最大角米勒角问题-2024年中考数学二次函数压轴题

最大角米勒角问题

一、知识导航

【问题描述】

1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题：

如图，点A、B直线/的同一侧，在直线/上取一点尸，使得/AP2最大，求尸点位置.

【问题铺垫】

圆外角：如图，像NAPB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角.

相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半.

4口图，ZP=ZACB-ZPBC=AB~CD.

换句话说，对同一个圆而言，圆周角>圆外角.

【问题解决】

结论：当点尸不与A、B共线时，作△出^的外接圆，当圆与直线/相切时，NAPB最大.

证明：在直线/上任取一点M（不与点尸重合），连接AM、BM,

/AMB即为圆。的圆外角，

NAPB>/AMB,AAPB最大.

二当圆与直线/相切时，/AP8最大.

特别地，若点A、8与P分别在一个甭的两边，如下图，则有OP2=Q4-O3.(切割线定理)

证明：:NPOA=NBOP,NOB4=NO8P(弦切角定理)

.,.△AOPSAPOB,

,OAOP

•丽一砺’

OP2=OAOB.

即可通过0A、。8线段长确定。尸长，便知尸点位置.

二、典例精析

如图，在平面直角坐标系中，A(1,0)、B(5,0)直线/经过点C(-1,2),点P是直线/上的动点，若

/AP8的最大值为45°,求直线/的解析式.

【分析】

考虑到直线/未知但NAPB的最大值已知为45°,故构造圆.

记△A3P外接圆圆心为M点，则NAM3=2/AP3=90°,

故可确定Af点位置.

根据A(1,0)、B(5,0),不难求得M点坐标为(3,2),

连接MC、MP,考虑到圆M与直线CP相切，故MP^CP,△CPM是直角三角形.

\MC=4,MP=MA=2yf2,

:.CP=2垃,即△CPM是等腰直角三角形，

易求产点坐标为(1,4),

又C点坐标为(-1,2),

可求直线I的解析式为j=x+3.

三、中考真题演练

1.如图，抛物线》=以2+法+3与x轴交于A(-1,0)^B两点,与y轴交于点C,过点。作CD_Ly轴交抛

物线于另一点。，作。EJ_尤轴，垂足为点E,双曲线y=9(x>0)经过点。，BD.

(1)求抛物线的表达式；

(2)动点尸从点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿0C方向运动，运动时间为r秒，当r为何值时,

ZBPD的度数最大？(请直接写出结果)

备用图

【分析】

(1)考虑到点。纵坐标与点C相同，为3,代入反比例解析式，可得。点坐标为(2,3),

根据A、O坐标可得抛物线解析式：y=-x2+2x+3.

(2)求)即求尸点位置.

思路2:切割线定理

延长交y轴于M点，则当时，NBPD最大.

考虑到5(3,0)、D(2,3),可得直线50解析式：y=-3x+9,

故直线30与y轴交点M点坐标为(0,9),

MD=2A/10,MB=3A/10,

MP2=MDMB=60,

：.MP=2A/15,

二尸点坐标为(0,9-2岳)，

故f的值为9-2厉.

2.(2023・四川宜宾・中考真题)如图,抛物线y=加+6x+c与x轴交于点A(TO)、3(2,0),且经过点C(-2,6).

(1)求抛物线的表达式；

(2)在尤轴上方的抛物线上任取一点N,射线AN、3N分别与抛物线的对称轴交于点尸、。，点。关于x轴

的对称点为。'，求△APQ'的面积；

⑶点〃是y轴上一动点，当—4WC最大时，求M的坐标.

Wy=--^2--x+6

⑵SAPQ'=—

(3)M(0,12-4A/5)

【分析】(1)设抛物线的解析式为>=a(x+4)(x-2),代入点C的坐标，确定a值即可.

(2)+,直线AN的解析式为>=尿+6，直线3N的解析式为V=/+4,表示出P,

Q,。'的坐标，进而计算即可.

(3)当M是y轴与经过A,C,M三点的圆的切点是最大计算即可.

【详解】(1)••,抛物线了="2+云+。与x轴交于点A(T,O)、3(2,0),

设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x-2),

:经过点C(-2,6),

6=a(-2+4)(-2-2),

3

解得〃=-9

4

3

•*-y=-a(九+4)(1-2),

.323(

••y=—x—x+o.

42

(2)如图，当点N在对称轴的右侧时,

,••一广一］+6=一*+1）弓

，对称轴为直线,

直线BN的解析式为y=PX+4,

-4k+b=02p+q=0

,.33，吁一,一

mk+b=——m2——m+64=g+6

I42

323於

323u

——m——m+642

k—____2_____p=

m-2

解得m+4

3

.-3m2-6m+24—m92+3m-12

b=--------------------2___________

m+4q=

m-2

_32_3

・••直线•的解析式为广—J—5m+0^—3相26相+24,直线3N的解析式为

m+4m+4

333

——m2——m+6—m2+3om-12

y二—4----?------x+2-----------------

m-2m-2

。2◊，9291Q

mm+——m——m+18八

当卡-1时，_-4~2/n「3病一6m+24二_2———（时2），

y-----------------------------------xi—11H-------------------------

m+4m+4m+44V7

333lx-,99

——m2——m+6—m2+3om-12—m2+—m-118O

y=—-------2-------x（-l）+-----------------二42=『+4），

m-2v7m-2m-2

9927

Pe，=--(m-2)+-(m+4)=y,

・<_127,81

・・3APQ'=-X-x3=Y,

如图，当点N在对称轴的左侧时，

,・33正3/八227

.y=——%2——x+6=——(x+1)+—

424V74

・•・对称轴为直线x=-1,

)9

m-2)1el-l,|(m+4,e--1,-2(OT+4)

4

Qo27

尸Q'=-j(m-2)+j(相+4)=或

•<_127„_81

APQ^2X~2X3=^'

QI

综上所述，5加°,吟.

(3)当AAMC的外接圆与相切，切点为"时，/4MC最大,

设外接圆的圆心为E,。是异于点M的一点，连接“，QC,QA交圆于点T,

则ZAMC=ZATC,根据三角形外角性质，得ZATC>ZAQC,^ZAMOZAQC,

最大，

设Q4与圆交于点“，连接MH,ME,根据切线性质,

ZEMO=ZMOA=90°,

作直径HV,连接MN,

:./HMN=90°,ZMNH=ZMAH,

"：EM=EH,

:・ZEMH=ZEHM,

：.90°-ZEMH=90°-ZEHM,

・•・ZOMH=ZMNH=ZMAH,

：.OMHsOAM,

.OM__OH

：.OM2=OA.OH,

设。M=37,OH=x,贝!jAH=4一x,

y2=4x,

y=2y/x,

过点后作EFLQ4,垂足为R过点。作CGLQ4,垂足为G,交EM于点、P,

根据垂径定理，得A^=fH=个，四边形EMO尸是矩形，

PE=EM-PM=^^-2=-,

22

CP=CG-PG=CG-OM=6-2A/I，

在直角三角形PEC中，

($2+(6—2/)2=(手尸，

x+16-12\lx，

/.(X+16)2=(126)2,

，X2-112X+256=0,

解得占=56—24君，尤2=56+24石＞4(舍去)，

•••y=14x=2^56-2475=2J(6-2有『=2(6-2遥)=12-46，

故OM=12-4&，

.,.当N4WC最大时，M(0,12-4君).

【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，矩

形的判定和性质，三角形的外接圆，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键.

3.(2023・四川遂宁•一模)已知抛物线y=-尤2+Zu+c与x轴交于A(-1,O),3(3,0)两点.

(1)求抛物线的函数解析式；

(4)点。是抛物线对称轴上一动点，当/OQA的值最大时，点。的坐标为：(直接填空)

【答案】⑴y=-炉+2x+3

⑷(1,0)或(1,-⑹

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(4)作△A。。的外接圆X,作轴，连接AH,OH,HQ,根据圆周角定理得到ZAQO=gzA8O,

当AH最小时，最小，此时/OQA最大，然后利用勾股定理求解即可.

【详解】(1)解：：抛物线y=-f+Zu+c与x轴交于A(-LO),3(3,0)两点,

-1—Z?+c=0解得［(cb=23

—9+3Z?+c=0

抛物线的函数解析式为y=--+2无+3；

（4）如图所示，作△A。。的外接圆〃，作“G_Lx轴，连接AH,OH,HQ,

.**当NOQA最大时，NAHG最大

•：AH=HO=HQ

・••当AH最小时，H。最小，此时N0Q4最大

,13

止匕时HQ=1+—=—

22

3

・・・AH=-

2

在RtAAHG中，HG=1AH°一AG。=一出=后

/.Q（L应）

根据对称性，则存在0（1,-忘）

综上所述,°。,点）或（L一码.

【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图

形、勾股定理及其逆定理的应用、三角形的外接圆性质、圆周角定理、三角形的面积、解一元二次方程等

知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解题的关键.

4.（2019•山东淄博・一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x-1）（x-5）（a>0）的图象与x

轴交于A、2两点（点A在点B的左侧），与y轴交于尸点，过其顶点C作直线CHLx轴于点X.

(1)若/APB=30。，请直接写出满足条件的点尸的坐标;

(2)当NAPB最大时，请求出a的值；

【答案】(1)点P坐标为(0,2向+⑺)或(0,2百-77);(2)a="；(3)能，a的值为(4)

点。坐标为(3,3+V13)或(3,3-Vo).

【分析】(1)作APAB的外接圆。D,连接DP、DA、DB,证AABD是等边三角形，求A(1,0),B(5,

0),得DP=DA=AB=4,H(3,0),得直线CH：x=3,求出D(3,26)

设P(0,p)(p>0),由PD2=32+(2括-p)占421求出P的坐标；(2)作△PAB的外接圆。E,连接EP、

EA、EB,如图2,由切线性质，得四边形OHEP是矩形，在RtAAEH中，EH=y/AE2-AH2=732-22-

求出0P得点P坐标为(0,亚),代入抛物线解析式可得；

【详解】解：(1)作APAB的外接圆。D,连接DP、DA、DB,如图1

；.DP=DA=DB,

VC为抛物线顶点且CH±x轴

/.CH为抛物线对称轴，即CH垂直平分AB

；.D在直线CH上

VZAPB=30°

...NADB=2APB=60°

」.△ABD是等边三角形

•；当y=0时，a(x-1)(x-5)=0解得：xi=l,X2=5

；.A(1,0),B(5,0)

；.DP=DA=AB=4,H(3,0),直线CH：x=3

；.AH=2,DH=73AH=273

AD(3,2g)

设P(0,p)(p>0)

；.PD2=32+(26-P)2=42

解得：pi=273+V7,p2=2A/3-5/7

.•.点P坐标为(0,20+S)或(0,2V3-V7)

(2)作APAB的外接圆。E,连接EP、EA、EB,如图2

VZAEB=2ZAPB

...NAEB最大时，NAPB最大

：AB=4是定值

EH最小时，/AEB最大，此时。E与y轴相切于点P

；.EPJ_y轴于P

四边形OHEP是矩形

.\PE=OH=3

；.EA=PE=3

RtAAEH中，EH=^AE2-AH2=^32-22=石

;.OP=EH=7^

.•.点P坐标为(0,石)，代入抛物线解析式得：5a=E

【点睛】考核知识点：二次函数的综合.数形结合分析问题，熟练运用圆的性质是关键.

5.(2018•浙江宁波•一模)己知，如图1,。是坐标原点，抛物线丫="2+桁+。(存0)经过A、B、C三点,

轴于点A,AB=2,A0=4,OC=5,点。是线段A。上一动点，连接C。、BD.

(1)求出抛物线的解析式；

【分析】(1)先确定出点A,B,C的坐标，进而用待定系数法即可得出结论.

(3)先判断出当△BOC的外接圆与49相切时，/BDC最大,后利用三角形，勾股定理计算即可.

【详解】(1)：A皿轴于点A,AB=2,AO=4,OC=5,

.,.A(0,4),B(2,4),C(5,0),

•抛物线y=a/+bx+c存0)经过A、B、C三点,

25a+5b+c=0

<4〃+2Z?+c=4

c=4

4

Q

解得竹=话,

c=4

4R

，抛物线解析式为y=_三尤2+^X+4.

设外接圆的圆心为E,。是异于点。的一点，连接QB,QC,交圆于点M,

则/BOONBMC,根据三角形外角性质，得/BMO/BQC,故/BOO/BQC,

...NBOC最大，

设0c与圆交于点”，连接。H,DE,

根据切线性质，

ZEDO=ZDOC=90°,

作直径"N,连接。N,

ZHDN=90°,ZDNH=ZDCH,

'：ED=EH,

：.ZEDH=ZEHD,

：.90°-ZEDH=90°-ZEHD,

：.ZODH=ZOCD,

：.X0DHsX0CD,

：.0D：OC=OH：OD,

：.0D：OC=OH：OD,

JDO2=OH.OC,

设。OH=x,则"。=5-%,

y2=5x,

y=yf5x,

过点E作研，OC,垂足为尸，过点5作BGLOC垂足为G,交DE于点P,

5—x

根据垂径定理，得HF=FC=T，四边形瓦＞。尸是矩形，

.M25-无5+X

..DE=OF=EB=------+x=-------,

22

根据8（2,4）,得AB=DP=OG=2,BG=4,

.D口nn5+尤l+X

..PE=1E7Drl-DP---------2=------,

22

•••（号/+（4-后）2=（若与，

22

3x+10=8\/5x，

（3x+10＞=（8后了,

9x2-260%+100=0,

解得x=13。-4。面,.13。+4。加〉4（舍去）,

99

.「650-200V10

••5x-------------------,

9

.・・7650-200710

-3

故OD=d650-200^/15,

3

・••当NBOC最大时，0°=痴°-20°亚

3

【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，矩

形的判定和性质，三角形的外接圆，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键.

6.（2015•福建泉州•一模）如图，0是坐标原点，过点A（-l,0）的抛物线＞=/一灰_3与x轴的另一个交点

为B，与J轴交于点C，其顶点为D点.

（2）连结助、CD，动点。的坐标为（也J}.

②连结0。、CQ,当最大时，求出点。的坐标.

【答案】（1）（2）②2（21），C：'二为

【详解】试题分析：（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值.

（2）②记△OQC的外心为m,则m在0C的垂直平分线MN上（设MN与y轴交于点A）,连接OM、CM.有

圆周角定理和三角函数的定义可表示sin/C。。，可得出sin/C。。的值随着01/的增大而减小，可得

与相切，再由勾股定理可求得。的坐标.

试题解析：解：（I）把JC-LO）代入）=/-b-3,l+b-3=0,解得b=2；（2）①设抛物线的对称

轴与X轴交于点£.

：;—X'—2.v—3—（.Y-i1'-4,

A则OE=1，PE=4>

:

令x=0得，）=-3；令）=0得，x-2x-3=0-解得*=-1，x;=3•

「3-3，OCBE"（以下有两种方法）

方法一：

设直线：.二】与J轴交于点F，则CF=4，BD=4DE，-BE：=1/，

当四边形3QCD是平行四边形时，，=2-#，

：CF=OF+OC=l+3=4，

•••F0=JC0：-CF=>

"；-FO-2；

方法二：

过C作SD的平行线与直线J=1相交，则交点必为0,

设直线J二1与.1轴交于点F，则CF=4.

DE//FC,：.ZFCQ=ZEDB.

又,：CF=4=DE,ZQFC=9Q=ABED,

，丛QFC沿丛BED,

/.CQ=DB,FQ=EB=2,

②记a。。。的外心为,则."在0。的垂直平分线上（-ic与丁轴交于点.v）.连接0.U、cv，

KO.CQO==C"0=_MC=MO=MQ,

OV15

/.sin^CQO=sinJO3/A'=—=—,

OMOY

；.：s加a©。。的值随着0_T/的增大而减小.

又”..•刷。:崛，

/.当7Q取最小值时sin/CQ。最大,

即up一直线：,二1时，一。。。最大，此时，

与直线）=1相切.

•・M。=.VF=25,3£\'=-Josr-0X:=2，

,根据对称性，另一点。:「二h也符合题意.

综上所述，02;ln0;i-lli.

考点：二次函数的综合题.

7.（2023•广东深圳•一模）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如图1,A,B

表示灯塔，暗礁分布在经过A,8两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点,

/ACB就是“危险角”.当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角Nc与“危险角”—ACB有怎样的大小

关系？

⑴数学小组用已学知识判断Nc与“危险角”-4C3的大小关系，步骤如下：如图2,AP与：。相交于点D,

连接8。，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知？ACB1ADB,

ZADB是ABDP的外角,

;.ZAPBNADB（填“>”，"=”或“<”），

.-.ZtzNACB（填或“<”）；

⑵如图3,已知线段AB与直线/,在直线/上取一点P,过A、B两点，作（。使其与直线/相切，切点为P,

不妨在直线上另外任取一点0,连接A。、BQ,请你判断NAP3与NAQB的数量关系，并说明理由；

（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4,他在点P处接到球后，沿PQ方向带球跑动，

球门A3=8米，。尸=8米，89=16米，ZADC=90°,tan/QPC=l.该球员在射门角度（NAAffi）最大

时射门，球员在PQ上的何处射门？（求出此时的长度.）

【答案】（1）<,<

⑵ZAPB>ZAQB,理由见解析

⑶16方-8立

【分析】（1）由4DB是△&）尸的外角，可得NAPBcNADB,即可求解；

（2）设A。与：。交于点G,连接BG,可证NAPB=NAG3,从而可证ZAGB>ZAQ3,即可求证；

（3）当经过A,2的一。与尸。相切时，最大，过点。作交于点H,延长交P。于

点E,过点E作EFLDF交D尸于点F,四边形HDFE是矩形，可求HE=DF=DP+FP=28,可证VOME

是等腰直角三角形，设。的半径OB=OM=x,OH2+HB2^OB2,由此即可求解.

【详解】（1）解：NAD3是△皮）尸的外角，

:.ZAPB<ZADB,

:.Aa<ZACB,

故答案为：<,<.

（2）解：ZAPB>ZAQB,理由如下：

如图所示，设AQ与O交于点G,连接3G,

AB=AB^

:.ZAPB=ZAGB,

NAG3是的外角,

ZAGB>ZAQBf

\ZAPB>ZAQB.

(3)解：如图所示，由(2)可得，当经过A,5的。与尸。相切时，最大,

过点。作交A5于点"，延长"9交尸。于点E,过点E作EFJ_O尸交O尸于点R

:.BH=-AB=4f

:.DH=BH+BD=22,

OHLAB,EF±DF,AD±DFf

二•四边形HDFE是矩形，

:.EF=DH=2Q,

tanZQPC=1,

：.PF=EF=20,

:.HE=DF=DP+FP=28,

tmZQPC=1,

:.ZEPF=45°,

HE//DF,

:./HEP"EPF=45。,

OMLPQ,

.•.OWE是等腰直角三角形，

；•设.。的半径O3=OM=x,

0E=，

:.OH=HE-OE=28-缶，

.,.在RtZ\O/7B中，OH-+HB2=OB2,

.-.（28-V2X）2+42=x2,

解得：天=280-166或x=280+16g（舍去），

EM=OM=28拒-166，

PM=PE-EM=28>/2-16A/3.

答：PM的长度为28亚-166.

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定及性

质，勾股定理，三角函数等掌握相关的性质，找出最大角的条件是解题的关键

8.（2023•广东深圳•一模）【问题发现】

船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如图1,A,B表示灯塔，暗礁分布在经

过48两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，/ACB就是“危险角”.当

船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？

【解决问题】

（1）数学小组用已学知识判断Na与“危险角”-ACB的大小关系，步骤如下：

如图2,AP与。相交于点。，连接30,由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知？ACB7ADB,

,/ZADB是ABDP的外角，

：.NAPBNADB（填“>”，"=”或“<”），

ZaNACB（填“>”，"=”或“<”）；

【问题探究】

（2）如图3,已知线段A3与直线/,在直线/上取一点尸，过A、B两点，作1。使其与直线/相切，切点

为P,不妨在直线上另外任取一点。，连接AQ、BQ,请你判断-AP3与NAQ8的数量关系，并说明理由；

【问题拓展】

（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4,他在点尸处接到球后，沿P。方向带球跑动,

3

球门AB=7米，。尸=7.5米，30=15.5米，ZADC=90°,tanZQPC^-.该球员在射门角度（NAMB）最大

时射门，球员在PQ上的何处射门？（求出此时的长度.）

【答案】（1）<,<;（2）ZAPB>ZAQB,理由见解析；（3）15米

【分析】（1）由三角形的外角的性质可得从而可得答案；

（2）设A。与；。交于点G,连接8G,证明NAPB=NAGfi,可得NAG3>NAQ8,则ZAPB>ZAQ8.

（3）如图所示，由（2）可得，当经过A,B的。与PQ相切时，4MB最大，过点。作OHLAB交

于点H,延长打。交尸。于点E,过点E作所，。尸交。尸于点尸，证明四边形mME是矩形，可得

EF=DH=19,PF=—,PE=—,HE=DF=1.5+—=—,证明N〃EP=NQPC,设的半径

3336

451975<1075A2（［弋

OB=OM=r,表示ME=—r,OE=-r,OH=HE-OE=---------r,建立方程上二r+1=2,

336363JUJr

再解方程可得答案.

【详解】解：（1）如图2,”与|。相交于点。，连接BO,由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知

?ACB?ADB,

•//ADB是4BDP的外角,

ZAPB<ZADB,

Z.a<ZACB,

（2）ZAPB>ZAQB,理由如下：

如图所示，设AQ与。交于点G,连接BG,

4/^

-AB=AB>

・・・ZAPB=ZAGB,

,/NAG5是5GQ的外角，

.・.ZAGB>ZAQB,

：.ZAPB>ZAQB,

（3）如图所示，由（2）可得，当经过A,8的，。与尸。相切时，NA4火最大,

过点。作交A5于点延长H0交P。于点E,过点石作尸交。尸于点尸,

BH=-AB=3.5,

2

：.DH=BH+BD=15.5+3.5=19,

OHLAB,EF上DF,ADLDF,

・•・四边形印）FE是矩形，

・・・EF=DH=\9,

3

VtmZQPC=~,

••.TPE*

八L__76197

HE=DF=7.5+——=——

36

■:HE〃DF,

JZHEP=ZQPC,

,.・OMLPQ,

设00的半径QB=OM=r,

3r4

tanZQPC=tanZHEP=-=——，即ME=—厂，

4ME3

：.0E=-r,

3

1975

・・・OH=HE-OE=---------r,

63

・••在Rt-OHB中，OH2+HB2=OB2,

1975

整理得：32/一19707+19625=0,

解得：112.5,=49.0625（不合题意，舍去）

PM=PE-EM=---------=15.

33

答：PM的长度为15米.

【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，圆周角定理的应用，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应

用，勾股定理的应用，本题的难度很大，计算非常复杂，准确细心的计算是解答的前提.

9.（22-23九年级上•江苏泰州・期末）【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线接

近球门A3,他在哪里射门时射门角度最大？

【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门A8的张角时，在上取一点Q,过A、B、。三点

作圆，发现直线与该圆相交或相切.如果直线与该圆相交，如图1,那么球员P由〃向N的运动

过程中，NAP3的大小：（填序号）

①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大

【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线"N与该圆相切于点。那么球员P运动到切点。时

/APB最大,如图2,试证明他们的发现.

c~--------------------------------------------------------------、

要证乙最大，就是要证上”T尸点的其它所有点对48的张角都小