中考数学一轮复习勾股定理讲义及答案

中考数学一轮复习勾股定理（讲义及答案）及解析

一、选择题

1.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四,

则弦五”的记载.如图1,是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积

关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，ZBAC=90°,AB=3,BC=5,点D,

E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）

A.121B.110C.100D.90

2.如图，在及AABC中，ZACB-90,AB=5cm,AC-3cm,动点P从点3出发，沿

射线BC以lcm/s的速度移动，设运动的时间为f秒，当/A3P为等腰三角形时，t的值

不可能为（）

3.如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a,则下列说法正确的是

（）

①DC平分NBDE；②长为（直+2）a；③ABCD是等腰三角形；④△CED的周长

等于的长.

4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A、B、C、

D的边长是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是

A.13B.2忘+7?C.47D.岳

5.如图，在HMABC中，NR4c=90°，以的三边为边分别向外作等边三角形

NA'BC,AAB'C,△ABC',若VA'BC,△AB'C的面积分别是10和4,贝U

△ABC,的面积是（）

IV

A.4B.6C.8D.9

6.如图，正方形ABCD的边长为8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点，则

DN+MN的最小值是（）

AD

BC

A.8B.9C.10D.12

7.下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（）

A.1,2,76B.3,5,4C.5,12,13D.3,2,V13

8.在RtZiABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,则点C至!]AB的距离是（)

334一12

A.—B.-C.-D.

455T

9.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体

系."折竹抵地"问题源自《九章算术》中："今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者

高几何？"意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离

竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）（）

A.3B.5C.4.2D.4

10.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A.1>V2>v3B.2、3、4C.1、2、3D.4、5、6

二、填空题

11.如图，RTAABC,ZACB^90°,AC=6,BC=8,将边AC沿CE翻折，使点

A落在AB上的点。处；再将边BC沿CV翻折，使点3落在CD的延长线上的点3'

处，两条折痕与斜边A3分别交于点E、F,则△5'FC的面积为.

12.我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠

木七周，上与木齐.问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3

尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是

尺.（注：/丈等于10m尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计）

H

0g

13.在AABC中，AB=10cm,AC=11cm,边上的高为8cm,则AABC的面积为

14.在AABC中，AB=6,AC=5,BC边上的高AD=4,贝IjAABC的周长为.

15.如图，。为坐标原点，四边形Q钻C为矩形，4（20,0）,。（0,8）,点。是。4的中

点，点P在边上运动，当AQDP是以OD为腰的等腰三角形时，则P点的坐标为

16.已知，在AABC中，ZC=90°,AC=BC=7,D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC

上，DE=DF,若BF=4,贝!]EF=

17.如图所示，"赵爽弦图"是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD,

正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为耳㈤区,己知4+邑+S3=10,则邑的值是

IL

R

18.如图，E为等腰直角△八BC的边曲上的一点，要使AE=3,BE=1,P为47上的动

点，则PB+PE的最小值为.

19.如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知AB=25,AC=24其中

阴影部分面积是平方单位.

20.在HhABC中，NA=90。，其中一个锐角为60。，BC=2退，点P在直线AC上

（不与A，C两点重合），当NABP=30°时，CP的长为.

三、解答题

21.如图，在AABC中，AB=30cm,BC=35cm,ZB=60°,有一动点M自A向B以1

cm/s的速度运动，动点N自B向C以2cm/s的速度运动，若M,N同时分别从A,B出

发.

⑴经过多少秒，ABM/V为等边三角形；

⑵经过多少秒，△B/WN为直角三角形.

22.已知a,b,c满足+Ja-8=|c-17|+b2-306+225,

（1）求a,b,c的值；

（2）试问以a,b,c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；

若不能构成三角形，请说明理由.

23.如图，AABC中，NACB=90。，AB^Scm,BC=3cm,若点P从点4出发，以每秒2cm

的速度沿折线A-C-B-A运动，设运动时间为t秒（t>0）.

（1）若点P在AC上，且满足%=PB时，求出此时t的值；

（2）若点P恰好在的角平分线上，求t的值；

（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，ABCP为等腰三角形.

24.定义：如图1,点“、N把线段A3分割成40、MN和BN,若以40、MN、

BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段A3的勾股分割点.

MN=3,求BN的长;

(2)如图2,在RtAiABC中，AC=5C,点舷、N在斜边AB上，ZMCN=45°,

求证：点M、N是线段A5的勾股分割点（提示：把△AQ0绕点C逆时针旋转

90°）；

（3）在（2）的问题中，ZACM=15°,AM=1,求的长.

25.如图，AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,P是线段BC上一点，且0°<NSAP<45°.作

点B关于直线AP的对称点D,连结BD,CD,AD.

（1）补全图形.

（2）设/BAP的大小为a.求NADC的大小（用含a的代数式表示）.

（3）延长CD与AP交于点E,直接用等式表示线段BD与DE之间的数量关系.

26.如图，己知RtAABC,ZACB=90°,ZBAC=30°,斜边AB=4，ED为A5垂

直平分线，且DE=2若，连接。5，DA.

(1)直接写出BC=,AC=；

(2)求证：AABD是等边三角形；

(3)如图，连接CD,作耐，CD,垂足为点歹，直接写出8斤的长;

(4)尸是直线AC上的一点，且CP=』AC,连接PE,直接写出PE的长.

3

27.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC,NA=60°,点E为AD边上一

点，连接CE,BD.CE与BD交于点、F,且CE〃AB.

A

(1)求证:NCED=NAD5；

(2)若AB=8,CE=6.求BC的长.

28.阅读下列一段文字，然后回答下列问题.

已知在平面内有两点《(七，%)、£(々，%)，其两点间的距离

々什={(七一々)2+(%—%)，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂

直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|石-々I或I%-%L

(1)已知4(2,4)、5(-3,-8),试求A、B两点间的距离.

已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4,点N的纵坐标为-1,试求M、N

两点的距离为;

(2)己知一个三角形各顶点坐标为。(1,6)、E(-3,3)、F(4,2),你能判定此三角

形的形状吗?说明理由.

(3)在(2)的条件下，平面直角坐标系中，在X轴上找一点P,使？D+?少的长度最

短，求出点P的坐标及？D+抄的最短长度.

29.如图1,已知△ABC是等边三角形，点D,E分别在边BC,AC上，且CD=AE,40与

BE相交于点F.

(1)求证：ZABE=ZCAD-,

(2)如图2,以4。为边向左作等边△A0G,连接BG.

i)试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；

ii)若设B0=l,DC=k(0<k<l),求四边形AGBE与△ABC的周长比(用含k的代数

式表示).

A

E

G

BD。BD

图1图2

30.（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发

现截面一定是锐角三角形.为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师.

（体验）（1）从特殊入手许老师用1个钾钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连

在一起（如图4B=4,4C=3），保持4B不动，让AC从重合位置开始绕点4转动，在转动的

过程，观测BC的大小和44BC的形状，并列出下表：

B

©

BC的大小ZMBC的形状

1<BC<m

BC=m直角三角形

m<EC<n

BC=n直角三角形

n<BC<7

请仔细体会其中的道理，并填空：血=，九=；

（2）猜想一般结论在44BC中，设BC=a,AC=b,AB=c<^a<b<c）,

①若zMBC为直角三角形，则a,b,c满足+板=&；

②若为锐角三角形，贝i]a,b,c满足；

③若4aBe为钝角三角形，贝i]a,b,c满足.

（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面4BC

（如图1）,设=SB=y,SC=z,请帮助小慧说明44BC为锐角三角形的道理.

（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块"角B",得到一个新的三角形截面DEF（如图

2）,那么4DEF的形状是（）

A.一定是锐角三角形

B.可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形

C.可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形

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一、选择题

1.B

解析：B

【分析】

延长A5交替于点。，延长AC交于点P,可得四边形AOLP是正方形，然后求

出正方形的边长，再求出矩形KLM7的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得

解.

【详解】

解：如图，延长A5交"于点。，延长AC交GM于点P,则四边形尸是矩形.

ZCBF=90°,

ZABC+NOBF=90°,

又•.•直角AABC中，ZABC+ZACB=90°,

NOBF=ZACB,

在AQBb和zUCB中，

ABAC=ZBOF

<ZACB=ZOBF,

BC=BF

\OBF=AACB(AAS),

AC—OB,

同理：AACB=APGC,

:.PC=AB,

:.OA=AP,

所以，矩形AOLP是正方形，

边长AO=AB+AC=3+4=7,

所以，KL=3+7=10,LM=4+7=11,

因此，矩形缸加7的面积为10*11=110,

故选B.

本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键.

2.C

解析：C

【分析】

根据ZkABP为等腰三角形，分三种情况进行讨论，分别求出BP的长度，从而求出t值即

可.

【详解】

在HhABC中，BC2=AB2-AC2=52-32=16-

BC—4cm>

①如图，当=时，BP=5cm,t=5；

B

②如图，当AB=AP时，

•/AC±BP,

BP=2.BC=8cm,/=8；

③如图，当5P=AP时，设AP=BP=xcm,则CP=(4-x)cnz,AC=3cm,

,/在中，AP?=

Rt^ACPAC2+cp?,

.-.x2=32+(4-X)2,

解得:x--，

8

,25

•,t-----,

8

25

综上所述，当ZkAB尸为等腰三角形时，f=5或£=8或/=彳.

8

故选：C.

【点睛】

本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，注意分类讨论.

3.B

解析：B

【分析】

根据折叠前后得到对应线段相等，对应角相等判断①③④式正误即可，根据等腰直角三角

形性质求BC和DE的关系.

【详解】

解：根据折叠的性质知，丛CED=bCED,且都是等腰直角三角形，

/.ZBDE<9Q°,ZCDE=45°,

ZCDE^-ZBDE

2

DC'不能平分NBD石①错误；

.\ZDCE=ZDCE=45°,CE=CE=DE=AD=af

CD=DC=缶，

/.AC=a+y/2a，BC=垃AC=（亚+2）a,

②正确；

•;ZABC=2ZDBC,

.-.ZDBC=22.5°,

•.•"CB=45°,

ZBDC=112.5°,

.•.ASCD不是等腰三角形，

故③错误；

.,.△。团的周长=以+叱+⑺入+口+衣^^+应）”—

故④正确.

故选：B.

【点睛】

本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，

折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②等腰直角三角形，

三角形外角与内角的关系，等角对等边等知识点.

4.C

解析：c

【分析】

根据勾股定理即可得到正方形A的面积加上B的面积加上C的面积和D的面积是E的面

积.即可求解.

【详解】

四个正方形的面积的和是正方形E的面积：即32+52+22+32=9+25+4+9=47;故答

案为C.

【点睛】

理解正方形A,B,C,D的面积的和是E的面积是解决本题的关键.

5.B

解析：B

【分析】

设AB=c,AC=b,BC=a,用a、b、c分别表示VA'BC,AAB'C,△ABC'的面积，再利

用RMABC得b2+c2=a2,求得c值代入即可求得的面积的面积.

【详解】

设AB=c,AC=b,BC=a,

由题意得V45c的面积二Q.1"=10，

22

△AB'C的面积二工力.且人=4

22

在RtAABC中，ZBAC=90°,b2+c2=a2,

.2=2中=竺石-36=8百

33

△ABC'的面积=Lc•走c=3,2=，|x8百=6

2244

故此题选B

【点睛】

此题考察勾股定理的运用，用直角三角形的三边分别表示三个等边三角形的面积，运用勾

股定理的等式求得第三个三角形的面积

6.C

解析：c

【解析】

【分析】

要求DN+MN的最小值，DN,MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN,MN的

值，从而找出其最小值求解.

【详解】

解：：正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，

连接BN,BD,则直线AC即为BD的垂直平分线，

；.BN=ND；.DN+MN=BN+MN连接BM交AC于点P,

:点N为AC上的动点，

由三角形两边和大于第三边，

知当点N运动到点P时，

BN+MN=BP+PM=BM,

BN+MN的最小值为BM的长度，

:四边形ABCD为正方形，

；.BC=CD=8,CM=8-2=6,BCM=90°,

.•.BM=J6Z+8Z=10,

.•.DN+MN的最小值是10.

故选：c.

【点睛】

此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足

条件的点N的位置：利用轴对称的方法.然后熟练运用勾股定理.

7.A

解析:A

【解析】

A.12+2^（V6）2,不能构成直角三角形，故此选项符合题意；

B.32+42=52,能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

C.52+122=132,能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

D.32+22=（A/13）2,能构成直角三角形，故此选项不符合题意;

故选A.

8.D

解析：D

【解析】

在RtAABC中ZC=90°,AC=3,BC=4,根据勾股定理求得AB=5,设点C到AB的距离为h,

即可得LhxAB=LACxBC,即Lhx5=^x3x4,解得h=U

故选D.

22225

9.C

解析：C

【分析】

根据题意可设折断处离地面的高度0A是x尺，折断处离竹梢AB是（10—x）尺，结合勾

股定理即可得出折断处离地面的高度.

【详解】

设折断处离地面的高度OA是x尺，则折断处离竹梢AB是（10—x）尺，

由勾股定理可得：042+032=452

222

即：X+4=（10-X）,

解得：x=4.2

故折断处离地面的高度OA是4.2尺.

故答案选：C.

【点睛】

本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理.

10.A

解析：A

【分析】

求出两小边的平方和、最长边的平方，看看是否相等即可.

【详解】

A、•.•1+(a)2=(百)2

•••以1、&、出为边组成的三角形是直角三角形，故本选项正确；

B、V22+32*42

以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；

C、V12+22*32

.♦•以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；

D、V42+52^62

.••以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；

故选A..

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理应用，掌握勾股定理逆定理的内容就解答本题的关键.

二、填空题

【分析】

将ABTF的面积转化为求4BCF的面积，由折叠的性质可得CD=AC=6,/ACE=/DCE,

NBCF=/B'CF,CEXAB,可证得^ECF是等腰直角三角形，EF=CE,NEFC=45。，由等面

积法可求CE的长，由勾股定理可求AE的长，进而求得BF的长，即可求解.

【详解】

根据折叠的性质可知，CD=AC=6,NACE=NDCE,/BCF=/B'CF,CE±AB,

.•.ZDCE+ZB,CF=ZACE+ZBCF,

•.,ZACB=90",

.,.ZECF=45",且CEJ_AB,

.-.△ECF是等腰直角三角形，

；.EF=CE,ZEFC=45",

11

VSAABC=—AC»BC=—AB・CE,

22

，AC・BC=AB・CE,

:根据勾股定理求得AB=10,

24

/.EF

5

VAE=7AC2-CE2

248

BF=AB-AE-EF=10———

555

SACBZF-

【点睛】

此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，根据折叠

的性质求得相等的角是解决本题的关键.

12.【分析】

这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所

以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出.

【详解】

解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，

另一条直角边长7x3=21（尺），

因此葛藤长12（）2+2F=29（尺）.

答：葛藤长29尺.

故答案为：29.

【点睛】

本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图

形后为直角三角形按照勾股定理可求出解.

13.36或84

【分析】

过点A作于点。，利用勾股定理列式求出B。、CD,再分点。在边BC上和在C8的

延长线上两种情况分别求出BC的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.

【详解】

解：过点A作AD_LBC于点D,

边上的高为8cm,

/.AD=8cm,

VAC=17cm,

由勾股定理得：

2222

BD=A/A5-A£>=A/10-8=6cm>

CD=VAC2-AD2=7n2-82=155，

如图1,点。在边8c上时，

BC=BD+CD=6+15=21cm,

"BC的面积=L3C・AD=Lx21x8=84cm2,

22

如图2,点D在CB的延长线上时，

BC=CD-BD=15-6=9cm,

△ABC的面积=-.BC.AD=-X9X8=36cm2,

22

综上所述，AABC的面积为36cm2或84cm2,

故答案为：36或84.

图1图2

【点睛】

本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨

论.

14.14+2百或8+2百

【分析】

分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，在直角三角形ABD与直角三角

形ACD中，利用勾股定理求出BD与DC的长，由BD+DC求出BC的长，即可求出周长；如

图2所示，此时△ABC为钝角三角形，同理由BD-CD求出BC的长，即可求出周长.

【详解】

解：分两种情况考虑：

如图1所示，此时AABC为锐角三角形，

图1

2

在RtAABD中，根据勾股定理得：BD=y/AB2-AD2=A/6-42=275，

在RtAACD中，根据勾股定理得：CD=7AC2-AD2=/52—42=3，

.'-BC=2百+3，

.,.△ABC的周长为：6+5+26+3=14+26；

如图2所示，此时AABC为钝角三角形，

图2

在RtAABD中，根据勾股定理得：BD=7AB2-AD2=762-42=2A/5，

在RtAACD中,根据勾股定理得：CD=y/AC2-AD2=A/52-42=3,

-'.BC=2A/5-3，

•,.△ABC的周长为：6+5+275-3=8+275；

综合上述，AABC的周长为：14+2君或8+2君；

故答案为：14+26或8+2石.

【点睛】

此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

15.（4,8）或（6,8）或（16,8）

【分析】

当AQDP是以OD为腰的等腰三角形时，分为两种情况①点。是顶角顶点时，②D是顶角

顶点时，根据勾股定理求出CP,PM即可.

【详解】

解：0D是等腰三角形的一条腰时：

①若点。是顶角顶点时，P点就是以点。为圆心，以10为半径的弧与CB的交点，

在直角AOPC中，CP=yJoi^-OC2=V102-82=6-则P的坐标是（6,8）.

②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以10为半径的弧与CB的交点，

过D作DM_LBC于点M,

在直角△PDM中，PM=7PD2-DM2=V102-82=6，

当P在M的左边时，CP=10-6=4,则P的坐标是（4,8）；

当P在M的右侧时，CP=10+6=16,则P的坐标是（16,8）.

故P的坐标为：（6,8）或（4,8）或（16,8）.

故答案为：（6,8）或（4,8）或（16,8）.

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用，注意正确地进行分类，考虑到所有的

可能情况是解题的关键.

16.3后或11后或5或一

【分析】

分别就E,F在AC,BC上和延长线上，分别画出图形，过D作DG_LAC,DH±BC,垂足为G,

H,通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.

【详解】

解：①过D作DG_LAC,DH±BC,垂足为G,H

；.DG〃BC,ZCDG=ZCDH=45°

又是AB的中点,

1.

・・DG——BC

2

同理：DH=-AC

2

又YBC=AC

ADG=DH

在RtADGE和RtADHF中

DG=DH,DE=DF

.•.RtADGE^RtADHF(HL)

AGE=HF

又「DG=DH,DC=DC

.,.△GDC^AFHC

・・・CG=HC

・・・CE=GC-GE=CH-HF=CF=AB-BF=3

•'-EF=A/32+32=372

②过D作DG_LAC,DH±BC,垂足为G,H

，DG〃BC,ZCDG=ZCDH=45°

又；D是AB的中点，

1

.\DG=-BC

2

同理：DH=—AC

2

又：BC=AC

.\DG=DH

在RtADGE和RtADHF中

DG=DH,DE=DF

.,.RtADGE^RtADHF(HL)

；.GE=HF

XVDG=DH,DC=DC

.,.△GDC^AFHC

；.CG=HC

，CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11

-'-EF=7112+ll2=1172

③如图，以点D为圆心，以DF长为半径画圆交AC边分别为E、E'，过点D作DHLAC于

点H,可知DF=DE=DE',可证AEHD之△E'HD,^CE'DRCFD,△DHC为等腰直

角三角形，

.,.Zl+Z2=45°

；./EDF=2(Z1+Z2)=90°

.,.△EDF为等腰直角三角形

可证△AEO^ACFD

；.AE=CF=3,CE=BF=4

­■•EF=A/C£2+CF2=V42+32=5

，ED=DF=m，可证△&ECFSXEDE,

2

E'

3y

5夜—572

---------------------FX

22

综上可得：x=丝亚

5

E'F'=JOE"+DF'2d2DE'2

E'F'=—

5

【点睛】

本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本

题的关键.

【分析】

根据八个直角三角形全等，四边形ABCD,EFGH,MNKT是正方形，得出CG=NG,

2

CF=DG=NF,再根据S1=(CG+DG)2,S2=GF,S3=(NG-NF^,

S[+$2+63=10,即可得出答案.

【详解】

:八个直三角形全等，四边形ABCD,EFGH,MNKT是正方形

；.CG=NG,CF=DG=NF

S]=(CG+DG)2=CG-+DG2+2CG・DG=GF~+2CG・DG

2

S2=GF

12

S3=(NG-NF》=NG+NF-2NG・NF

/.S1+S^S^GF2+2CGDG+GF-+NG~+NF~-2NGNF=3GF2=10

.._10

故§v2=W

故答案为---

3

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质.

18.5

【解析】

试题分析：作点B关于AC的对称点F,构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB+PE

的值最小，接下来要求出这个最小值，即求。的长即可，因此要先求AF的长，证明

△AOF乌△COB,可以解决这个问题，从而得出EF=5,贝UPB+PE的最小值为5.

解：如图，过B作BO_LAC,垂足为D,并截取DF=BD,连接EF交AC于P,连接PB、AF,

则此时PB+PE的值最小，

•△ABC是等腰直角三角形，

.AB=CB,ZABC=90°,AD=DC,

.ZBAC=ZC=^5°,

'ZADF=ZCDB,

.△ADF咨LCDB,

.AF=BC,ZFAD=ZC=45°,

'AE=3,BE=1,

.AB=BC=4,

.AF=4,

'/BAF=/BAC+/MD=45°+45°=90°,

.由勾股定理得：EF=y/AF2+AE2=A/42+32=5,

•AC是BF的垂直平分线，

.BP=PF,

：.PB+PE=PF+PE=EF=5,

故答案为5.

点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段

最短来求解.

19.49

【分析】

先计算出BC的长，再由勾股定理求出阴影部分的面积即可.

【详解】

ZACB=90°,AB=25,AC=24,

BC2=AB2-AC2=252-242=49,

...阴影部分的面积=BC2=49，

故答案为：49.

【点睛】

此题考查勾股定理，能利用根据直角三角形计算得到所需的边长，题中根据勾股定理的图

形得到阴影部分面积等于BC的平方是解题的关键.

20.2百或2或4

【分析】

根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用含30。角直角三角形与勾股定理解答.

【详解】

当/C=60°时，ZABC=3O°,与NABP=30°矛盾;

如图2：

.•.ZCBP=60°,

APBC是等边三角形,

CP=BC=26；

如图3：

当NABC=60°时，ZC=30°,

VZABP=30°,

.•.ZPBC=60°-30o=30°,

.*.PC=PB,

,/BC=26,

：.AB=-BC=y/3,AC=yjBC2-AB2=J(2^)2-(V3)2=3,

2

在RtAAPB中，根据勾股定理Ap2+A52=§p2,

即(AC-PC)2+AB-=PC2,

即(3—PC『+(百了=「。2,解得。。=2,

如图4：

•.,ZABP=30°,

；./PBC=60°+30°=90°,

：.BP=-PC

2

在RtABCP中，根据勾股定理3P2+3。2=/>02,

即(Lpc)2+(2^)2=PC2,解得PC=4(已舍去负值).

2

综上所述，CP的长为26或2或4.

故答案为：28或2或4.

【点睛】

本题考查含30。角直角三角形，等边三角形的性质和判定，勾股定理.理解直角三角形30。

角所对边是斜边的一半，并能通过勾股定理去求另外一个直角边是解决此题的关键.

三、解答题

21.(1)出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形.

【分析】

(1)设时间为X,表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x,根据等边三角形的判定列出方程，解

之可得；

(2)分两种情况：①NBNM=90。时，即可知/BMN=30。，依据BN=—BM列方程求解可

2

得；②/BMN=90。时，知NBNM=30。，依据BM=4BN列方程求解可得.

2

【详解】

解(1)设经过x秒，ABMN为等边三角形，

则AM=x,BN=2x,

；.BM=AB—AM=30—x,

根据题意得30—x=2x,

解得x=10,

答：经过10秒，ABMN为等边三角形；

(2)经过X秒，ABMN是直角三角形，

①当/BNM=90。时，

VZB=60°,

；./BMN=30°,

.1.BN=—BM,即2x=；(30-x),

解得x=6；

②当/BMN=90。时，

VZB=60°,

；./BNM=30°,

/.BM=—BN,即30—X=LX2X,

22

解得x=15,

答：经过6秒或15秒，ABIVIN是直角三角形.

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.

22.(1)a—8,b=15,c—17；(2)能，60

【分析】

（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a、b、c的值；

（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长

【详解】

解：（1）,：a,b,c满足j8—a+Ja—8=|c-17|+1-30b+225,

-a+个a-8=|c_17|+（Z?—15）",

.*.a-8=0,b-15=0,c-17=0,

...a=8,b=15,c=17；

（2）能.

\•由（1）知a=8,6=15,c=17,

/.82+152=172.

：.a2+c2=b2,

此三角形是直角三角形，

，三角形的周长=8+15+17=40；

三角形的面积=x8xl5=60.

2

【点睛】

此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状.

25Q]53]9

23.（1）—；（2）/=—或6；（3）当/=—,5,一或一时，ABCP为等腰三角形.

1632104

【分析】

（1）设存在点P,使得PA=PB,此时以=P5=2f,PC=4-2t,根据勾股定理列

方程即可得到结论；

（2）当点P在/。LB的平分线上时，如图1,过点P作？E_LA3于点E,此时

BP=Q—2t,PE=PC=2t—4,BE=5—4=1,根据勾股定理列方程即可得到结论；

（3）在中，根据勾股定理得到AC=4m,根据题意得：AP=2t,当P在AC

上时，ABCP为等腰三角形，得到PC=6C,即4—2/=3,求得/=—,当P在AB上

2

时，△BCP为等腰三角形，若CP=PB,点P在BC的垂直平分线上，如图2,过P作

194

PELBC于E,求得/=一，若PB=BC,即27—3—4=3,解得/=5,

4

③PC=BC,如图3,过C作CRLAB于F,由射影定理得；BC2=BFAB，列方程

c2Z-3-4

32=--------x5,即可得到结论.

2

【详解】

解：在HhABC中，AB=5cm,BC-3cm,

/.AC-4cm,

（1）设存在点P,使得巴4=夫_6,

此时PA=P5=2%,PC=A-2t,

在HhPCB中，PC-+CB-=PB~，

BP：（4—2/f+32=（2/）2,

25

解得：t=—,

16

,251

二当。=—时，PA=PB；

16

（2）当点P在/B4C的平分线上时，如图1,过点P作？于点E,

图1

此时的=7—2f,PE=PC=2t—4,BE=5-4=1,

在Rt^BEP中，PE2+BE2=BP~，

BP：（2/-4）2+俨=（7—2/）2,

Q

解得：t=-,

3

当/=6时，点P与A重合，也符合条件，

Q

,当^=一或6时，P在AABC的角平分线上；

3

（3）根据题意得：AP=2t,

当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，

:.PC=BC,即4—21=3,

1

/.t——,

2

当P在AB上时，ABCP为等腰三角形，

®CP=PB,点P在BC的垂直平分线上，

如图2,过P作PE_L5C于E,

13

:.BE=-BC=-,

22

1519

:.PB=-AB,即2r—3—4=—,解得：t=—,

224

②PB=BC,即2/—3—4=3,

解得：t=5,

③PC=BC,如图3,过C作CbLAB于F,

•.•/ACB=90。，

由射影定理得；BC?=BF-AB，

即BZMZL-S

2

53

解得：t=—,

10

153IQ

二当。=工,5,二或一时，ABCP为等腰三角形.

2104

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中.利用分类讨论的思想是解(3)

题的关键.

24.(1)也或岳;(2)见解析；(3)2+73

【分析】

(1)分两种分割法利用勾股定理即可解决问题；

(2)如图，过点A作AD_LAB,且AD=BN.只要证明△ADCgZkBNC,推出CD=CN,

ZACD=ZBCN,再证明△MDCgZXMNC,可得MD=MN,由此即可解决问题；

(3)过点B作BP_LAB,使得BP=AM=1,根据题意可得△CPB^^CMA,△CMN四△CPN,

利用全等性质推出NBNP=30。，从而得到NB和NP的长,即得BM.

【详解】

解：(1)当MN最长时，BN={MN?-AM。=非，

当BN最长时，BN=yjAM2+MN2=屈；

(2)证明：如图，过点A作AD_LAB,且AD=BN,

在4ADC和△BNC中，

AD=BN

<ZDAC=ZB,

AC=BC

.•.△ADC^ABNC(SAS),

；.CD=CN,ZACD=ZBCN,

VZMCN=45°,

，/DCA+/ACM=/ACM+NBCN=45°,

，/MCD=NMCN,

在^MDC和△MNC中，

CD=CN

<ZMCD=ZMCN,

CM=CM

.'.△MDC^AMNC(SAS),

；.MD=MN

在RtZkMDA中，AD2+AM2=DM2,

.•.BN2+AM2=MN2,

...点M,N是线段AB的勾股分割点;

c

(3)过点B作BP_LAB,使得BP=AM=1,

根据(2)中过程可得：△CPBZ/iCMA,△CMN注△CPN,

.•.ZAMC=ZBPC=120°,AM=PB=1,

ZCMN=ZCPN=ZA+ZACM=45°+15°=60°,

.•.ZBPN=120°-60°=60°,

.•.ZBNP=30°,

，NP=2BP=2=MN,

.-.BN=722-l2=后,

；.BM=MN+BN=2+B

AB

MN

【点睛】

本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关

键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

25.（1）见解析；（2）ZADC=45°+a；（3）BD=y[lDE

【分析】

（1）根据题意画出图形即可；

（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可；

（3）画出图形，结合（2）的结论证明ABED为等腰直角三角形，从而得出结论.

【详解】

解：（1）如图所不；

(2);点B与点D关于直线AP对称，/BAP=a,

；./PAD=a,AB=AD,

VABAC=90°,

：.ZDAC^90°-2a,

又；AB=AC,

；.AD=AC,

/.ZADC=|x[l80°-(90°-2a)]=45°+a；

Jt

由(2)知：NADC=45°+a,

：/ADC=/AED+NEAD,且/EAD=a,

；.NAED=45°,

:点B与点D关于直线AP对称，即AP垂直平分BD,

；./AED=/AEB=45°,BE=DE,

.•.ZBED=90°,

.'.△BED是等腰直角三角形，

BD1=BE2+DE2=2DE2-

BD=叵DE-

【点睛】

本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关

系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.

26.（1）2，273（2）证明见解析（3）2叵（4）述或组

733

【分析】

（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2,再由勾股定理即可求出AC的长；

（2）由ED为垂直平分线可得DB=DA,在RtZkBDE中，由勾股定理可得BD=4,可得

BD=2BE,故/BDE为60°,即可证明AABD是等边三角形；

（3）由（1）（2）可知，AC=2也,AD=4,进而可求得CD的长，再由等积法可得

S四边形ACBD=SABCD+>代入求解即可；

（4）分点P在线段AC上和AC的延长线上两种情况，过点E作AC的垂线交AC于点Q,

构造RtaPQE,再根据勾股定理即可求解.

【详解】

（1）RtAABC,ZACfi=90°,ZSAC=30°,斜边AB=4,

：,BC=-AB=2,：.AC=^AB--BC-=2^