中考数学专项复习：分式（13大考点）（解析版）

专题05分式

考点类型

分式

考点13：分式方程应用—方案问题

考点1：分式及最简分式

典例1:（2023春•福建泉州•八年级校考期末）在式子V2忌常,分式有（）

5

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据分式的定义即可得出答案.

【详解】解：分式有：忌，?共2个，

故选:B.

【点睛】本题考查了分式的定义，掌握分式的分母中含有字母是解题的关键，注意"是数字.

【变式1］（2023春•福建漳州•八年级校考阶段练习）下列各式中：等，T击，手，学，分式的个数

为（）

A.5B.4.C.3D.2

【答案】D

【分析】根据分式的定义即可答题.

【详解】解：由分式的定义判断，仅有-辿，W属于分式，其余各项均不满足分式的定义,

ci人丁y

故选：D.

【点睛】本题考查分式的定义：形如《（4、B表示整式，B不为0且含有字母）的式子叫做分式，判断分式

的关键是分母中必须含有字母；易错点是兀是作为具体数值的数字而不作字母，如?是整式.

【变式2］（2023春・福建福州•八年级校考开学考试）下列分式中，最简分式是（）

42%x—1x—1

A・五B.运五C.RD.—

【答案】B

【分析】一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式.根据最简分式的定义逐项分析判

断即可.

【详解】解：A.2的分子和分母有公因式2,故不是最简分式，该选项不符合题意；

B.器的分子和分母没有公因式，是最简分式，该选项符合题意；

C含的分子和分母有公因式0—1），故不是最简分式，该选项不符合题意；

D.芸的分子和分母有公因式（x-1）,故不是最简分式，该选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了最简分式的知识，理解并掌握最简分式的定义是解题关键.

【变式3］（2023春•福建泉州•八年级校考期中）下列各分式中是最简分式的是（）

久2+y2/一y2-y2

A・15（%+y）-2y+盯2L-（%+y）2x+y

【答案】B

【分析】最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式.判断的方法是把分子、分母分解因

式，并且观察有无公因式.如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而

进行约分.

12(x-y)4(x-y)

【详解】解：A、不是最简分式，不符合题意;

15(x+y)5(%+y)'

B、高禄是最简分式，符合题意；

C、高焉=白?铝=急，不是最简分式，不符合题意;

%2-y2_O+y)(%—y)

、不是最简分式，不符合题意;

Dx+yx+y

故选B.

【点睛】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较

易忽视的问题.在解题中一定要引起注意.

考点2:分式有意义的条件

典例2：（2023春•福建福州•八年级校考开学考试）分式誓有意义的条件是（）

A.x=1B.C.x=—1D.%H—1

【答案】D

【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此即可获得答案.

【详解】解：若分式詈有意义，

则有；C+1K0,解得刀大一1.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，理解并掌握分式有意义的条件是解题关键.

【变式1］（2023春•福建泉州•八年级校联考期末）要使分式若有意义，贝似应满足的条件是（）

A.%W2B.C.xW—1D.1W—2

【答案】A

【分析】根据分式有意义，分母不等于零进行求解即可.

【详解】解：依题意得：x-2^0,

解得x*2.

故选：A

【点睛】本题考查了分式有意义的条件.从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义=分母为零；

（2）分式有意义=分母不为零；

（3）分式值为零=分子为零且分母不为零.

【变式2］（2022秋•福建福州•八年级福建省福州屏东中学校考期末）下列分式中，无论x取何值，分式总

有意义的是（）

x+3111

A--B.五不C.哀D.有

【答案】B

【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0进行逐项判断即可.

【详解】解：A、当门0时，*有意义，故选项A不符合题意；

B、•••2/+1>0,

・•・无论x取何值，，总有意义，故选项B符合题意；

2xz+l

C、当XHO时，*有意义，故选项C不符合题意；

1

D、当巾一1时，/+1H0,有意义，故选项D不符合题意，

故选：B.

【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为。是解答的关键.

【变式3】（2022秋,八年级课时练习）要使分式品匕有意义，则x应满足（）

A.XH-1B.xw2C.x^±lD.XH-1且XH2

【答案】D

【详解】试题分析：当（x+1）（x-2）丰0时分式（久+工；_2）有意义，所以XA1且XX2,故选D.

考点：分式有意义的条件.

考点3：分式值为0的条件

典例3：（2023春・福建泉州•八年级校考期中）若分式言的值为零，贝汉的值为（）

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】C

【分析】根据分式值为。的条件是分母不为0,分子为。进行求解即可.

【详解】解：•.•分式。的值为零，

（x2—1=0

.".X——1

故选：C.

【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分母不为0,分子为0是解题的关

键.

【变式1］（2023春•福建福州•八年级福建省福州延安中学校考阶段练习）下列关于分式的判断，正确的是

（）

A.当x=2时，=的值为零B.当x为任意实数时，与的值总为正数

C.无论x为何值，京不可能得整数值D.当久H3时，辞有意义

【答案】B

【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0;分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；分式值

是0的条件是分子等于0,分母不为0即可得到结论.

【详解】解：A、当x=2时，尝无意义,故本选项不合题意；

B、当x为任意实数时，忌的值总为正数，故本选项符合题意；

C、当x=0或2时，言能得整数值，故本选项不合题意；

D、当xRO时，号有意义，故本选项不合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件.分式有意义的条件是分母不等于0.分式值

是。的条件是分子是0,分母不是0.

【变式2］（2011春•福建漳州•八年级统考期中）若分式分的值为零，则久等于（）

A.2B.-2C.±2D.0

【答案】B

【分析】根据分式的值是。的条件是：分子为0,分母不为0.

【详解】W：vx2—4=0,

x=±2,

当％=2时，2x—4=0,•,.%=2不满足条件.

当久=一2时，2%—4。0,.,•当第=—2时分式的值是0.

故选：B.

【点睛】本题考查了分式值为零的条件，解决本题的关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不

等于零.

【变式3］（2022春•福建泉州•八年级校考期中）若分式裕的值为正数，则久的取值范围是（）

1

A.x>］B.x<5C.x~2D.乂取任意实数

【答案】A

【分析】由偶次方的性质可知x220,故此N+5>0,由分式的值为正数可知2x—1>0,最后解不等式即

可.

【详解】•••/+5>0,的值为正数

/.2x—1>0

解得x>T

故选A

【点睛】本题考查了分式的值，解答本题的关键在于根据偶次方的性质得到/+5>0.

考点4：分式的基本性质

典例4：（2023春・江苏•八年级专题练习）不改变分式的值，将分式募得中的分子与分母的各项系数化为

整数，且第一项系数都是正整数，正确的是()

2x+lc2x-102久+10e2x4-10

AC.

-E3x+53x+5D。3X-5

【答案】D

【分析】根据分式的基本性质，即可求解.

-0.2x-l一(0.2%+1)0.2x+l10(0.2%+1)2x+10

【详解】解:

-Q.3%+0.5--(0.3X-0.5)—0.3%—0.5—10(0.3x-0.5)-3x-5,

故选：D

【点睛】本题考查分式的基本性质.解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式

的值不变来解决问题.

【变式1］（2023春・江苏泰州・八年级校考期中）下列各式从左到右的变形正确的是（)

a2—0.2aa2-2ax+lx-1-l-7a6—3acb2—a2i

A.BcD-B=a―

—0.3。3Q2—3a3-百-

【答案】C

【分析】分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于。的整式,分式的值不变.根据

分式的基本性质再逐一分析判断即可.

22

【详解】解:a—0.2a10a—2a，故A不符合题意;

a2-0.3a^10。2_3a3

x+12,故B不符合题意;

x-y人y

,变形正确，故C符合题意;

b2-a2_(b+d)(b-a)

=b-a,故D不符合题意;

a+ba+b

故选C

【点睛】本题考查的是分式的基本性质，分式的约分，掌握分式的基本性质是解本题的关键.

【变式2］（2023春・江苏苏州•八年级校考阶段练习）如果把分式党中的x,y的值都扩大为原来的3倍，那

么分式的值（）

A.扩大为原来的3倍B.缩小为原来的!C.扩大为原来的9倍D.保持不变

【答案】D

【分析】把分式喏中的％,y的值都扩大为原来的3倍，可得琮竽，根据分式的基本性质化简即可求

得答案.

【详解】把分式弩中的％,y的值都扩大为原来的3倍，可得

3x3x+2x3y3（3x+2y）3x+2y

3%+3y-3（x+y）-x+y*

故选：D.

【点睛】本题主要考查分式的基本性质，牢记分式的基本性质（分式的分子与分母乘（或除以）同一个不

等于0的整式，分式的值不变）是解题的关键.

【变式3］（2023春・河南新乡•八年级统考阶段练习）不改变分式不若为的值，使分式的分子、分母中x的

最高次项的系数都是正数，应该是（）

3x4-13x4-1

△--------R--------

,%2—7x4-2•x2+7x+2

3x—13%—1

C--------D--------

x2-7x+2x2-7x-2

【答案】C

【分析】根据分式的基本性质即可求解.

【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘-1得：

-3x+l_（-3x+l）x（-l）_3x-l

22,

-x+7x-2~（-x+7x-2）x（-l）-%2-7%+2

故选：c.

【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的

基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变.

考点5：利用分式基本性质求值

典例5：（2022秋•浙江•七年级校考期中）已知久2—3久一4=0,则分式占胃的值是（）

11

A.2B.5C.-D.-

【答案】C

X1

【分析】先对分式w二进行变形得：三尸，然后由题意可进行求解.

【详解】解：—3%—4=0,

—-=3,

X

X_:_1

"x2-x-4-x-^-1-3^1-29

故选C.

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键.

【变式1】(2023春•山西太原•八年级山西实验中学校考阶段练习)己知:—"=5,则式子『的值是

CLoZ.UD-a十。

()

723

A.l1B.—7C.-D.—

【答案】A

【分析】由：»5得到。—=-5曲再整体代入嗡*即可得到答案.

【详解】解Y—R等=—黑=5,

：.a—b=Sab,

3a+8ab-3b_3(a—b)+8ab_—15ab+8ab_—lab_1

2ab-a+b~2ab-(a-b)-2ab+5ab~7ab~~'

故选：A

【点睛】此题考查了分式的求值，熟练掌握分式的运算法则和整体代入是解题法关键.

【变式2］(2022春•四川内江,八年级威远中学校校考期中)已知［一：=］，则=的值是()

UDZD-CL

A.1B.C.2D.-2

【答案】C

【分析】将条件变形为b—a=3b,再代入求值即可得解.

【详解】解：W，

1・b—a—

abab

------=1-7=Z

b-a2ab

故选：c

【点睛】本题主要考查了分式的化简，将条件变形为b—a是解答本题的关键.

【变式3]（2022秋・湖北荆州•八年级期末）已知久+；=2,则底篇的值是（）

11

A-4B.4C,-D.6

【答案】A

【分析】根据完全平方公式可得/+5+2=4,然后由京岛=卓还可进行求解.

【详解】解：“+5=2,

两边同时平方得：/+专+2=4,

x2=-\—=].

，，%4+2%2+1—/+1+2-4；

故选A.

【点睛】本题主要考查分式的性质及完全平方公式，熟练掌握分式的性质及完全平方公式是解题的关键.

考点6：分式的化简求值

典例6：（2022秋•福建厦门•九年级校考期中）先化简：（1—展）+号叁再从一3,1,2中选取一个合适

的数作为％的值代入求值.

【答案】占1

【分析】先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果

化为最简分式或整式，排除使得分式无意义的值，然后代值计算，即可求解.

【详解】解：原式•湍I

1

-X-19

x+3W0,%—1H0,

xH—3,久W1,

・,・％取2,

当汽=2时，

原式=-T=1.

【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式化简的步骤，排除分式无意义的数值是解题的关键.

【变式1］（2023春,浙江杭州•七年级校联考阶段练习）先化简（言—a—2）罗，再从°、2、3中选

择一个合适的数作为a的值代入求值.

【答案】—答，1

【分析】先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果

化为最简分式或整式，排除使得分式无意义的值，然后代值计算，即可求解.

【详解】解：原式=言•温施

9—a*2

a2—6a+9

(3+a)(3—a)

=~(a-3)2-

3+a

=----------«

a-3'

因为aT3,aW2,

二取a=0,贝I]

【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式化简的步骤，排除分式无意义的数值是解题的关键.

【变式2】（2023春•河南开封,八年级校联考阶段练习）先化简，再求值：（1+芸一言左，其中x

【答案】窘，3

【分析】先计算分式的混合运算，再将字母的值代入求值.

【详解】解：原式=上卡一翌胄

2(%+I)2

%+12(%—1)

x+l

当％=2时，原式=丁?=3.

【点睛】此题考查了分式的化简求值，正确掌握分式混合运算法则是解题的关键.

【变式3】Q023春・河南新乡•八年级校联考阶段练习）课堂上，刘老师给同学们出了这样一道题当％=2023

时，求受答+若的值.小明把X=2023抄成了久=2013,得出的结果与正确答案是一致的，你能说明这

xz—1x+1

是为什么吗？

【答案】见解析

【分析】根据分式的除法法则，对式子进行化简求值，即可.

【详解】•・©普+丹

(%—I)2X+1

(x—1)(%—1)3(%—1)

1

~39

・•.这个代数式的值与％的取值无关，

・・・小明把％=2023抄写成了久=2013,得出的结果与正确答案是一致的.

【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的乘除运算，平方差和完全平方公式的运用.

考点7：解分式方程

典例7：(2023春•河北秦皇岛•八年级校考开学考试)解方程：展+1=±.

【答案】0

【分析】将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可.

【详解】解：去分母，得：2x—2+(%—2)(x—1)=—2),

去括号，得：2x—2+/—3%+2=/—2x,

移项，合并，得：x=。；

经检验，％=0是原方程的解.

方程的解为：x=0.

【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，正确的计算，是解题的关键.

【变式1](2023秋•河北石家庄•八年级校考开学考试)解分式方程：

【答案】⑴x=6

(2)无解

【分析】(1)根据解分式方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算

即可得到答案；

(2)根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可得

到答案.

【详解】(1)解：去分母得：X2-3(X-2)=X(X-2),

去括号得：/—3x+6=d—2x,

移项得：x2—x2—3x+2x——6,

合并同类项得：一%=—6,

系数化为1得：%=6,

检验，当x=6时，—2)=6X(6—2)=6X4=24力0,

二原分式方程的解为：久=6

(2)解：去分母得：3—x=—1—2(*—4),

去括号得：3—x=-1—2%+8,

移项得：—％+2%=—1+8—3,

合并同类项得：x=4,

检验，当％=4时，%—4=4—4=0,

原分式方程无解.

【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意检验.

【变式2](2022春•福建宁德•九年级校考阶段练习)解分式方程：芸=£-2.

【答案】无解

【分析】将分式方程化为整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可.

【详解】解：2,

两边同时乘以x—2得，1—x=—1—2(%—2),

去括号得，1—x=-1—2x+4,

移项合并得，%=2,

检验，将久=2代入x—2=0,不是原分式方程的根，

二方程无解.

【点睛】本题考查了解分式方程.解题的关键在于正确运算.

【变式3](2023秋•河南周口•八年级校联考期末)解分式方程：

⑵岛-土=0.

【答案】(1)%=1

3

(2)x=-

【分析】(1)先去分母，再解一元一次方程，检验是否是增根即可得到答案；

(2)先去分母，再解一元一次方程，检验是否是增根即可得到答案；

【详解】(1)解：方程两边乘x—2,得

l-x=-2-2(x-2),

解得x=1,

检验：当x=l时，x—20,

二原分式方程的解为x=l;

(2)解：方程两边乘x(x+l)。—1),得

5(%—1)—(%+1)=0,

解得X=|,

检验：当久=5时，%(%+1)(%—1)0,

・•.原分式方程的解为X=*

【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是注意检验是否为增根.

考点8：分式方程解的应用

典例8：(2022春・上海•六年级校考阶段练习)关于x的方程久-?=受的解为非负数，求自然数a.

【答案】0；1；2

【分析】根据分式方程求解步骤得到关于方程的解，再根据题意进行判断即可求解；

【详解】两边同时乘以4得：4x—5+x=2x—2a,

移项得：4%+%—2%=5—2a,

化简得：3%=5—2a,

.•号20,

两边x3,得：5—2a20,

解之得：a＜|.

.•.a的值为0,1,2.

【点睛】本题主要考查知道分式方程的解情况求参数，掌握分式方程的求解步骤是解题的关键.

【变式1］（2023春•山西晋城•八年级校考期中）已知关于x的分式方程三+2=怨.

⑴若分式方程的解为％=2,求人的值.

（2）若分式方程有正数解，求左的取值范围.

【答案】⑴k=—2

（2快＜2且上羊0

【分析】（1）将x=2代入方程，即可求出左的值;

（2）先解分式方程，得乂=节，再根据方程有正数解以及分母不为0,即可求出后的取值范围.

【详解】⑴解：将x=2代入々+2=

x—l1-X

得云+2=£

即l+2=—(k—1),

解得k——2；

（2）解：将士+2=芸去分母,

得l+2(x—l)=_(k_1),

解得％=二

因为分式方程有正数解,

则x>0,

即著＞0,

所以上＜2,

又因为分母不为0,

即％H1,

那么等Hl,

所以kKO,

故k<2且k*0.

【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程是解题的关键.

【变式2】（2022秋•安徽芜湖,八年级芜湖市第二十九中学校考期末）若数a使关于x的不等式组

X—11+汽

有且只有四个整数解,且使关于夕的方程詈+含=2的解为非负数,求符合条件的所有整

数。之和.

【答案】1

【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a

的式子表示乃根据解的非负性求出。的取值范围，确定符合条件的整数4,相加即可.

【详解】解:

5x—2>x+a@

解①得，x<5；

解②得,%?彳,

・•,不等式组有且只有四个整数解,

・•.不等式组的解集为彳W尤<5,整数解为：1,2,3,4；

・・.0<竽41,

4

解得，-2VaW2；

解分式方程得，y=2-a；

•・•方程的解为非负数，且2-awl

•t*2—aN0；即aw2；

综上：—2VaW2且QW1

•・・〃是整数,

=—1,0,2；

-1+0+2=1.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程，根据题目条件确定a的取值范围，是解题的关键.

【变式3】（2022秋•八年级单元测试）已知关于x的方程三|+盘=1有正整数解，且关于y的不等式组

(2y-5

八至少有两个奇数解，求满足条件的整数。的值.

[a-y-1<0

【答案】1,3,6

(2y—5?

【分析】由不等式组工一：：八有两个奇数解，可求得6,由当+兄=1得出％=，再根据分式方

程有正整数解即可得出答案.

【详解】解：根据题意解不等式组

(2y-5

-5-<2

a—y—1<0

得a-lWy〈号.

,•・关于y的不等式组至少有两个奇数解，

.-.a—1<5,解得aS6.

'.'X—3W0,

..%H3.

：.aW2.

••,方程有正整数解，且。为整数，

•1,3f6.

【点睛】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关

键.

考点9：分式方程解的增根

典例9：(2023春・河南驻马店•八年级校考阶段练习)若关于x的分式方程含-三=捻有增根，求加的

值.

【答案】6=一8或爪=一12

【分析】先将方程转化为整式方程，求出使最简公分母的值为0的未知数的值，代入整式方程进行求解即

可.

【详解】解：分式方程去分母，得：m+2(%+2)=3(%—2),

整理，得：x—10-m,

•••分式方程有增根，

••・(%+2)(%—2)=0,

.,.%=2或%=—2,

当第=2时，m=x—10=—8；

当％=—2时，m=-2-10=-12；

.,.m=—8或m=—12.

【点睛】本题考查分式方程有增根的问题.熟练掌握增根是使整式方程成立，使分式方程无意义的未知数

的值，是解题的关键.

【变式1](2023秋,陕西西安,九年级西安市曲江第一中学校考开学考试)关于x的分式方程含一三|=5.

⑴若此方程有增根，求a的值

(2)若此方程解为正数，求a的取值范围.

【答案】⑴a=2；

(2)a>—2且a丰0.

【分析】(1)方程两边都乘以最简公分母。一1),把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是

使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出a的值；

(2)解分式方程得x=竽，根据方程的解为正数得出等>0,且等71，解不等式即可得出答案.

【详解】(1)解：方程两边都乘以(无—1)得，

a+(%—3)=5(%—1),

・・・分式方程有增根，

%—1=0,

解得％=1,

ci+(1—3)=0,

解得a=2；

(2)解：方程两边都乘以(％—1)得，

a+(%—3)=5(%—1),

解得“竽，

方程的根为正数,

2+a八I-,2+a.

—>0,且亍

.-.a>—2且aH0.

【点睛】本题考查了分式方程解的情况，将分式方程化为整式方程是解题的关键.

【变式2】(2023春•浙江嘉兴,七年级统考期末)已知关于x的方程答=b,其中a,6均为整数且a力。.

x—1

⑴若方程有增根，则a,b满足怎样的数量关系？

(2)若x=a是方程的解，求6的值.

【答案】(l)a+b=0

(2)—1或8或9

【分析】(1)由分式方程有增根，得到%—1=0,求出％的值即为增根;

(2)将久=a代入箸5求得b=a+2+言，根据题意可得a-2=±1或-2或±4,分别带入求得b的值

即可.

【详解】([)解：由分式方程有增根，得到X—1=0,

解得：x=l,

将分式方程化为整式方程：ax+b^b(x-l),

整理得：(a-b)x+2b=0,

将x=1代入(a—b)x+2b=0得：a+b=0,

即若方程有增根，贝Ua+b=0.

(2)解：•.%=£!是方程的解,

将久=。代入丝?=匕得：心中=匕,

X—1CL—1

整理得:a2-ah+26=0,

・•力=号

a—2

“=哼J+2+当且叱2

■■-a,b均为整数且a#0,

.■.a—2=±1.或-2或土4,

当时，即b

a—2=—1a=l,a—z=-—71=—1;

当a—2=1时，即a=3,b=-^=I=9；

a—21

当。一2=2时，即a=4,b=~^=/=8；

a—22

当a—2=—4时，即a=—2,匕=冬=守=一1；

CL—L—4

当a—2=4时，即a=6,b-———9；

a—24

综上，6的值为一1或8或9.

【点睛】此题考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解题的关键是①化分式方程为整式方程②

把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

【变式3](2023春,江苏连云港,八年级统考期末)已知关于x的分式方程三|—：=1.

⑴若分式方程有增根，求。的值；

(2)若分式方程无解，求。的值.

【答案】⑴a=2；

⑵a的值为一3或2.

【分析】(1)先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到Q+3)(x—3)=0,然后代入整式方程,

即可求解；

(2)根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解.

【详解】⑴解：；=1

方程两边同乘％(%—2)得久(％—a)—5(%—2)=x(x—2)

整理可得：(a+3)%=10

•.•原方程有增根

.,.%(%—2)=0,即久=0或％=2,

当％=0时，(a+3)%^10,故％=0应舍去，

当％=2时，(a+3)x2=10,解得a=2,

・・.a=2时,方程有增根；

(2)解：由(1)知：a=2时，原方程无解

当a+3=0,方程(a+3)%=10无解

.・・◎=—3时,原方程无解

综上所述，°的值为一3或2.

【点睛】此题考查了分式方程的增根，理解增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②

把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键.

考点10:分式方程应用一一行程问题

典例10：（2023春•河北秦皇岛•八年级校考开学考试）列方程解应用题

八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发,

结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.

【答案】骑车学生的速度为15km/h

【分析】设骑车学生的速度为xkm/h,根据汽车的速度是骑车学生速度的2倍，以及他们同时到达，列出方

程进行计算即可.

【详解】解：设骑车学生的速度为xkm/h,则汽车的速度为2比km/h,由题意，得：

1010_20

~~2x~60）

解的：x=15,

经检验，％=15是原方程的解.

答：骑车学生的速度为15km/h.

【点睛】本题考查分式方程的应用.解题的关键是找准等量关系，正确的列出分式方程.

【变式1］（2023春•山东威海・九年级统考期中）A、B两地的距离是80千米，一辆公共汽车从A地驶出3

小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B

地，求两车的速度.

【答案】公共汽车的速度是20km/h,小汽车的速度是60km/h.

【详解】解：设公共汽车的速度为x公里/小时，则小汽车的速度是3x公里/小时.

依题意，得

80801

~~3x+一§，

解，得x=20.

经检验x=20是原方程的根，且符合题意.

.•-3x=60.

答：公共汽车和小汽车的速度分别是20公里/时，60公里/时.

考点：分式方程的应用.

【变式2］（2022•江苏盐城•校考一模）某中学九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行

车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的3

倍，求骑车学生的速度.

【答案】20km"

【分析】设骑车学生的速度为xkm",则汽车的速度为3xkm",根据题意，列出方程，即可求解.

【详解】解：设骑车学生的速度为xkm",则汽车的速度为3xkm",根据题意得：

1010_20

x3x60'

解得：x-20,

经检验，％=20是原方程的解，且符合题意，

答：骑车学生的速度为20km".

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键.

【变式3］（2022秋•河北邢台•八年级统考期末）周末学校组织七、八年级学生从学校出发，去相距12km的

革命传统教育基地研学，两个年级同时出发，八年级全程骑自行车，七年级先步行1km,剩余11km乘公交

车，结果两个年级同时到达，已知七年级步行的速度比八年级骑自行车的速度每小时慢10km,而七年级乘

公交车的速度比八年级骑自行车的速度每小时快10km,求八年级同学骑自行车的速度.

【答案】12km

【分析】设八年级同学骑自行车的速度为每小时xkm,则七年级步行的速度为每小时（x—10）km,七年级

乘公交车的速度为每小时（x+10）km,根据题目中的等量关系列出分式方程求解即可.

【详解】解：设八年级同学骑自行车的速度为每小时xkm,则七年级步行的速度为每小时（x-10）km,七

年级乘公交车的速度为每小时（x+10）km,

由题意得：?=』+』，

解得：x=12,

经检验，x=12是原方程的解，

答：八年级同学骑自行车的速度为每小时12km.

【点睛】此题考查了分式方程应用题，解题的关键是正确分析出题目中的等量关系，最后不要忘了检验.

考点11:分式方程应用一一工程问题

典例11:（2023秋•浙江杭州•八年级统考开学考试）为改善生态环境，促进国土绿化，某市甲、乙两支志愿

者队伍分别参加了两地的植树活动.

(1)甲队在/地植树，如果每人种4棵，还剩下66棵树苗；如果每人种5棵，则缺少30棵树苗.求甲队志

愿者的人数和A地需种植的树苗数.

(2)乙队在3地植树，原计划植树1200棵，由于另有新加入的志愿者共同参与植树，每日比原计划多种;，

结果提前3天完成任务.问原计划每天植树多少棵？

【答案】⑴甲队志愿者有96人，/地需种植的树苗数为450棵

⑵原计划每天植树80棵

【分析】(1)根据“X人，每人种4棵的树苗数=总数量+66；x人,每人种5棵的树苗数=总数量一30"

列方程组，解出可得答案；

(2)根据原计划植树的天数一现在植树的天数=3列分式方程，解出可得答案.

【详解】(1)解：设甲队志愿者有x人，/地需种植的树苗数为y棵；

由题意得:像:/器

解得:(y=450

答：甲队志愿者有96人，/地需种植的树苗数为450棵；

(2)设原计划每天植树棵；

12001200

由题意得：甯-丹=3

解得：m-80

经检验，爪=80是原方程的解，且符合题意，

答：原计划每天植树80棵.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未

知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组.

【变式1](2023•福建漳州•统考一模)某村要修建一条长为1200米的水泥路面村道，现有两支施工队前来

应聘，村委会派出相关人员了解这两支施工队的情况，获得如下信息.

信息一：甲队单独施工完成工程比乙队单独施工完成工程多用10天；

信息二：乙队每天施工的数量是甲队每天施工的数量的1.5倍.

(1)根据以上信息，求甲、乙两支施工队每天分别修多少米道路？

(2)村委会将工程交给乙队，要求25天内完成.几天后因乙队接到抢险任务，经村委会同意，就将余下工程

交给甲队.那么在转交给甲队之前乙队至少要施工多少天，才能按照村委会要求按时完成？

【答案】⑴甲施工队每天修40米道路，乙施工队每天修60米道路；

⑵在转交给甲队之前乙队至少要施工10天，才能按照村委会要求按时完成.

【分析】（1）设甲施工队每天修x米道路，则乙施工队每天修1.5x米道路，利用工作时间=工作总量+工

作效率，结合甲队单独施工完成工程比乙队单独施工完成工程多用10天，可列出关于x的分式方程，解之

经检验后，可得出甲施工队每天修路的长度，再将其代入1.5%中，即可求出乙施工队每天修路的长度；

（2）设在转交给甲队之前乙队施工y天，根据要求25天内完成修路任务，可列出关于y的一元一次不等式，

解之取其中的最小值，即可得出结论.

【详解】（1）解：设甲施工队每天修x米道路，则乙施工队每天修1.5%米道路，

根据题意得：

12001200」八

丁-W=l。,

解得：x=40,

经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，

1.5x——1.5x40=60.

答：甲施工队每天修40米道路，乙施工队每天修60米道路；

（2）设在转交给甲队之前乙队施工y天，

根据题意得：40（25-y）+60y>1200,

解得：y>10,

■■-y的最小值为10.

答：在转交给甲队之前乙队至少要施工10天，才能按照村委会要求按时完成.

【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正

确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

【变式2］（2022春•上海浦东新•八年级校考期中）某市一个公园要改造维修，若由甲、乙两个工程队合作,

12天可以完成；若甲工程队先单独做5天后，乙队也来参加，两队再合作9天可以完工，问若两队单独完

成这项工程各需几天？

【答案】甲单独完成此项工程需要20天，乙单独完成此项工程需要30天

【分析】可以设甲、乙单独完成此项工程各自需要x,y天，根据甲、乙两人合作，12天可以完成；甲独做

5天后，乙队也来参加，两队再合作9天可以完工，即可列方程组求得x,y的值：

【详解】解：设甲、乙单独完成此项工程各自需要x,夕天，

根据题意得：5；9：；12解得：｛JZOA

------1—=1—DU

xy

经检验军是方程组的解.

答：甲单独完成此项工程需要20天，乙单独完成此项工程需要30天.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，正确理解题目中的相等关系，理解工作时间、工作量、工作效

率之间的关系是解题关键.

【变式3］（2023春•湖南衡阳•八年级校考期中）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后,

采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成全部任务.求原计划每天加工多少套

运动服.

【答案】原计划每天加工20套运动服

【分析】根据题意：“共用了18天完成全部任务"；等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用

的时间=18.

【详解】设原计划每天加工x套运动服.

根据题意，得拶+爵黑=18.

X/0JA

解得：x=20.

经检验，％=20是原方程的解，且符合题意.

答：原计划每天加工20套运动服.

【点睛】此题考查分式方程在实际问题中的应用，找到等量关系是解题的关键，注意分式方程需要验根.

考点12：分式方程应用一一销售问题

典例12：（2023春•河南平顶山•八年级统考期末）某服装店老板到厂家选购甲、乙两种品牌的童装准备进行

销售.每套甲品牌的童装比乙品牌的童装进价多25元，用2000元购进甲种品牌的童装数量是用750元购

进的乙种品牌的童装数量的2倍.

（1）求甲、乙两种品牌的童装每套进价分别是多少元？

⑵若甲品牌童装每套的售价为130元，乙品牌童装每套售价为95元，服装店老板去进货时决定购进甲品牌

的童装数量是乙品牌童装数量的2倍还多4套，两种童装全部售出后要使总利润不少于1230元，至少购进

甲品牌的童装多少套？

【答案】（1）甲品牌每套进价是:L00元，乙品牌每套进价75元

（2）至少购进甲品牌的童装32套

【分析】（1）设甲品牌每套进价是x元，乙品牌每套进价（%—25）元，根据"用2000元购进甲种品牌的童

装数量是用750元购进的乙种品牌的童装数量的2倍”列出方程，解方程即可；

（2）设购进甲品牌童装a套，则购进乙品牌童装?套，根据"两种童装全部售出后要使总利润不少于1230

元”可列出不等式，再解不等式即可.

【详解】（1）解：设甲品牌每套进价是x元，乙品牌每套进价（x-25）元，根据题意得，

2000750c

丁==x2,

解得久=100,

经检验，x=100是原方程的解，

100-25=75（元），

答：甲品牌每套进价是100元，乙品牌每套进价75元；

（2）设购进甲品牌童装。套，则购进乙品牌童装”套，根据题意得，

a—4

（130-100）a+（95-75）x—>1230,

解得a231.75,

答：至少购进甲品牌的童装32套.

【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，找出题目中的等量关系和不等关系是解题

的关键.

【变式1］（2023春•吉林长春•八年级校考阶段练习）今年，某市举办了一届主题为，强国复兴有我”的中小学

课本剧比赛.某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，

用600元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等.求在甲、乙两个商店租用的

服装每套各多少元？

【答案】甲商店租用的服装每套为60元，乙商店租用的服装每套为50元

【分析】设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，根据用600元在甲商店租用服装

的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等，列出分式方程，进行求解即可.

【详解】解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套10）元，

由题意，得倦=岑，