中考数学专项复习：切线的性质与判定重难点题型分类（解析版）

专题07切线的性质与判定重难点题型分类福分必刷题

专题简介：本份资料包含《切线的性质与判定》这一节在没涉及相似之前各名校常考的主流

题型，具体包含的题型有：切线的性质、切线长定理、切线的判定这四类题型；其中，重点

是切线的判定这一大类题型，本资料把证明切线的判定方法归纳成四种类型：第I类：用等

量代换证半径与直线的夹角等于90°；第I类:用平行+垂直证半径与直线的夹角等于90°；

第n类：用全等证半径与直线的夹角等于90°；第IV类：没标出切点时，证圆心到直线的

距离等于半径。本份资料所选题目均出自各名校初三试题，很适合培训学校的老师给学生作

切线的专题复习时使用，也适合于想在切线的性质与判定上有系统提升的学生自主刷题使用O

切线的性质：告诉相切，立即连接圆心与切点，得到半径与切线的夹

角等于90。o

1.如图，AB是。0的切线，点B为切点，连接A0并延长交。0于点C,连接BC.若/A

【解答】解：连接OB,VAB是。0的切线，AOB_LAB,?.ZABO=90°,VZA=26°,

AZAOB=90°-26°=64°,由圆周角定理得，ZC=-lzA0B=32°,

2

故选：B.

2.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，OP与x轴相切于点Q,与y轴交于M

(0,2),N(0,8)两点，则点P的坐标是()

【解答】解：过点P作PDLMN于D,连接PQ.「OP与x轴相切于点Q,与y轴交于M

(0,2),N(0,8)两点,A0M=2,N0=8,/.NM=6,VPDJLNM,/.DM=3；.0D=5,

AOQ2=0M«0N=2X8=16,0Q=4.；.PD=4,PQ=0D=3+2=5.即点P的坐标是(4,

5).

故选：D.

3.(长郡)如图，RtAABC中，/C=90°,0为直角边BC上一点，以0为圆心，0C为

半径的圆恰好与斜边AB相切于点D,与BC交于另一点E.

(1)求证：△AOC^AAOD；

(2)若BE=1,BD=3,求。。的半径及图中阴影部分的面积S.

【解答】(1)证明：VAB切。0于D,；.0D±AB,VRtAABC中，ZC=90°,

在Rt^AOC和RtZiAOD中，J0C-0D.\RtAAOC^RtAAOD(HL).

IAO=AO

(2)解：设半径为r,在RtZ\ODB中，胫+32=(r+1)2,解得r=4；

由⑴有AC=AD,AB=AD+DB=AC+DB=AC+3,BC=BE+2r=1+8=9,

在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC2+92=(AC+3)2,解得AC=12,

.\S=—AC«BC--T^=—X12X9--nX42=54-8it.

2222

4.如图，在RtAABC中，ZABC=90°,斜边AC的垂直平分线DE交BC于点D,交AC

于点E,连接BE,经过C、D、E三点作00,

(1)求证：CD是。0的直径；

(2)若BE是。0的切线，求/ACB的度数；

(3)当AB=2«,BC=6时，求图中阴影部分的面积.

【解答】(1)证明：：AC的垂直平分线是DE,/CED=90°,ACD是。0的直径；

(2)解：连接0E,VOE=0C,：.ZC=Z0EC,•若BE是。0的切线，ABE±0E,

ZBED+ZDE0=/DEO+Z0EC=90°,/.ZBED=Z0EC,VBE是RtZ\ABC斜边中线,

ABE=EC,

ZEBC=ZC=ZOEC，在ABEC中，NEBC+NC+N0EC+ZBE0=180°,.\ZC=30o.

(3)解：：AB=26,BC=6,...tarC=返，ZC=30°,AC=2AB=4i/3,AEC=273,

3

・・_CE

・cosNC="-■，

CD

/.cos30°=^^-,ACD=4,.\OC=4-CD=2,'ZZC=ZCEO=30°,AZCOE=120°,

CD2

二扇形OEC的面积为120兀X2：=gn,作OFLEC,垂足是F,：/C=30°,；.0F=

3603

-^-OC=1,AAOCE的面积为卷义27取1=鱼，即阴影部分的面积为•!■”>/反

切线长定理:

5.如图，PA,PB分别切。0于点A,B,0P交。0于点C,连接AB,下列结论中，错误

【解答】解：由切线长定理可得：Z1=Z2,PA=PB,从而ABLOP.因此A.B.C都正

确.

无法得出AB=PA=PB,可知：D是错误的.综上可知：只有D是错误的.

故选：D.

6.（长郡）如图，PA、PB切。0于点A、B,PA=10,CD切。0于点E,交PA、PB于C、

D两点,则4PCD的周长是（）

【解答】解：VPA>PB切。0于点A、B,CD切。0于点E,.\PA=PB=10,CA=CE,

DE=DB,

.二△PCD的周长是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20.

故选：c.

7.如图，四边形ABCD是。0的外切四边形，且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周

长为()

A.44B.42C.46D.47

【解答】解：：四边形ABCD是。0的外切四边形，；.AD+BC=AB+CD=22,

四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=44,

故选：A.

8.(青竹湖)如图，在梯形ABCD中，AD//BC,/B=90°,以AB为直径作。0,恰与另

一腰CD相切于点E,连接0D、0C、BE.

(1)求证：OD"BE；

(2)若梯形ABCD的面积是48,设OD=x,OC=y,且x+y=14,求CD的长.

VCD是。0的切线，/.OE±CD,在Rt/XOADRtAOED,,I；.Rtz\OAD四Rt

}OD=OD

△OED(HL)

/.ZAOD=ZE0D=—ZAOE,在。0中，ZABE=—ZAOE,ZAOD=/ABE,

22

.,.OD//BE(同位角相等，两直线平行).

(2)解：与(1)同理可证：RtACOE^RtACOB,ZCOE=ZC0B=AzBOE,:

2

==J

NDOE+ZC0E=90°,ACOD是直角二角形，•・•$△□£()^ADAO，^AOCE^ACOB

=2S+S

S梯形ABCD(ADOEACOE)=2S^COD=℃-OD=48,即xy=48,XVx+y=14,Ax2+y2

(x+y)2-2xy=142-2X48=100,

在Rt^COD中，CD='其2制口2=氏2+/=7135=10,ACD=10.

内切圆与外接圆半径问题

9.两直角边长分别为6cm、8cm的直角三角形外接圆半径是cm.

【解答】解：：直角边长分别为6cm和8cm,.•.斜边是10cm,.•.这个直角三角形的外接圆

的半径为5cm.

故答案为：5.

10.已知，RtAABC中，ZC=90°,AC=6,AB=10,则三角形内切圆的半径为.

22=22=8,

【解答】解：：/C=90°,AC=6,AB=10,ABC=^AB-ACV10-6

/.△ABC的内切圆半径r=6+>I。=2.故答案是：2.

2

11.在RtAABC中，/C=90°,AB=6,4ABC的内切圆半径为1,则4ABC的周长为（）

A.13B.14C.15D.16

【解答】解：根据直角三角形的内切圆的半径公式，得上（AC+BC-AB）=1,AAC+BC

2

=8.

则三角形的周长=8+6=14.

故选:B.

12.（雅礼）已知三角形三边分别为3、4、5,则该三角形内心与外心之间的距离为.

【解答】解：♦.,三角形三边分别为3、4、5,.•.三角形是直角三角形，如图，设RtzXABC,

ZC=90°,

AC=3,BC=4,AB=5,如图，RtAABC的内切圆的半径为r,贝!JOD=OE=r,VZC=90°,

；.CE=CD=r,

AE=AN=3-r,BD=BN=4W，4F+3T=5,解得r=l,；.AN=2,在RtZsOMN中，MN=AM那=

1

2，

/.OM手，则该三角形内心与外心之间的距离为手.

13.（长沙中考）如图，在4ABC中，AD是边BC上的中线，ZBAD=/CAD,CE〃AD,

CE交BA的延长线于点E,BC=8,AD=3.

(1)求CE的长；

(2)求证：AABC为等腰三角形.

(3)求AABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离.

【解答】(1)解：：AD是边BC上的中线，；.BD=CD，:CE〃AD,；.AD为4BCE的中

位线，

；.CE=2AD=6；

(2)证明：VCE/7AD,ZBAD=ZE,ZCAD=ZACE,而/BAD=ZCAD,ZACE

=/E,

AAE=AC,而AB=AE,AAB=AC,/.AABC为等腰三角形.

(3)如图，连接BP、BQ、CQ,在Rtz^ABD中，AB=J^2^2=5,设。P的半径为R,

©Q的半径为r,

在RtZ^PBD中，(R-3)2+42=R2,解得R=生，；.PD=PA-AD=生-3=工，

666

S+S+S=S

,,-AABQABCQAACQAABC,解得『亲即QD=

-4-,

3

74r

APQ=PD+QD

632

答：AABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为

2

14.(青竹湖)如图，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD对角线，DGAC于点G,延

长DG交AB于点E,已知AD6,CD8。

(1)求AE的长；

(2)若0、0分别是4ADG、ADCG的内心，求0、0两点间的距离.

1212Q

【解答】(1)・・•ADGACD・•・tanADEtanACD--工

84

3Q

AEAFtanADE6——

42

18243224

/c\AGGDADb

⑵ryy6,CGGDCDE目连接GO

月~

°12~~2525

?2

GO,0,0分别为＞ADCG的内心，,0GO90,GO-y/2,GO

21212i52

00JGO2GO22点。

12Vl2

切线的判定：有切点，用几何方法：证半径与直线的夹角等于90。(含

三小类);

无切点，用代数方法：证圆心到直线的距离等于半径。

第I类：用等量代换证半径与直线的夹角等于90°

15.(长郡)已知：如图，在4ABC中，D是AB边上一点，圆0过D、B、C三点，ZD0C

=2/ACD=90

(1)求证：直线AC是圆0的切线；

(2)如果/ACB=75°,圆0的半径为2,求BD的长.

【解答】(1)证明：；0D=0C,ZD0C=90°,AZ0DC=Z0CD=45°.ZD0C=2

ZACD=90°,

ZACD=45°.ZACD+Z0CD=Z0CA=90°.•点C在圆0上，直线AC是

圆0的切线.

(2)解：方法1：VOD=0C=2,ZDOC=90°,ACD=2点.：/ACB=75°,ZACD

=45。，

；./BCD=30°,作DE±BC于点E,则/DEC=90°,/.DE=DCsin30=&.VZB

=45。，

.\DB=2.

方法2：连接BO•?ZACB=75°,ZACD=45°,Z.ZBCD=30°,：.ZBOD=60°VOD

=0B=2

.,.△BOD是等边三角形，BD=0D=2.

16.（青竹湖）已知如图，以RtaABC的AC边为直径作。0交斜边AB于点E,连接E0并

延长交BC的延长线于点D,点F为BC的中点，连接EF.

（1）求证：EF是。0的切线；

（2）若。0的半径为3,ZEAC=60°,求AD的长.

【解答】证明：（1）如图1,连接F0,VF为BC的中点，AO=C0,AOF〃AB,

VAC是。0的直径，；.CE，AE,V0F/7AB,.\0F±CE,.,.OF所在直线垂直平分CE,

AFC=FE,0E=0C,：.ZFEC=/FCE,ZOEC=/OCE,,/ZACB=90°,即：Z0CE+

ZFCE=90°,：.ZOEC+ZFEC=90°,即：ZFEO=90°,AFE为。0的切线；

(2)如图2,V©0的半径为3,AAO=C0=E0=3,ZEAC=60°,OA=0E,AZ

EOA=60°,

ZCOD=ZE0A=60°,V®RtAOCD中，ZCOD=60°,OC=3,ACD=3^3,

V^RtAACD中，ZACD=90°,CD=373.AC=6,/.AD=377.

17.（周南）如图，©0为ABC的外接圆，D为0C与AB的交点，E为线段0C延长线

上一点，且EACABC.

（1球证：直线AE是。0的切线.

（2港D为AB的中点，CD6,AB16.①求。0的半径;

②求ABC的内心到点。的距离.

【解答】证明：(1)连接A0，并延长A0交于点F,连接CF

EACF,

EACFAC90,EAF90,且A0是半径，直线AE是0。的切线.

(2)①如图，连接A0,D为AB的中点，0D过圆心，0DAB,ADBD-AB4,

-00的半径为空

,/AO2AD2DO2,AO216(AOCD)2,AO

66

②如图，作CAB的平分线交CD于点H,连接BH，过点H作HMAC,HNBC,

-,-0DAB，ADBDACBC,且ADBDCD平分ACB，且AH平分CAB，

点H是ABC的内心，且HMAC,HNBC,HDABMHNHDH

在RtACD中，AC"AD2CD25BC,­.•SSSS,

ABCACHABHBCH

-8315MH18DH-5NH

2222

•/OHCOCHCOCDDH)

5

OH

2

第I段：用平行+垂直证半径与直线的夹角等于90。

18.（青竹湖）如图，4ABC内接于CA=CB,CD〃AB且与0A的延长线交于点D.

（1）判断CD与。0的位置关系并说明理由；

【解答】解：（1）CD与。0相切.理由如下：如图，连接0C,：CA=CB,AC=CB

.\0C±AB,VCD〃AB,AOC±CD,VOC是半径，ACD与00相切.

（2）；CA=CB,ZACB=120°,AZABC=30°,ZDOC=60°ZD=30°,

：.0C=-j-ODVOA=0C=2,ADO=4,/.CD2=273

=^DQ2_QC

19.（南雅）如图，点B、C、D都在。0上，过点C作AC〃BD交0B延长线于点A,连接

CD,且/CDB=/OBD=30°,BD=6«cm.

（1）求证：AC是。0的切线.

（2）求。0的半径长.

（3）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积（结果保留Ji）.

【解答】(1)证明：连接CO.VZCDB=Z0BD=30°,/.ZBOC=60°,AZ0HB=90°.

VAC/7BD,/.ZAC0=Z0HB=90°.；.AC为。0切线.

解：(2)ZACO=90°,AC〃BD,AZBEO=ZAC0=90°.，DE=BE=与9=3«.

在Rt^BEO中，sinZO=sin60=—,.•.返产时.；.0B=6.

OB2OB

即。0的半径长为6cm.

(3),?ZCDB=/OBD=30°，又YNCED=ZBEO，BE=ED,ACDE^AOBE.

60兀X$2

(cm2)

、阴-3扇OK-360-=6兀

答：阴影部分的面积为6迎m2.

20.(北雅)如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZBAC的角平分线AD交BC边于D.以

AB上某一点0为圆心作。0,使。0经过点A和点D.

(1)判断直线BC与。0的位置关系，并说明理由；

(2)若AC=3,ZB=30°.

①求。0的半径；

②设。0与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图

形面积.(结果保留根号和“)

【解答】解：(1)直线BC与。0相切；连接0D,VOA=0D,AZOAD=ZODA,

ZBAC的角平分线AD交BC边于D,ZCAD=ZOAD,：.ZCAD=ZODA,

AOD〃AC,ZODB=/C=90°,即OD±BC.又\•直线BC过半径OD的外端，

直线BC与。0相切.

(2)设0A=0D=r,在RtZXBDO中，ZB=30°,A0B=2r,在Rt^ACB中，ZB=30°,

；.AB=2AC=6,3r=6,解得r=2.

2

K

(3)在RtZ^ACB中，ZB=30°,Z.ZBOD=60°.AS^^0DE-

VZB=30°,0D±BC,A0B=20D,AAB=30D,VAB=2AC=6,AOD=2,BD=2«

S

ABOD=^X0D・BD=26，所求图形面积为S^BOD-S扇WODE=2相-营冗.

21.如图，点C在以AB为直径的。0上，BD平分/ABC交。0于点D,过D作BC的

垂线，垂足为E.

(1)求证：DE与。0相切；

(2)若AB=5,BE=4,求BD的长；

(3)请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由.

【解答】(1)证明：连接0D,VOD=0B,AZODB=ZOBD,VBD平分/ABC,AZ

OBD=/CBD,

/.ZODB=ZCBD,AOD//BE,VBE±DE,AODIDE,ADE与。0相切；

(2)解：VAB是。0的直径，ZADB=90°,VBE±DE,ZADB=ZBED=90°,

VBD平分NABC,

ADDF|Rpn.—

.,./OBD=NCBD,.♦.△ABD^ADBE,ABD=275;

BDBEBD4

(3)解：结论CE=AB-BE,理由：过D作DH±AB于H,VBD平分/ABC,DE±BE,

fnR=DH

ADH=DE,在RtZXBED与RtZiBHD中，I,ARtABED^RtABHD(HL),

(BD=BD

；.BH=BE,VZDCE+ZBCD=/A+/BCD=180°,ZDCE=/A,：/DHA=/DEC

=90

/.△ADH^ACDE(AAS),AAH=CE,VAB=AH+BH,/.AB=BE+CE,ACE=AB-BE.

第H类：用全等证半径与直线的夹角等于90。

22.如图，在4BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的。0与CE相切于点D,AD

//0C,点F为0C与。0的交点，连接AF.

(1)求证：CB是。0的切线；

(2)若/ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.

c

【解答】(1)证明：连接0D,与AF相交于点G,与。0相切于点D,±CE,

/.ZCDO=90°,VADHOC,ZADO=/D0C,ZDAO=/BOC,VOA=0D,ZADO

=ZDAO,：.ZDOC=ZBOC,

"COCO

在aCDO和△CBO中，，ZDOC=ZBOC,ACDO四△CBO,AZCBO=ZCD0=90°,

,OD=OB

ACB是。0的切线.

(2)VZECB=60°,CD,CB是。0的切线，ZOCB=/OCD=30°,VZCDO=/

CBO=90°,

/.ZDOC=ZB0C=60",ZEOD=ZDOC=ZC0B=60°,/.ZDCO=ZBC0=—Z

2

ECB=30°,

：.ZDOC=ZBOC=60°,ZDOA=60°,VOA=0D,/.△OAD是等边三角形，；.AD

=0D=OF,ZG0F=ZAD0,在AADG和AFOG中，，/FGO=/AGD,/.AADG

,AD=OF

FOG,SAADG=SAF0G,

VAB=6,二OO的半径r=3,.飞=S()DF=吗5破兀

阴扇形Ofift2

23.如图，已知AB为。0的直径，AD,BD是。0的弦，BC是。0的切线，切点为B,

0C〃AD,BA,CD的延长线相交于点E.

(1)求证：DC是。0的切线；

(2)若。0半径为4,Z0CE=30°,求AOCE的面积.

【解答】(1)证明：连接DO,如图，VAD〃0C,ZDAO=ZC0B,ZADO=ZCOD,

又；0A=0D,

"OD=OB

ZDAO=/ADO,：.ZCOD=NCOB.在△(!©和△COB中，ZCOD=ZCOBAACOD

OC=OC

^△COB(SAS),

/.ZCDO=ZCBO.VBC是。0的切线，AZCBO=90°,/.ZCDO=90°,AODICE,

又；点D在。0上，；.CD是。0的切线；

(2)解：由(1)可知NOCB=Z0CD=30",AZDCB=60°，又BC_LBE,.'.ZE=30°,

在RtZ\ODE中，：tanZE=迪，ADE=——^—=4畲，同理DC=V5oD=4/，

DEtan30

=-^«0D«CE=/x4X8«=16右.

.\SA0CE

24.(长郡)如图，AB是。0的直径，点P在。0上，且PA=PB,点M是。0外一点，

MB与。0相切于点B,连接0M,过点A作AC〃0M交。。于点C,连接BC交0M于

点D.

(1)求证：0D=-^-AC；

(2)求证：MC是。0的切线；

(3)若MD=8,BC=12,连接PC,求PC的长.

【解答】解：(1)VAC^OM,••.△BOD^ABAC,.AOD=—AC.

ACAB22

(2)连接OC,VAC〃OM,：.ZOAC=ZB0M,ZACO=ZC0M,VOA=OC,ZOAC

=ZACO

OC=OB

/.ZBOM=ZCOM,在.♦.△OCM与△(«]«中，ZBOM=ZCOM,AAOCM^AOBM；又

OM=OK

VMB是。0的切线，Z.ZOCM=/OBM=90°,AMC是。0的切线；

(3)VAB是。0的直径，AC〃OM,：.ZACB=ZAPB=90°,OD±BC,ACD=BD=6,

,/ZOCD+ZMCD=ZCMD+ZMCD=90°,AZOCD=ZCMD,ZOCM=ZCDO=Z

CDM=90°,

Q15

AACDO^AMDC,ACD2=0D*DM,AOD=—,AOC=—,AAB=15,；.PA=PB=

22

-1-5-72;.

2

过点A作AH±PC于点H,AAH=CH=电2,PH=66，APC=PH+CH=生但.

22

第IV类：用代数方法：证圆心到直线的距离等于半径

25.(长郡)如图，^般中，ACB90,BAC的平分线交BC于点0,以点0为圆

心，0C长为半径作圆.

(1)求证：AB是。0的切线；

（2）若CAO30,0C4,求阴影部分面积.

【解答】解：（1证明：过。作0DAB于D,如图所示，ACB90，：.0CAC，

VOA平分NBAC,

0D0C,VOC为。0的半径,AOD为。0的半径,/.AB是。0的切线.

(2)：OD