中考数学专项复习：因式分解（考点串讲）（解析版）

专题05因式分解

【考点剖析】

1.因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式.

2.因式分解的方法:

，公因式：一个多项式的各项含有的因式.

提取公因式：把公因式提取出来作多项式的一个因式，提出

①提取公因式法:公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.

最大公因式：系数应取各项系数的最大公因数，字母取各项

都含有的相同字母且各个相同字母的指数取最低次累.

a2-b2=(a+b)(a-b)

②公式法:公式中可以是单项式，也可以是多项式.

a1±lab+b2=(a土b)2

'利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法;

③十字相乘法：＜

表达式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

［原则：分组后能提取公因式或能用公式法或十字相乘法；

④分组分解法:‘1+3分组：3一般用完全平方公式，然后用平方差公式;

规律：四项多项式V

2+2分组：一般用提取公因式.

【典例分析】

【考点】因式分解

例题1(松江2019期中18)下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是()

A.a(a+b)=a~+ab；B.48=2x2x2x2x3；

C.2a2-3ab=a(2a-3b)；D.ci+a+1=a(a+1)+1.

【答案】

c;

【解析】解：根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式”可知:A错误；B中48不是多

项式，故B错误；D、等号的右边不是几个整式的积的形式，故D错误；C正确;因此答案选C.

例题2(青教院附中2019期中4)多项式/-3x+左分解成两个因式(x-加)(x-5)的积，那么k、m的值

分别为()

A、k=10,m=2B>k=10,m=・2C、k=-10,m=2D、k=-10,m=-2

【答案】D；

c1f5+m=3

【解析】解：由题意得％2—3工+左=。—掰)(;<:-5)=/-(5+加比+5%,所以《,，解得

5m=k

m=—2

<k=-10'

例题3(松江2019期中10)分解因式：4x2-16xy=.

【答案】4x(x-4y)；

【解析】解：运用提取公因式法，4/-16初=4x(x-4y).

例题4(嘉定2019期中9)因式分解：X2-36=.

【答案】(x+6)(x-6)

【解析】解：根据平方差公式,原式=f—62=(x+6)(x-6).

例题5(延安初中2020期末5)因式分解：X2-5X+6=.

【答案】(x—3)(x—2)

【解析】解：运用十字相乘法，X2-5X+6=(X-3)(X-2)

例题6(嘉定区2020期末12)因式分解：(x-y)2-6(x-y)+9=.

【答案】(x-y+3)2

【解析】解：运用整体思想与完全平方公式，(x-y)2-6(x-y)+9=(x-y)2-2(x-y)x3+32=(x-y+3)2.

例题7(2019浦东四署12月考14)把多项式/+机工+5的因式分解成(x+5)(x+l),则m的值为.

【答案】6；

【解析】解：依题x?+mx+5=(x+5)(x+l)=/+6x+5,故m=6.

例题8(2019宝教院附中10月考29)分解因式：25%2一(4切一3〃)2.

【答案】3(3加一〃)(加+3〃)；

［解析］解：原式=(5加+4m-3n)(5m-4m+3n)=(9m-3〃)(加+3〃)=3(3加-n)(m+3〃).

例题9(西延安2019期中21-1)因式分解：(1)X4+2X2-3

【答案】(x+l)(x—1乂x?+3)；

【解析】解：x4+2x2-3=(r2—1)(/+3)=(x+l)(x-l)(x?+3).

例题10(西南模2019期中23-4)因式分解：(a2-3a-3)(a2-3a+l)-5

【答案】(a-4)(a+1)(a~2)(a~1)；

【解析】解：(4)(a2-3a-3)Ca2-3tz+l)-5=Qa2-3a)2-2(a2-3a)-8=(a2-3tz-4)

(〃2-3a+2)—(〃-4)(a+1)(a-2)(a-1).把层一3〃看成整体，运用整体思想.

例题11(川中南2020期末22)因式分解：2%2一4盯+3%-6»

【答案】(x—2田(2x+3)；

【解析】解：原式=2x(x-2y)+3(x-2y)=(x-2y)(2x+3).本题采用分组分解法，将前两项与后两

项分别组合提取公因式即可得答案.

【真题训练】

一、选择题

1.(西南模2019期中3)下列因式分解正确的是()

A.《-4/+16=(%2-4)2B.3/-9y+3=(x2-3j)

C.x2'2-xn=xn(x+1)(x-1)D.4x2+8ax+4a2=4(x+a)2

【答案】D；

【解析】解：/、原式不能分解，不符合题意；B、原式=3(x2-3y+l),不符合题意；C、原式=x"

不符合题意；D、原式=4(x2+2ax+a2)—4(x+a)2,符合题意，故选：D.

2.(2019上师大二附10月考4)下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是()

A.2a・3a=6a2B.a(a-1)—a2-a

C.a--a-l=a(a_l)_1D.a2_l=(a_l)(a+1)

【答案】D；

【解析】解：4、2a«3a=6a2,不符合因式分解的定义，故A错误；B、a(a-1)=a2-a,从左至右不

符合因式分解的定义，故B错误C、1=。(“-1)-1,从左至右不符合因式分解的定义，故C

错误；D、a2-l=(a-1)(a+1),从左至右符合因式分解的定义，故D正确.故选：D.

3.(卢湾中学2020期末3)将下列多项式分解因式，结果中不含因式x-l的是()

A.x2+xB.x2-lC.x2-2x+lD.x(x-2)+(2-x)

【答案】A；

【解析】解：/+x=x(x+l),A项正确；x2-l=(x+l)(x-l),B项错误；X2-2X+1=(X-1)\C项错

误；x(x-2)+(2-x)=(x-2)(x-1),D项错误.故答案选A.本题考查因式分解的定义.

4.(张江2019期中19)己知二次三项式21%2+ax—io可分解成两个整系数的一次因式的乘积，那么(

A.。一定是奇数；B.。一定是偶数；C.。一定是负数；D.。可为奇数也可为偶数

【答案】A；

【解析】解：21x2+ax-10=(mx+p)(nx+q)=mnx2+(mq+pn)x+pqmn=21,pq=-10,a=mq+pn.：.m、"为奇

数，p、q有一个为偶数,一个为奇数，.•.机外中有一个为奇数，一个为偶数，；.a="峙一定是奇

数.

故选：A.

二、填空题

5.(莘松中学2019期中15)分解因式：4x2-16xy=.

【答案】4x(x-4y)；

【解析】解：4x2-16xy=4x(x-4y),故答案为4x(x-4y).本题考查因式分解—提公因式法.

6.(川中南2020期末10)因式分解：X2-9y2=.

【答案】(x+3y)(x-3y)

【解析】解：根据平方差公式可求得，原式=x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y).

7.(卢湾中学2020期末8)因式分解：m3-.

【答案】m(m+n)(m-n)；

【解析】解:疗-mn2=m(m2-M2)=m(m+n\m-〃)，故答案是：m(m+n)(m-n).

8.(2019徐汇中学10月考12)因式分解：zn2(a-2)+(2-a)=.

【答案】(a-2)(m+l)(m-l)；

【解析】解：运用提取公因式法，原式=(a—2)(/—1)=(。—2)(机+1)(掰—1).

9.(浦东四署2020期末8)单项式8x3/和12/了的公因式是.

【答案】4x3y.

【解析】解：单项式8//和12/y的公因式是4/歹，系数取最大公因数与同底数幕取次数较低的幕的积

为这两个单项式的公因式.

10.(浦东四署2020期末9)分解因式：掰2—6掰+8=.

【答案】(m—2)(m—4)；

【解析】解：运用十字相乘法，m2-6m+8=(m-2)(m-4).

11.(延安中学2019期中9)因式分解：x2-10xy-24/=.

【答案】(x+2v)(x-12j);

【解析】解：将原式看成是关于x的二次三项式，运用十字相乘法，

x2-10xy-24y2=(x+2j)(x-12v).

12.(莘松中学2019期中16)分解因式：-3x3y+6x2y2—9町2=.

［答案1-3xy(x2-2xy+3y)

［解析］解:-3/y+6x2y2-9xy2=3xy(-x2+2xy-3y)=-3xy(x2-2xy+3y).

13.(2019西南模中10月考13)因式分解：2。一1—26+4仍=.

【答案】(2a-1)(26+1)；

【解析】解:运用分组分解法，原式=2a—l+4ab—26=2。—1+26(2。—1)=(2。-1)(26+1).

14.(张江2019期中6)已知(19x—3l)(13x—17)—(13x—17)(1lx—23)可因式分解成(<xt+6)(8x+c),

其中常数a,b,c均为整数，则a+b+c=

【答案】-12；

【解析】解：原式=(13x-17)(19x-31-llx+23)=(13x-17)(8%-8).\•可以分解成(办+b)(8x+c),

a=13,b=-17,c=-8,.,.a+b+c=-12.故答案为：-12.

15.(西南模2019期中15)甲乙两个同学分解因式/+办+6时，甲看错了b,分解结果为(x+2)(x+4),乙

看错了a,分解结果为(x+1)(x+9),则2a+6=.

【答案】21；

【解析】解：,分解因式/+ax+6时，甲看错了b,分解结果为(x+2)(x+4),；.a=6,

乙看错了a,分解结果为(x+1)(x+9),；.6=9,；.2a+6=12+9=21.故答案为21.

16.(张江2019期中9)已知a,b,C是正整数，a>b,且/_仍+秘=11,贝但一c=

【答案】1或11；

【解析】解：a2-ab-ac+bc=\1,(a2-ab)-(ac-bc)=l1,a(a-b)-c(a-6)=11,(a-b)(a-c)=l1

,：a>b,：・a-b>3又•：a,b,c是正整数，.-。=1或11,4-。=11或1.故答案为：1或11.

三、解答题

17.(2019青教院附中10月考23)因式分解：81x4-l.

【答案】(3X-1)(3X+1)(9X2+1)；

【解析】解：原式=81/-1=(9/—1)(9/+I)=(3X—1)(3X+1)(9/+1).

18.(嘉定区2020期末23)分解因式：X4-(3X-2)2

【答案】(X2+3X-2)(X-1)(X-2);

[解析]解：原式=(/)2_(3》_2)2=[X2+(3X-2)][X2-(3X-2)]=(X2+3X-2)(X2-3X+2)

=(X2+3X-2)(X-1)(X-2).

19.(西南模2019期中23-2)因式分解:/+503-6a

【答案】a(a2+6)(a+1)(a-1)；

【解析】解：(2)cr'+Scr'~6a—a(a^+5a2-6)—a(a^+6)(a2-1)=。(a2+g)(a+1)(a-1)；先提取a,

然后利用十字相乘法分解即可；

20.(2019宝教院附中10月考27)分解因式：一3/一6/〉一3町2.

【答案】-3x(x+y)2；

【解析】解：-3x(x2+2xy+y2)=-3x(x+y)2.

21.(延安初中2020期末24)因式分解：6(x+y)2-2(x+y)(x-y)

【答案】4Cx+y)(x+2y);

【解析】解：原式=2(x+y)[3Cx+y)-(x-y)]=2Cx+y)(2x+4y)=4(x+y)(x+2y).

22.(2019徐汇中学10月考29)因式分解：9(a-Z))2+30(62-a2)+25(a+Z7)2.

【答案】4(a+4b/；

【解析】解：原式=9(。一bp—30(。一b)(a+6)+25(。+bf=[3(a—b)—5(a+&)]2=(3a—3b—5a—5b)2

=(-2a-8b)2=4(a+4b)2.

23.(嘉定2019期中24)因式分解：4X3-8X2+4X

【答案】4x(x-l)2；

【解析】解：4x3—8x2+4x=4x(x2—2x+l)=4x(x—l)2.故答案为：4x(x-l)2.

24.(松江2019期中23)分解因式：2a(a-3)2-6a2(3-a)-8a(a-3)

【答案】2a(a—3)(4。-7);

【解析】解：原式=2a(a—3)2+6/(a—3)—8a(a—3)=2a(。一3)[(a—3)+3。-4]=

2a(a—3)(a—3+3a—4)=2a(a—3)(4a—7).

25.(浦东四署2020期末20)分解因式：x2-4xy+4y2-1.

[答案](x—2y—l)(x