中考数学专项复习：一元二次方程知识归纳与题型突破（12类题型清单）原卷版

一元二次方程知识归纳与题型突破(12类题型)

01思维导图

一元二次方程的定义

一元二次方程一元二次方程的一般形式

一元二次方程的解

直接开平方

配方法

一元二次方程解一元二次方程

公式法

因式分解法

数字问题

一元二次方程的应用增长率问题

形积问题

02知识速记

一、一元二次方程的定义

(1)一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

(2)概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2.

(3)判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高

次数是2"；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.

二、一元二次方程的一般形式

(1)一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a#0).这种形

式叫一元二次方程的一般形式.

其中ax?叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项.一次项系数b和常数项c可取任

意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就

不是一元二次方程了.

(2)要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.

三、一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解

也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这X"X?是一元二次方程ax2+bx+c=0(aHO)

的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

2

ax/+bxi+c=O(aWO),ax2+bx2+c=0(a#0).

四、解一元二次方程-直接开平方

形如x2=p或(nx+m)2=p(p>0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.

如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=土丘；

如果方程能化成(nx+m)2=p(p>0)的形式，那么nx+m=±Vp.

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.

②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.

③方法是根据平方根的意义开平方.

五、解一元二次方程-配方法

(1)将一元二次方程配成(x+m),^的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配

方法.

(2)用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为ax2+bx+c=0(a#0)的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方

程无实数解.

六、解一元二次方程-公式法

_b+J/_4ac

(1)把x=---=----------(b2-4ac^0)叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的求根公式.

2a

(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式，进而确定a,b,c的值(注意符号)；

②求出b2-4ac的值(若b2-4ac<0,方程无实数根)；

③在b2-4ac20的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①aWO；②b2-4acN0.

七、解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个

因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二

次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得

到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.

八、由实际问题抽象出一元二次方程

在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示

问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程.

九、一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验

和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

(1)数字问题：个位数为a,十位数是b,则这个两位数表示为10b+a.

(2)增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是a,每次增长的百分率为x,则第一次

增长后为a(1+x)；第二次增长后为a(1+x)2,即原数X(1+增长百分率)2=后来数.

(3)形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、矩形、菱形、

梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相似三角形的对应比例关系，

列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程.

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1.审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.

2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.

3.歹!I：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.4.解：准确求

出方程的解.

5.验：检验所求出的根是否符合所列方程

03题型归纳

题型一利用一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程

例1.（23-24八年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

12

A.ax2+ftx+c=0B.—+x=2C.x2+x=y2+1D.2（x+l）=3（x+l）

巩固训练

1.（2023•江苏盐城•模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=0B.y/x2-4=xC.2x2H----1-2=0D.+l）x2-3x=4

2.（23-24八年级下•山东烟台•期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A.x-y=7B.X2+X+2=0

C.2x+—=0D.x(x-3)=2+x2

x

2

3.(23-24八年级下•山东烟台•期中)下列方程中：①R2_2X+1=0；②G?+区+。=0；③—^+3%-5=0；

x

④*=0；⑤（x—iy+v；⑥（2x—1）（%-3）=2-,一元二次方程的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

题型二一元二次方程的一般形式

例2.（23・24八年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）方程（x+3）（x-2）=0化为一元二次方程的一般形式是

巩固训练

1.（23-24八年级下•广西崇左•期中）把方程（3x+2『=4（x-3）2化为一元二次方程的一般形式是.

2.（23-24八年级下•山东东营•阶段练习）把一元二次方程（x+l）（l-x）=2x化成一般形式后得到二次项系数

是，一次项系数是,常数项是.

3.（23-24九年级上•四川南充•阶段练习）方程（2》+1）。-3）=/_1化为一般形式为,二次项系

数、一次项系数、常数项的和为.

题型三利用一元二次方程的定义求参数

例3.（23-24八年级下•安徽六安•阶段练习）若关于x的方程（m+l）x”“+4x-5=0是一元二次方程，则相

的值是（）

A.0B.-1C.1D.±1

巩固训练

1.（2024八年级下•安徽•专题练习）关于x的方程（加-2）/+“+2=3是一元二次方程，则加值为（）

A.2或一2B.2C.-2D.m>0>m#2

2.（23-24八年级下•安徽亳州•期中）若（加-2）y"J-〃?x+l=0是一元二次方程，则用的值为（）

A.2B.-2C.2或-2D.-41

3.（23-24八年级下•安徽池州•期末）若关于x的方程（后-2）X，2+4X-3=0是一元二次方程，则-.

题型四一元二次方程的解求参数的值

例4.（2024•江苏镇江•二模）已知x=2是方程/一3x+c=0的一个根，则实数c的值是.

巩固训练

1.（23-24八年级下•浙江杭州•期中）关于x的一元二次方程，+3丫+优一2=0有一个根为0,则〃?的值是

（）

A.1B.±1C.2D.±2

2.（2024•山东济南•三模）关于x的一元二次方程/一4》+2%=0的一个根玉=4,贝1]%=.

3.（2024・山东济南•二模）已知关于x的一元二次方程2/+加x-6=0的一个根是3,则小的值是.

题型五一元二次方程的解求代数式的值

例5.（2024•青海玉树•三模）若x=3是关于x的方程办2-乐=6的解，则2024-9a+3b的值为.

巩固训练

1.（2024•四川南充•中考真题）已知加是方程前+4尤一1=0的一个根,则（加+5）（加-1）的值为

2.（2024•江苏常州•二模）已知加为方程尤2-3工-6=0的一个根，则代数式-苏+3切-6的值是.

3.（2024•福建•模拟预测）已知外为方程x?+3x-2024=0的根,那么烧3+2罐一2027加+2024的值为

题型六一元二次方程的解的估算

例6.（23-24八年级下•黑龙江大庆•阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程ax2+bx+c=0（。，

b,c为常数，。*0）一个解x的范围为（）

X0.511.523

ax2+bx+c2818104-2

A.0.5<x<lB.Kx<1.5C.1.5<x<2D.2<x<3

巩固训练

1.（23-24八年级下•浙江杭州•阶段练习）已知X2-3X+1=0,依据下表，它的一个解的范围是（）

X2.52.62.72.8

—3x+1-0.25-0.040.190.44

A.2.5<x<2.6B.2.6<x<2.7C.2.7<x<2.8D.不确定

2.（23-24八年级下•江苏苏州•期中）观察表格，一元二次方程f-2x-1.1=0的一个解的取值范围

是.

X1.31.41.51.61.71.81.9

%?-2x-1.1-0.71-0.54-0.35-0.140.090.340.61

题型七用配方法配一元二次方程

例7.（23-24八年级下•浙江金华•期中）用配方法解一元二次方程V-2x=l,配方后得到的方程是（）

A.（x-1）2=2B.（x+1）2=2C.（x+iy=0D.（x-1）2=0

巩固训练

1.（2024•山西阳泉•三模）用配方法解一元二次方程V-8x+10=0配方后得到的方程是（）

+W

2.（2024•内蒙古呼和浩特•模拟预测）用配方法解一元二次方程2x2-5x-1=0,配方正确的是（）

4（T哈瓦［T。・卜=Tn（5丫29

D.x——=——

12J4

3.（23-24八年级下•安徽淮北•阶段练习）用配方法解方程3/一代-3=0,应把它先变形为（）

比卜-3=v叫T=°c[T=|"♦IT

题型八解一元二次方程

例8.（23-24九年级•江苏•假期作业）解关于x的方程（因式分解方法）：

⑴3./-后=0;(2)7x(%-3)=3%-9.

巩固训练

1.（2024八年级下•浙江・专题练习）解方程:

(1)X2-49=0；(2)2(x+l)-49=1.

2.（23-24九年级上•安徽芜湖•期中）用适当的方法解方程：（X-3『=（2X+5）2

3.（23-24八年级下•广西崇左•期中）解方程:

(1)X2-2X-35=0；(2)(x+3)~=2x+6.

4.(23-24八年级下•全国•假期作业)用公式法解下列方程:

(l)x2-x-12=0;

(2)2X2+5X-3=0;

(3)2X2-7X+7=0.

5.（23-24九年级上•海南省直辖县级单位•期末）用配方法解方程:

,7

(l)x2+4x=2；(2)x-3x———0；

(3)4X2-8X=-3；(4)4X2+4X+10=1-8X

题型九解一元二次方程中错解复原问题

例9：（2024•江西吉安•三模）小明解一元二次方程2/+5x+3=0的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题:

53

解：原方程可变形为/+7X+7=0,（第一步）

22

53

:,x2+—X=――,（第二步）

.-.X2+-X+^5=--+—,(第三步)

2424

:+号‘（第四步）

.5+3=±巫，（第五步）

22

-5+V19-5-V19

（第六步）

"xi2，"2.

（1）小明解此方程使用的是法；小明的解答过程是从第步开始出错的.

（2）请写出此题正确的解答过程.

巩固训练

1.（23-24八年级下•全国•假期作业）解方程岳2+4后=2&,某位同学的解答过程如下:

解：:a=V2，b=4^/3,c=2^/2，

••・△=62-4ac=（4@2-4x啦x2夜=32>0,

平3，±2,

2xV2

—

X]-—A/6+2,%2—^6—2.

请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果.

2.(23-24八年级下•广西百色・期中)小涵与小彤两位同学解方程3x(x-6)=(x-6『的过程如下:

小涵的解题过程：

第1步：两边同时除以(x-6)得3x=x-6,

第2步：移项，得3x=x-6,

第3步：解得x=-2.

小彤的解题过程：

第1步：移项，得3Mx-6)-26)2=0,

第2步：提取公因式，得(x-6)(3xr-6)=0.

第3步：则1-6=0或3%-工-6=0,

第4步：解得占=6,毛=2.

(1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第步，小彤第一次出错在第步;

(2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项.

题型十根据判别式判断一元二次方程根的情况

例10.(23-24九年级下•云南昆明•阶段练习)已知关于x的一元二次方程，-5x+5=0的根的情况，下列说

法正确的是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D无法确定

巩固训练

1.(2024•河南周口•三模)关于x的一元二次方程f+2加x-2=0的根的情况是()

A.没有实数根B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

2.（2024・上海•中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）

A.x2—6x=0B.%2-9=0

C.%?—6%+6=0D.x2—6x+9=0

3.（23-24八年级下•安徽六安•阶段练习）下列方程中，没有实数根的是（）

A.2x2=xB.x2-2x+1=0

C.x2—x-6=0D,x2=2x—4

题型十一利用一元二次方程根与系数的关系求值

例11.（2024•江西宜春•模拟预测）一元二次方程/一3尤-1=0的两根分别为a,，，则3（a+/7）=.

巩固训练

1.（2024•江西吉安•一模）已知方程，-4x-3=0的两个根分别为%1，x2,则再七的值为.

2.（2024•广东深圳•模拟预测）若X],&是方程「-2x-l=0的两个根,则2再+2芍-再々的值为一.

3.（2024•江苏南京•三模）设再、马是方程