轴对称之将军饮马模型重难点题型归纳（五大类型）（解析版）-2024-2025学年苏科版八年级数学上册

轴对称之将军饮马模型重难点题型归纳（五大类型）

_至其起驾_但3________________________

【题型01：“2定点1动点"作图问题】

【题型02：“2定点1动点"求周长最小值问题】

【题型03：“2定点1动点"求线段最小值问题】

【题型04：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】

【题型05：“1定点2动点”-角度问题】

国满台处珠

【题型01:“2定点1动点"作图问题】

【典例1】如图，A,B两个村庄独自从河流/上安装了两条灌溉管道力D,BE,于点D,BE_LZ于点

E.某水务局准备为两村庄在河流1上重新安装一台大型的抽水设备灌溉农田.通过测量，确定在河流，的

点P处安装抽水设备，则到两个村庄铺设的管道2P+BP的长度最短，此时测得NPBE=30°,

DE=150m,贝。4P+BP的最小值为（）

DPE

A.180mB.210mC.240mD.300m

【答案】D

【分析】延长4。到点K使=连接FP,可求得FP=4P,4P+BP最短即为FP+BP最短.

【详解】解：延长4。到点凡使FD=4D,连接FP.

1

B

\,AD11,

.・•点F与点4关于直线，对称.

：.FP=AP,Z.A=zF.

：.AP+BP=FP+BP.

■MP+BP最短，

■-FP+BP最短.

；尸、P、B三点在同一直线上.

■BE11,

：.AD\\BE,^ADP=4BEP=90°.

.■./.A—Z-F=Z.PBE—30°.

：.AP=2PD,BP=2PE.

：.AP+BP=2(PD+PE)=2DE=2x150=300(m).

.■.AP+BP的最小值为300m.

故选：D.

【点睛】本题主要考查轴对称图形、平行线的判定及性质，牢记轴对称图形的性质是解题的关键.

【变式1-1】已知点A,点B都在直线/的上方，试用尺规作图在直线I上求作一点P,使得PA+PB的值

最小，则下列作法正确的是()

2

A4T

【答案】D

【详解】如图，由作图可知，B,B'关于直线对称，所以BP=B，P,

此时AP+PB'=AP+PB值最小，

符合题意的图形如下：

\注I'

X

故选D.

【变式1-2］如图，在正方形网格中，点4B,C在小正方形的顶点上.

⑴在图中画出与a/lBC关于直线/成轴对称的△AB'C'；

⑵连接CC',直线/与线段CC'的关系是—；

⑶在直线2上确定一点P,使得PB+PC最短(不写作法，保留作图痕迹).

【答案】⑴见解析

(2)垂直平分

⑶见解析

3

【分析】(1)根据网格结构找出点4B、C关于直线/的对称点4、B'、C'的位置，然后顺次连接即可;

(2)根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点的连线；

(3)根据轴对称确定最短路线，连接BC',与对称轴I的交点即为所求点P.

【详解】(1)如图所示，△ABC'即为所求；

(2)(2)线段CC'被直线/垂直平分.

故答案为：垂直平分.

(3)连接BC'交直线/于点P,则点P即为所求点.

【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，比较简单，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解

题的关键，还考查了轴对称的性质，以及利用轴对称确定最短路线.

【变式1-3］如图，在小河河岸的同侧，一牧民在N点处放马，现在要到河边去给马饮水，然后再回到

点2处.问在何处饮水才能使牧民所走的路程最短？

・8

【答案】见解析

【分析】点/关于直线/的对称点4,利用轴对称确定最短路线.

【详解】解：如图，作点/关于直线/的对称点4,连接48与直线/交于点C,则点C即为所求的点,

即饮水的地方.

【点睛】本题考查轴对称确定最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称的性质，以及“两点之间，线段最

4

短"

【题型02：“2定点1动点"求周长最小值问题】

【典例2】如图，△力BC中，AB=AC,BC=6,△48C的面积为21,4。1BC于。，E尸是边的中

垂线，点P是斯上一动点，△PBD周长的最小是等于（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】由于48C是等腰三角形，AD1BC,故点。是8C边的中点，根据三角形的面积公式求出

的长,再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点”,故4D的长为BP+PD

的最小值，由此即可得出结论.

【详解】解：,•・A42c是等腰三角形，ADLBC

.•.点。是3C边的中点

；.BD=CD^BC=3

・•,△ABC的面积为21

11

•••—•BC•AD=-X6xAD=21

・•・AD=7

・・名厂是线段45的垂直平分线

•・•点B关于直线EF的对称点为点A

■■AD的长为BP+PD的最小值

1

:ZBD的周长最小=（8P+PZ））+8O=/D+^C=7+3=10

故选D.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

【变式2-1］如图，已知△2BC中，AB=4,AC=5,边8c的垂直平分线分别交BC,AC于点£,F,点、

。为直线EF上一点，则的周长最小值为（）

5

A.12B.119

【答案】D

【分析】本题此题考查了轴对称的最短路线问题，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，利用数

形结合的思想是解题关键.

BC的垂直平分线分别交BC,4C于点E,F,

.•.△43£）的周长=48+4。+8。=48+4。+。。，

•••当N、D、C三点共线时，4。+CD最小，即此时△2BD的周长最小，此时点。与点尸重合，最小值

即为4C的长，

△2BD的周长的最小值为4C+A8,

•••AB=4,AC=5,

△2BD的周长的最小值为：5+4=9,

故选：D.

【变式2-2］如图，在△A8C中，AB^AC,BC=4,面积是12,2C的垂直平分线EF分别交AB,AC

边于点E,F.若点。为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（）

6

A

A.8B.3C.6D.4

【答案】A

【分析】本题考查了轴对称一最短路线问题，等腰三角形的性质，连接力D,AP,由AB=HC,点。是BC

边的中点，贝必D1BC,再根据三角形的面积公式求出4。的长，再再根据EF是线段4C的垂直平分线可

知，点C关于直线EF的对称点为点4当4P、D三点共线时，即力。的长为CP+PD的最小值，由此即

可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】连接ZD,AP,

•MB=AC,点。是BC边的中点,

：.AD1BC,

',-^AABC=,AD=Ix4xAD=12,

..AD—6,

•••EF是线段ac的垂直平分线，

•••点C关于直线EF的对称点为点4

・•.当力、P、D三点共线时，即4D的长为CP+PD的最小值,

7

△CDP的周长最短=(CP+PD)+CD=XD+|BC=6+1x4=6+2=8,

故选：A.

【变式2-3］如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm,面积是12cm2,腰AB的垂直平分线EF交4c于点

F,若。为边上的中点，M为线段EF上一动点，则的周长最短为()

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

【答案】D

【分析】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质，轴对称一最短路径问题，连接4。，由于△ABC

是等腰三角形，点。是BC边的中点，故4D1BC,再根据三角形的面积公式求出4。的长，再根据EF是

线段的垂直平分线可知，点8关于直线EF的对称点为点4故4。的长为BM+MD的最小值，由此即

可得出结论.

【详解】解：如图，连接4D.

・・・△48C是等腰三角形，点。是BC边的中点,

■■.AD^BC,

•••SAABC=^BC-AD=|X4XT1D=12,解得4D=6cm,

EF是线段AB的垂直平分线，

•••点B关于直线EF的对称点为点A,

4。的长为的最小值，

的周长最短=(BM+MD)+BD=AD+^BC=6+|x4=8cm.

故选：D.

8

【题型03：“2定点1动点"求线段最小值问题】

【典例3】如图，在△ABC中，AB=AC,分别以点力、B为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于

E、尸，画直线EF,。为BC的中点，M为直线E尸上任意一点，若BC=5,△4BC的面积为15,贝+MD

的最小长度为（）

【答案】B

【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，三线合一定理，两点之

间线段最短等知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质.如图，连接力M,AD.利用三角形的面积公

式求出4。，再根据两点之间线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可.

【详解】解：如图，连接AM,AD.

■■-AB=AC,。为的中点，

■.AD1BC,

^AABC—|'BC-AD=15,BC=5,

“c15x2,

•••AD=---=6,

由作图可知：EF垂直平分线段

・•.MA=MB,

・•.MB+MD=AMMD>AD=6,

9

.•.BM+DM的最小值为6,

故选：B.

【变式3-1］如图，在△ABC中，AB=AC,AD=12,。是BC的中点，EF垂直平分4B,交4B于点E,交

力。于点尸，在EF上确定一点P,使PB+PD最小，则这个最小值为（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】C

【分析】由EF垂直平分4B,得到点4,8关于直线EF对称，于是得到4。的长度=PB+PD的最小值,

即可得到结论.

【详解】解：•MB=4C,。是BC的中点，

：.AD1BC,

垂直平分力B,

：.PA=PB,PB+PD=PA+PD,

如图，当尸为EF与ZD的交点时，PA+PD取最小值，

此时，PA+PD=AD=12,

.•.PB+PD的最小值为12,

故本题选：C.

【点睛】本题考查了轴对称一一最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题

意得到力。的长度=PB+PD的最小值是解题的关键.

【变式3-2］如图，A42C是等边三角形，AD是3c边上的高，且/。=6,E是NC的中点，P是4D上

的一个动点，则尸C与PE的和最小是（）

10

A

A.3B.4

【答案】C

【分析】连接BE,与/。交于点尸，连接CP,则班的长度即为PE与尸C和的最小值，根据三角形的

面积公式即可证出BE=AD=6,从而得出结论.

【详解】解：如图，连接3E,与40交于点P,连接CP,

•.•A48C是等边三角形，ADS.BC,

.•.40垂直平分BC,BC=4C,

■■.PC=PB,

；.PE+PC=PB+PE=BE,根据两点之间线段最短，2E的长就是PE+PC的最小值,

•••E是NC的中点，

■■BELAC,

11

■.■SAABC^BC-AD^AC-BE,

■■BE=AD=6,

即PC与PE的和最小值是6.

故选：C.

【点睛】本题考查了最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关

键.

【题型04：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】

【典例4】如图，BD平分NABC,SAABC=8,AB=4,E为BC上一动点，在BD上找一点F,使EF+FC的值

11

最小，则这个最小值为()

A.4B.3

【答案】A

【分析】过C点作CGU8,根据三角形面积公式解答即可.

【详解】过C点作CG_LAB,交BD与F,过F作F'E'IBC,

•••BD平分NABC,CG1AB,F'E'IBC,

.,.GF'=F'E',

••.EF+FC的值最小=GF'+F'C=CG,

','SAABC=8,AB=4,

2s△ABC2x8.

•••CG=^^=.=4,

故选A.

【点睛】此题主要考查三角形内线段最小值的求解，解题的关键是熟知根据题意作出辅助线及利用三角

形的面积公式求解.

【变式4-1］如图，在△4BC中，AB=AC,边AC的垂直平分线MN分别交力B、47于点M、N,卓、D是

边的点，点尸是MN上任意一点，连接PD、PC,若乙4=40。，则当△PCD周长最小时，NCP。=()

A.25°B.30°D.40°

【答案】D

12

【分析】本题考查轴对称的最短路线问题，线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质.熟练运用

垂直平分线的性质是解题关键.

连接AP，根据线段垂直垂直平分线的性质可知PA=PC,APAC=APCA.所以PC+PD=PA+PD,由

此可知当/、P、D在同一直线上时，P2+PD最小.再根据等腰三角形的性质可知力。为NB2C的平分线,

即NB4C=2ACAD.最后根据三角形外角性质即得出答案.

【详解】解：如图，连接4P.

•.♦MN垂直平分AC,

.-.PA=PC,/L.PAC=/.PCA,

：.PC+PD=PA+PD,

当/、P、。在同一直线上时，P2+PD最小，最小值为4D.

△PCD周长最小值=PC+PD+CD=AD+CD.

"AB=AC,点。是边BC的中点,

.MD为NB4C的平分线，

■.Z-BAC=2./.CAD,

MCPD=^PAC+NPC4=2ACAD,

■■7.CPD=/.BAC=40°.

故选：D.

【变式4-2］如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4,射线CD，BC,垂足为点C,点尸是射线CD

上一动点，点尸是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5,贝MB的长为（）

A.6B.7C.2D.10

13

【答案】B

【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用

轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键.作点E关于射线CD的对称点廿，过廿作ENIAB于R交

射线CD于P,连接PE,此时EP+FP的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得

=90。一NB=30。，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得BE，=2BF=10,进而求得CE=3即

可求解.

【详解】解：作点E关于射线CD的对称点色，过作EN14B于尸，交射线CD于P,连接PE,如图，则

E'P=EP,

：.EP+FP=E:P+FP=E'F,此时EP+FP的值最小，则BF=5,

。是等边三角形，

."=60°,AB=BC,

在RSBFE，中，NE'=90°—NB=30。，

-,BE'=2BF=10,

■,-BE=4,CE=CE',

：.2CE+4=10,

■.CE=3,

.-.AB=BC=3+4=7,

故选B.

【变式4-3］如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,ADIBC,点。为垂足，E、尸分别是力。、力B上的

动点.若48=6,△A8C的面积为12,贝UBE+Ef1的最小值是（）

14

A

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称一最短路线问题，垂线段最短.解此题的关键是正确作出

辅助线.作点尸关于4。的对称点连接8M、EM,过点8作BN14C于点N,从而可确定

BE+EF>BM,即BM最小时，BE+EF最小.再根据垂线段最短可知BN的长即为BM最小时，最后根

据三角形面积公式求出BN的长即可.

【详解】解：如图，作点尸关于4D的对称点“，连接BM、EM,过点5作BN14C于点N,

：.EF=EM,

.-.BE+EF=BE+EM>BM,

最小时,BE+EF最小.

当BM14C时BM最小，即为BN的长，

"''^AABC=累。，BN=12,AB—AC=6,

■,BN=2X12+6=4,

・•.BE+EF的最小值是4.

故选B.

【变式4-4］如图，在△ABC中，AB=AC=5,S^ABC=12,4D是△ABC的中线，F是力。上的动点，E

是2C边上的动点，则CF+EF的最小值为（）

15

【答案】D

【分析】此题重点考查等腰三角形的"三线合一"、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、根

据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.在上截取

AG=AE,连接GE、GF、CG,由AC=5,4。是△4BC的中线，^Z-BAD=/.CAD,由2G=AF,

4。平分NGAE,得4D垂直平分GE,贝IJEF=GF,所以CF+EF=CF+GF,因为CF+GFNCG,所以当

1

CF+GF=CG,且CG的值最小时，CF+GF的值最小，此时CF+E尸的值最小，作CH14B于点H,由万

742424

AB-CH=S^ABC=12,求得CH=w，所以CG的最小为三，贝兀尸+EF的最小值为三，于是得到问题的

答案.

【详解】解：在4B上截取4G=AE,连接GE、GF、CG,

■：AB^AC=S,是△ABC的中线，

•••/.BAD=Z.CAD,

•••AG=AF,4D平分々ME,

4。垂直平分GE,

EF=GF,

CF+EF=CF+GF,

•••CF+GF>CG,

.•.当CF+GF=CG,且CG的值最小时，CF+GF的值最小，此时CF+EF的值最小,

16

作C//14B于点H,则%8-。”=54钻。=12,

|x5CW=12,

解得CH=g,

•.•当CG与CH重合时，CG=CH=y,此时CG的值最小，，

24

CF+EF的最小值为三，

故选：D.

【变式4-5]△A8C中，ZXCB=90°,乙4BC=30。，4B=8,是△ABC的角平分线，点E、尸分别是

线段BD、线段上的动点，则4E+EF的最小值是（）

【答案】A

【分析】如图，作尸关于的对称点尸，连接E尸，贝怩尸=5厂，尸在8c上，AE+EF=AE+EF',当

力、E、E三点共线，S.AF'1BC,即4尸、力C重合时，力E+EF的值最小，根据4尸=4C=，B,计算求

解即可.

【详解】解：如图，作尸关于BD的对称点广，连接EF,贝!=

•••BD是△4BC的角平分线，

•W在BC上，

：.AE+EF=AE+EF',

.•・当4、E、广三点共线，且2F1BC,即4广、2C重合时，4E+E尸的值最小,

■:^ACB=90°,^ABC=30°,AB=8,

：.AF'=AC=4,

17

故选:A.

【点睛】本题考查了角平分线，轴对称的性质，含30。的直角三角形，垂线段最短等知识.熟练掌握角

平分线，轴对称的性质，含30。的直角三角形，垂线段最短是解题的关键.

【典例5】在某草原上，有两条交叉且笔直的公路04OB,如图，AAOB=30°,在两条公路之间的点P

处有一个草场，0P=4.现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N,存在M、N使得

△PMN的周长最小.则△PMN周长的最小值是（）.

【答案】A

【分析】本题考查的是轴对称一最短路线问题、等边三角形的判定和性质.作点P关于直线。4的对称点

F,作点P关于直线OB的对称点G,连接FG,分别交。力、OB于M、N,得到△PMN的周长的最小值为

FG,再证得△FOG为边长为4的等边三角形即可得出答案.

【详解】解：作点P关于直线。4的对称点F,作点P关于直线。B的对称点G,连接FG,

分别交。人。8于M、N,如图：

.-.MP=MF,NP=NG,

△PMN的周长的最小值为FG,

由轴对称的1■生质得：/-FOA=N40P,4POB=乙GOB,

OP=OF,OP=OG,

■：AAOP+乙POB=4AOB=30°,OP=4,

.­.乙FOG=ZFOX+AAOP+乙POB+乙GOB=60°,OF=OG=4,

18

FOG为边长为4的等边三角形,

：.FG=4,

PMN的周长的最小值为4.

故选：A.

【变式5-1】如图，"。2=30。，乙内有一定点尸，且。尸=12,在。/上有一动点0,上有一

动点R.若△P0R周长最小，则最小周长是()

【详解】/

作点P关于0A的对称点点E,点尸关于OB的对称点点F,连接EF分别交OA于点Q,交0B于点

R,连接。£、OF,

•:P、£•关于Q4对称，：.OE=OP=\2,4EOA=UOP,QE=QP,

同理可证OP=O尸=12,乙BOP=ABOF,RP=RF,

：.OE=OF=12,4EOF=KEOP+^LFOP=2UOB=60°,

・•.△o所是等边三角形，

：.EF=12,

：・CAPQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12.

故选B.

【变式5-2］如图，已知乙4。8=a，。是乙4。8内部的一点，且。C=3,点。、E分别是。4。8上的动

点，若△CDE周长的最小值等于3,则a=()

19

A

D

//

--------B

〃E

A.45°B.40°C.35°D.30°

【答案】D

【分析】本题主要考查轴对称最短路径问题，涉及垂直平分线的性质，轴对称的性质，等边三角形的判

定和性质等，设点C关于的对称点为关于。B的对称点为N,当点。、£在MN上时，△CDE的周

长为CD+CE+DE=MN,此时周长最小，由MN=OM=OM=OC=3可得△OMN为等边三角形，进

而可得a.

【详解】解：作点C关于。4的对称点为关于。B的对称点为N,连接MNQMQN,

由轴对称的性质可得CD=MD,CE=NE,

•••CD+DE+CE=MD+DE+NE>MN,

当点。、£在MN上时，等号成立，如图：

由轴对称的性质可得。4垂直平分线段MC,OB垂直平分线段NC,

OM=OC=3,ON=OC=3,/.MOA=/LAOC,乙NOB=LBOC,

OM=ON=MN=3,乙MON=^MOA+AAOB+乙NOB=2a,

△OMN为等边三角形，

•••4MON=60°=2a,

a—30°.

故选D.

【题型05：“1定点2动点”-角度问题】

【典例6】如图，四边形4BCD中，^BAD=120°,NB=ND=90。，在BC,CD上分别找一点“，N,使

20

△4MN周长最小，则乙4MN+乙4NM的度数为()

A.60°B.120°

【答案】B

【分析】此题主要考查了平面内最短路线问题求法,以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知

识的综合应用，根据轴对称的性质，得出M,N的位置是解题的关键.根据要使△力MN的周长最小，即

利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出4关于BC和CD的对称点4,A",连接44",交BC于

M,交CD于N,则44"即为aAMN周长的最小值.作D4延长线力”，如图所示，结合图形及已知条件，

不难得出N44M+乙4”=乙HAA'=60°；再结合三角形外角的性质不难得到N4MN+4ANM=2(乙44

M+NT),由此分析即可得出答案.

【详解】解：作4关于BC和CD的对称点4,A",连接44",交8c于M,交CD于N,则4T即为△4MN周

长的最小值.作延长线2"，如图所示.

,:乙DAB=120°,

•••/.HAA'=60°,

AAAA'M+=^HAA'=60°.

•••^MA'A=^MAA',4NAD=NT,且NM44+Z-MAA'=乙AMN,ANAD+/.A"=乙ANM,

•••N力MN+乙ANM=^MA'A+AMAA'+^NAD+NA'=2{AAA'M+zX"）=2x60°=120°.

故选：B

【变式6-1］如图，在五边形ZBCDE中，Z.BAE=120°,zB=zF=90°,AB=BC,AE=DE,在BC、

DE上分别找到一点M、N,使得△AMN的周长最小，则乙4MN+N4W的度数为（）

21

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】C

【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，/关于BC和ED

的对称点4,4',即可得出乙4,+乙4〃=^HAA'=60°,进而得出乙4MN+乙4NM=2（乙4+乙4〃）即可得

出答案.

【详解】解：作力关于BC和ED的对称点A,4〃,连接4,交BC于M交ED于N,则4,4〃即为△AMN

的周长最小值.作出1延长线4”，

\9^BAE=120°,

：./.HAA'=60°,

・"4+H=/.HAA'=60°,

,r

・・・/A'=NMZZ',AA=Z.NAEf

且乙4'+Z.MAA'=乙AMN,3+乙NAE=乙ANM,

・"4+NMZ4+/M4E+乙4〃=乙AMN+乙ANM=2（乙4+乙4〃）=2X60°=120°,

故选：