性。13.4压杆的稳定性校核提高杆件稳定性的措施2.改变压杆的约束条件

改变压杆的支承条件能直接影响临界力的大小。例如将长为l的两端铰支的细长压杆，在其中点增加1个铰支座，或把压杆的两端改为固定端，则相当长度就由原来的ml变为ml/2，临界力是原来的4倍。可见增加压杆的约束，使其不容易发生弯曲变形，从而提高压杆的稳定性