中考数学专项复习：一次函数（培优考点）（解析版）

专题02一次函数（培优考点）

'丁工【考点导航】

目录

【典型例题】...................................................................................4

【考点——次函数的识别】.................................................................4

【考点二根据一次函数的定义求参数的值】..................................................6

【考点三一次函数与坐标轴的交点坐标】....................................................7

【考点四一次函数的图象和性质】...........................................................9

【考点五画一次函数的图象】..............................................................12

【考点六求一次函数的表达式】............................................................18

“丁工【聚焦考点】

【知识点1函数的概念】

一般地，在某一变化过程中有两个变量X与如果给定一个X值，相应地就确定了一个J值，那么我们称

y是x的函数，其中x是自变量，j是因变量.

注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是

否对应唯一确定的y值.

【知识点2求函数的值】

（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个.（2）

函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变

量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值.

【知识点3函数的图象】

把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的

对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象.

【知识点4一次函数和正比例函数的概念】

一般地，若两个变量x,8间的关系可以表示成y=Ax+6（k,分为常数，R0）的形式，则称y是x的一

次函数（X为自变量，y为因变量）.

特别地，当一次函数>=自+6中的30时（即y=@为常数,AW0）,称y是x的正比例函数.

【知识点5正比例函数和一次函数解析式的确定】

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式>=依（AW0）中的常数左确定一个一次函数,

需要确定一次函数定义式.v=fcc+b（AW0）中的常数4和4解这类问题的一般方法是待定系数法.

【知识点6一次函数与正比例函数的图象与性质】

1、正比例函数的图象与性质

解析式y=kx(kH0)

自变量取值范围全体实数

形状过原点的一条直线

k的取值k>0k<0

图象示意图

4K

位置经过一、三象限经过二、四象限

趋势从左向右上升从左向右下降

y随x的增大而增大，y随x的增大而减小

函数增减性

即：当xi>x2时，yi>y2即:当xi>X2时，yi<y2

2、一次函数的图象与性质

解析式y=kx+b(k。0)

自变量取值范围全体实数

图象形状过（0,b）和（-10）的一条直线

直线y=kx+b与y轴相交于（0,b）力叫做直线y=kx+b

定义

在y轴上的截距，简称截距

举例直线y=-2x-3的截距是-3

【知识点7一次函数与一元一次方程、不等式的关系】

1.任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=Q（k、8为常数，/0）的形式.

而一次函数解析式形式正是产（A、6为常数，际0）.当函数值为0时，□即h+ZM）就与一元一次方

程完全相同.

结论：由于任何一元一次方程都可转化为h+6=0（A、分为常数，原0）的形式.所以解一元一次方程可以

转化为：当一次函数值为。时，求相应的自变量的值.

从图象上看，这相当于已知直线y=Ax+6确定它与x轴交点的横坐标值.

2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于。时，求自变量相应的取值范围.

1——1【典型例题】

【考点——次函数的识别】

【例题1】（2023春・上海•八年级专题练习）下列函数是一次函数的是（）

A.y=-B.>=C.y=x2+2D.y=kx+b（左，6是常数）

X

【答案】B

【分析】根据一次函数的定义即可解答.

【详解】解：A.>不是一次函数，故/不符合题意；

X

B.y=-x是一次函数，故8符合题意；

C.v=/+2是一次函数，故C不符合题意；

D.y=kx+b（k,b是常数,七0）是一次函数，故。不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，形如y=h+b1,6为常数，七0）的函数是一次函数.

【变式1T】（2023春•重庆九龙坡•八年级重庆实验外国语学校校考期中）下列关于x的函数是一次函数的

是（）

A.y=x2+lB.y=kx+bC.>=xD.y=x（x-l）

【答案】C

【分析】根据一次函数的定义：形如>=履+6（左/0）,这样的函数叫做一次函数，逐一进行判断即可.

【详解】解：/、x的次数为2次，不是一次函数，不符合题意；

B、当先=0时，不是一次函数，不符合题意；

C、是一次函数，符合题意；

D、y^x（x-l^x2-x,x的最高次数为2次，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题考查一次函数的识别.熟练掌握一次函数的定义，是解题的关键.

【变式1-2］（2023春・上海•八年级专题练习）下列函数①），='=f；（3）y=^x.=是

一次函数的是（）

A.①③B.①④C.②③④D.①③④

【答案】C

【分析】根据一次函数的定义解答即可.

【详解】解：①;-:不是一次函数，故①不符合题意；

②y=q是一次函数，故②符合题意；

③了=»x是一次函数，故③符合题意；

④）二苫1是一次函数，故④符题意；

・••是一次函数的是②③④，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一次函数的定义.解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数>=履+6的定义条

件是：K6为常数，00,自变量次数为1.

【变式「3】（2023春•全国•八年级专题练习）下列函数：①（2）y=--；③>=3x；④

6x2

y=3x2-2；⑤y=/-（x-3）（x+2）；⑥y=6，.其中，是一次函数的有（）

4.5个8.4个C.3个D2个

【答案】C

【分析】根据一次函数的定义逐项分析判断即可即可求解.

【详解】解：@y=^,正比例函数，属于一次函数，符合题意；

②不是整式，不符合题意；

③k-gx+3,符合题意；

④x的次数是2,不符合题意；

⑤y=Y-x-6）=x+6,符合题意；

⑥这是x次方，不是1次，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查一次函数的概念，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的概念.一次函数〉=区+6中底

6为常数，k#0,自变量次数为1.

【考点二根据一次函数的定义求参数的值】

【例题2】（2023春•八年级单元测试）若尸（加-1）/网+1是关于x的一次函数，则〃?的值为（）

A.1B.-1C.±1D.±2

【答案】B

【分析】根据一次函数的定义可得2-|同=1,进一步求解即可.

【详解】解：•.？=（加一是关于x的一次函数，

2-|m|=1,"?-1片0,

..YYI——1,

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键.

【变式2-112023春•河北唐山•八年级统考期中）如果»=（加-2）x"J+2是一次函数，那么〃?的值是（）

A.2B.-2C.±2D.±72

【答案】B

【分析】根据一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③整式方程，并且注意，

一次项系数不能为0,列式求解即可得到答案.

【详解】解：•••F=（加-2口4+2是一次函数，

3=1,且%-2w0,解得m=-2,

故选：B.

【点睛】本题考查根据一次函数定义求参数，掌握一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数

为1次；③整式方程，并且注意，一次项系数不能为0,准确列式是解决问题的关键.

【变式2-2］（2023春•八年级单元测试）若函数y=（〃Ll）x网-5是一次函数，则加的值为.

【答案】-1

【分析】由一次函数的定义得出网=1且加-1R0,由此求解即可.

【详解】解：・函数了=（加-1口侧一5是一次函数，

.•.同=1且机-1H0,

m=±1且加w1,

.*.m=-\

故答案为：-1.

【点睛】本题考查了一次函数的定义，形如〉=h+b（七0,k、b为常数）的式子，叫做一次函数.正确理

解一次函数定义是解答此题的关键.

【变式2-3］（2023春・全国•八年级期末）若关于X的函数＞=（〃?-3）/T-6是一次函数，则〃?的值为

【答案】1

【分析】根据一次函数的定义进行求解即可.

【详解】解：•••关于x的函数》=（加-3）尤斤4一6是一次函数，

［加-3w0

"||m-2|=1'

；.m=1,

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键,一般地，形如了=近+6（后W0）,

且鼠b是常数的函数叫做一次函数.

【考点三一次函数与坐标轴的交点坐标】

【例题3】（2023春・北京通州•八年级潞河中学校考阶段练习）一次函数J=x-2与x轴的交点坐标为

，与y轴的交点坐标是.

【答案】（2,0）（0,-2）

【分析】令x=0,解得y,令v=0,解得x,即为函数与y轴、x轴交点坐标.

【详解】解：令尸。，即x-2=0,解得x=2,

・•・与x轴的交点坐标为（2,0）.

令x=0,y=-2,

.•・与y轴的交点坐标为（0,-2）.

故答案为:（2,0）,（0,-2）.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解

析式是解答此题的关键.

【变式3-1］（2023春•江苏•八年级开学考试）一次函数＞=2x+3的图像与x轴的交点坐标是_.

【答案】卜|可

【分析】令一次函数解析式中，=0,则可得出关于x的一元一次方程，解方程得出x值，从而得出一次函数

图像与x轴的交点坐标.

【详解】解：对于一次函数y=2x+3

令y=0,则有2x+3=0,

3

解得x=-］,

3

・•・一次函数丁=-2x+3的图像与x轴的交点坐标为（-5，。）.

3

故答案为：（-1,0）.

【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点、解一元一次方程等知识，熟知一次函数图像上各点的坐

标的特征是解答此题的关键.

【变式3-2］（2023春・上海•八年级专题练习）一次函数了=-以-2的图象与x轴的交点坐标是.

【答案】卜;可

【分析】将＞=0代入了=-以-2,求出x值，进而可得出一次函数y=-4x-2的图象与x轴的交点坐标.

【详解】解：当P=0时，-4x-2=0,

解得：尤=一；，

二一次函数y=-4x-2的图象与x轴的交点坐标是

故答案为：

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式＞6

是解题的关键.

【变式3-3］（2023春・全国•八年级假期作业）直线尸2x-3与x轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标

是.

3

【答案】（2，0）/（1.5,0）（0,-3）

【分析】分别根据X、歹轴上点的坐标特点进行解答即可.

33

【详解】令y=0,则2x-3=0,解得：x=-,故直线与x轴的交点坐标为：（5,0）；

令x=0,则y=-3,故直线与y轴的交点坐标为：（0,-3）.

3

故答案为（］，0）,（0,-3）.

【点睛】本题考查了X、＞轴上点的坐标特点及一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数与坐标轴交点问题

是解题的关键.

【考点四一次函数的图象和性质】

【例题4】（2023春•八年级单元测试）对于一次函数.v=-2x+4,下列结论正确的是（）

A.函数值了随自变量x的增大而增大B.函数的图象经过第三象限

C.函数的图像与x轴的交点坐标是（0,4）D.函数的图像向下平移4个单位得＞=-2x的图像

【答案】D

【分析】根据一次函数的解析式，图像的性质即可求解.

【详解】解：一次函数了=-2X+4,左=一2＜0,6=4＞0,

.•・函数值y随自变量x的增大而减小，故A选项错误，不符合题意；

函数图像经过第一、二、四象限，故B选项错误，不符合题意；

当x=0时，y=4,函数的图像与了轴的交点坐标是（0,4）,故C选项错误，不符合题意；

一次函数＞=-2x+4向下平移4个单位得了=-2x的图像，故D选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查一次函数的知识，理解一次函数解析式中"涉的意义，图像的性质是解题的关键.

【变式4-1］（2023春•浙江•八年级开学考试）对于函数＞=-3x+l,下列说法正确的是（）

A.它的图象必经过点（1,3）B.它的图象经过第一、三、四象限

C.它的图象与x轴的交点为D.当x＞0时，y＜0

【答案】C

【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y=-3x+l的图象不过点（1,3）,可判定/；利

用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数＞=-3x+l的图象经过第一、二、四象限，可判定8；利用

一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数＞=-3x+l的图象与x轴的交点为1a）,可判定C；利用

一次函数的性质，可得出当x>0时，y<l,可判定D

【详解】解：/、当x=l时，y=-3xl+l=-2^-3,

二一次函数了=-3x+1的图象不过点（1,3）,故此选项不符合题意；

B、•.•左=—3<0,=1>0,

・•・一次函数V=-3x+l的图象经过第一、二、四象限，故此选项不符合题意；

C、当y=0时，-3x+l=0,

解得：x=；，

，一次函数了=-3x+l的图象与x轴的交点为（；,0）,故此选项符合题意；

D、当x>0时，y<-3x0+1=1,故此选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐

一分析四个选项的正误是解题的关键.

【变式4-2］（2023春•全国•八年级专题练习）关于一次函数>=2x-4的图像，下列叙述中：①必经过点

（1,2）；②与x轴的交点坐标是（0,-4）；③过一、三、四象限；④可由N=2x平移得到，正确的个数

是（）个

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】将x=l代入函数求出了的值即可判断①；根据函数图像与了轴的交点坐标即可判断②；根据一次

函数中的左=2>0,6=-4<0即可判断③；根据一次函数图像的平移规律即可判断④.

【详解】解：对于一次函数？=2x-4,

当工二］时，》=2—4=一2,

即函数图像经过点（1,-2）,叙述①错误；

当x=0时，>=一4,

即函数图像与丁轴的交点坐标是（0,-4）,叙述②错误；

一次函数V=2x-4中的左=2>0,6=-4<0,

则函数图像经过一、三、四象限，叙述③正确；

将函数N=2X的图像向下平移4个单位长度可得到函数丁=2x-4的图像，叙述④正确；

综上，正确的个数是2个，

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质、一次函数图像的平移，熟练掌握一次函数的图像与性质是解

题关键.

【变式4-3]（2023春•八年级课时练习）一次函数歹=履+6"#0）的x与歹的部分对应值如下表所示：

X-213

y742

根据表中数据分析，下列结论正确的是（）

/.该函数的图象与x轴的交点坐标是（2,0）

B.将该函数的图象向下平移4个单位长度得〉=一》的图象

C.若点（1，%）、（3,%）均在该函数图象上，则弘＞％

D.该函数的图象经过第一、二、三象限

【答案】C

【分析】先根据条件列出方程求出该一次函数解析式为y=f+5,把x=2代入函数解析式即可判断/选项，

根据一次函数的平移性质求出平移后的图象可判断8选项，最后根据一次函数的图象性质即可直接判断C、

Z）选项.

【详解】解：根据题意得：当x=l时，y=4；当x=3时，＞=2；

\k+b=4\k=-l

、，解得：,「，

[3k+b=2[b=j

・•・该一次函数解析式为y=r+5,

当％=2时，y=—2+5=3,

图象不经过点（2,0）,即该函数的图象与x轴的交点坐标不是（2,0）,故/选项错误；

若将＞=f+5的函数图象向下平移4个单位长度，得到的函数图象为了=-x+l,故8选项错误；

k=-1,b=5,

3随x的增大而减小，故C选项正确；图象经过一、二、四象限，故。选项错误；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质

是解题的关键.

【考点五画一次函数的图象】

【例题5】(2023秋•江苏淮安•八年级统考期末)已知一次函数y=2x-4,完成下列问题:

⑴在直角坐标系中画出该函数的图象;

⑵观察图象，当0W无W4时，y取值范围是:

⑶将直线y=2x-4平移后经过点(-1,1),直接写出平移后的直线表达式

【答案】⑴见解析

(2)-4<y<4

(3)，=2x+3

【分析】(1)分别求得直线与坐标轴的交点，进而画出函数图象；

(2)观察图象即可求解；

(3)设平移后的解析式为y=2x-4+机，将点(-M)代入，待定系数法求解析式即可求解.

【详解】(1)解：由>=2x-4,当x=0时，y=-4,

当y=0时，x=2,则一次函数经过点(0,-4),(2,0),

如图所示,

(2)观察图象，当0WxW4时，y取值范围是-4Wy44；

(3)解：•••将直线＞=2x-4平移后经过点

设向上平移机个单位，则直线解析式为＞=2x-4+机

将点(-M),代入得，-lx2-4+m=l,

解得：m=7

・•・歹=2%-4+7=2x+3

即y=2x+3,

故答案为：y=2x+3.

【点睛】本题考查了画一次函数图象，一次函数的平移，根据自变量的范围求函数的取值范围，熟练掌握

一次函数的性质是解题的关键.

【变式5-1](2023春•广西南宁•八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习)已知了关于X的函数解析式为:

y=-2x+4.

⑴请根据表格填空；

XL123nL

yL20m-6L

m=；n=

⑵在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图像;

(3)将函数V=-2x+4的图像向下平移6个单位长度后对应的函数解析式为：

【答案】⑴-2,5

⑵见解析

(3)y=—2x—2

【分析】(1)分别令x=3,y=-6,求出对应值，可得加，n；

(2)描点，连线即可；

(3)根据平移的规律，上加下减即可求解.

【详解】(1)解：当x=3时，y=-2x3+4=-2；

当、=-6时，x=5；

m=—1,n=5,

故答案为：-2,5；

(2)如图，即为所求；

(3)将函数V=-2x+4的图像向下平移6个单位长度后，

对应的函数解析式为＞=-2》+4-6,即y=-2x-2.

【点睛】本题考查了一次函数的图像，解题的关键是掌握函数图像的画法，也考查了函数图像的平移.

【变式5-2］（2023春,八年级单元测试）已知一次函数昨-gx+1,它的图象与x轴交于点与y轴交于

点B.

⑵画出此函数图象；

⑶写出一次函数y=-；x+l图象向下平移3个单位长度后所得图象对应的表达式.

【答案】⑴（2,0）,（0,1）；

⑵图象见解析；

（3）7=-1^-2

【分析】（1）将歹=0代入＞=一；》+1，求出x的值，得到点/的坐标，将x=0代入＞=一；》+1,求出y的

值，得到点8的坐标；

（2）根据一次函数的性质，过42两点画直线即可得到图象；

（3）根据直线平移的规律，即可得到对应的表达式.

【详解】（1）解:将y=。代入y=-gx+l,

得--无+1=0,解得x=2,

2

则点力的坐标为（2,0）；

将x=0代入y=-gx+l,

得y=_gx0+l=l,

则点2的坐标为（0,1）,

故答案为：（2,0）,（0,1）；

(2)解：函数图象如下图:

(3)解：将＞=-白+1向下平移三个单位后，得到y=_gx+l-3,

即平移后对应的表达式为了=-gx-2.

【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数平移问题，熟练掌握一次函数的性质和平移的规律

是解题关键，属于基础题型.

【变式5-3](2023•全国•八年级专题练习)在如图的直角坐标系中，画出函数了=-2x+3的图象，并结合图

象回答下列问题:

।一；…；…-r-4-

\......\.......>......i••…3-

1•……：・……:•……：••…2-

|…j……f…j-…1-

J-----i-------i-------1->

-4-3-2-10~1234x

⑴在如图的直角坐标系中，画出函数＞=-2x+3的图象;

⑵若该函数图象与x轴交于点/,与了轴交于点8,求点/、8的坐标;

⑶问点尸(5,-1)和。(-2,7)在这个图象上吗？请说明理由.

【答案】⑴见解析

⑵W，5(0,3)

(3)P不在，0在，理由见解析

【分析】(1)描点画出图象即可;

3

(2)分别求出当x=0时，y=3,当y=0时，%=-,即得出点43的坐标;

(3)分别求出当x=5和当x=-2时，V的值，即可判断.

【详解】(1)对于＞=-2x+3,当x=0时，＞=3,

当x=l时，y=-2x1+3=1,

・•・该一次函数过点(0,3),(1,1),

令＞=0,贝『2x+3=0,

解得：尤=》3

-.3(0,3)；

(3)点P(5,-l)不在这个图象上，点0(-2,7)在这个图象上.理由如下：

当X=5时，y=-2x+3=-7,

点尸(5,-1)不在这个图象上；

当X=-2时，y=-2x+3=7,

.,.点0(-2,7)在这个图象上.

【点睛】本题考查画一次函数图象，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象上的点的坐标特征.掌

握函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键.

【考点六求一次函数的表达式】

【例题6】(2023春•八年级单元测试)一次函数经过点(1，2)、点(-1,6),

⑴求这个一次函数的解析式；

⑵求这个一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积.

［答案］⑴y=-2X+4

(2)4

【分析】(1)利用待定系数法，求一次函数解析式即可；

(2)先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后再求出三角形的面积即可.

【详解】(1)解：设这个一次函数的解析式为＞=丘+"将点(1，2),(-1,6)代入得:

k+6=2

［~k+b=6f

\k=-2

解得，

・•・这个一次函数的解析式为V=-2x+4；

(2)解:设这个一次函数与x轴交于点与丁轴交于点2,

把＞=0代入得一2x+4=0,

解得：x=2,

把x=0代入得：y=4,

.♦.4(2,0),8(0,4),

・•・LOB=2x4+2=4・

【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴围成的图形面积，解题的关键是熟练

掌握待定系数法.

【变式6-1］（2023•广东广州•统考一模）已知y与x+2成正比例，当x=-3时，y=3.

⑴求〉与x的函数解析式；

⑵若（1）中函数的图象与一次函数V=2x+4的图象相交于点）,求点/的坐标.

【答案】⑴〉=一3》一6

⑵（-2,0）

【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；

（2）根据题意建立二元一次方程组求解即可.

【详解】（1）解：设函数解析式为：y=k（x+2）,

,・,当x=-3时，y=3,

左（—3+2）=3,解得：k=—3,

号与x的函数解析式为：y=-3（x+2）=-3x-6；

fy=—3x—6［x=—2

（2）解：根据题意，建立方程组..”，解得八，

・••点/的坐标为：（-2,0）.

【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组，熟练掌握待定系数法求函

数解析式是解题的关键.

【变式6-2］（2023春•吉林长春•八年级长春外国语学校校考期中）已知直线了=6+"左力。）经过点

/（0,4）,且平行于直线y=-2x.

⑴求该直线的函数关系式；

⑵如果这条直线经过点P（m,2）,求m的值.

【答案】⑴尸-2X+4；

⑵1.

【分析】（1）利用平行直线的解析式一次项系数相等得到上的值，再代入4（0,4）计算得b的值；

（2）将尸（加,2）代入（1）中求出的解析式，计算求解加的值即可.

【详解】（1）♦.•直线y=H+6,*0）平行于直线y=-2x,

k=-2

代入/(0,4)得4=0、