重庆市2024-2025学年高三年级上册11月期中调研测试数学试题【含解析】

2025年普通高等学校招生全国统一考试

11月调研测试卷数学

数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡

上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字

笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1

1.已知i为虚数单位，zl+2i,则目=()

5353

【答案】C

【解析】

【分析】由复数的除法运算以及模的运算公式即可得解

1l-2il-2i12.

［详解［由2_］+21_(1+20(1_20_5I*

故选：C

2.已知集合”={0,1,2,3,4,5},^={x|(x+l)(x-3)<0},则()

A.{3}B.{2,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

【答案】D

【解析】

【分析】化简集合N,然后根据交集的定义求解即可

【详解】^={x|(x+l)(x-3)<0}={x|-l<x<3},

又"={0,1,2,3,4,5},所以”nN={(M,2,3},

故选：D

3.已知。>6,c<<7<0,则()

A.a+c>b+dB.a+c2>b+d2C.ac>bdD.ac2>bd2

【答案】B

【解析】

【分析】由不等式的性质可得B；举出反例可得A、C、D.

【详解】对A：取。=1,b=Q,。=一2,d=7,止匕时Q+c=b+d=-1,故A错误；

对B：由cvdvO,贝Ue?〉屋,又a>b,故4+02>6+/，故B正确;

对C：取。=1,b=0,c=—2,d=—1,止匕时ac=—2<=0,故C错误；

=

对D：取。=—1,b=-2,c=—2,dJ此时QC?=-4<bd?=-2,故D错误;

故选：B.

,、11

4.已知数列{。〃}满足：%=3,—+-=1,则4=()

anan+l

32

A-B.-C.2D.3

,23

【答案】A

【解析】

11,

【分析】由一+—=1可得%=%+2,再借助为求出4即可得解.

anan+\

1111111

【详解】由——+---=1,则----+----=1,故——=----即an=an+2

anan+\an+l%+24。〃+2

1i11123

则。6=。4=。2，又—=1=]_彳=7，故。6=。2=1.

a2ax332

故选：A.

5.已知平面上的两个非零向量Z，B满足口―可•口+2可=73=7,贝（）

【答案】B

【解析】

【分析】借助向量数量积公式计算可得口=血利’再利用向量夹角公式计算即可得.

【详解】由(14»2耳=@+/—2用=7九故口=闾,

则cos伍3)=年"=J]|_|=立,又｛a,》e[0,兀],故(2范)=：.

、/卜用四牛忖2'/L」\/4

故选：B

6.已知实数a〉0,且awl,若函数〃x)=aX+log"X在(1,2)上存在零点，则()

224

A,a+logfl2<0B,a-log2a<0C,a+logfl2>0D.a-logfl2<0

【答案】A

【解析】

【分析】分。〉1、0<。<1进行讨论，结合/(x)的单调性与零点的存在性定理可判断A,亦可得

0<a<l,由0<a<1结合对数函数性质进行分析可判断B、C、D.

【详解】当。〉1时，易得/(%)=优+唾尸在(0,+8)上单调递增，

则需/(l)=a+log〃l=a<0,与a〉l矛盾，故舍去，

当0<a<1时，易得f(x)=a'+logax在(0,+8)上单调递减，

2

则需/⑴=a+logj=a>0,/(2)=a+logfl2<0,故A正确；

由0<a<1,则—logntz>tz—0>0,故B错误；

42

a+logfl2<a+logfl2<0,故C错误；

a-logfl2>a-0>0,故D错误.

故选：A.

7.设△⑷BC的三个内角/,B,C的对边分别为a,b,c,若in-=—，且

s23

a?—2ac+2c2—6c+9=0,则6=()

A.372B.4C.2A/3D.V3

【答案】C

【解析】

【分析】把题设条件变形可得a=c=3,然后根据等腰三角形的性质，在直角ABDC中即可求出

【详解】由/一24+2c2—60+9=0变形得("-2ac+c2)+(c2-6c+9)=0,

所以(a—C)2+(C—3『=0,得。=。=3,所以△4SC是以2为顶角的等腰三角形,

如图，取ZC中点。，所以BDLNC,且NCBD，NB

2

在直角△8£>C中，in-=—，

s23

所以b=2|CD|=2忸qsin/CAD=2asinm=2x3x，=2g

故选：C

8.已知实数a,b,C满足：a2+2b2=9>3Z)2+4c2=48-5c2+6a2=5b贝U3a—2b+c的最大值为

()

A.6B.9C.10D.15

【答案】C

【解析】

2

【分析】由题意可计算出/、/、c,即可得3a-26+c的最大值.

【详解】由6+2〃=9，则6a2+12〃=54,X5c2+6a2=51.贝(112/一5c2=3,

由3/+4。2=48,则12r+16。2=192,故21c2=189,即/=9,

则/=48-4°-生=4,则/=9一2/=1，

33

则。=±1,b=+2,c=±3,

故Ga—Zb+cL=3xl-2x(-2)+3=10.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.已知p：“VxeN,2x+l是奇数“，g："HxeN,3x+l是偶数”，则（）

A.」P：VxeN,2x+l是偶数"B.M：“3ceN,2x+l是偶数”

C.「q：“mxeN,3x+l是奇数”D.「q：“VxeN,3x+l是奇数”

【答案】BD

【解析】

【分析】由全称命题与特称命题否定的定义判断即可得.

【详解】由於“VxeN,2x+l是奇数”，q：K3xeN,3x+l是偶数”，

贝U可：3xeN,2x+l是偶数”，f：“VxeN,3x+l是奇数”，

故B、D正确；A、C错误.

故选：BD.

10.已知等比数列｛%｝的公比q=—；,其前〃项和记为S",且§6=21,则（）

A.a4a8=1B.ana2C.Sn<21D.Sn>16

【答案】ABD

【解析】

【分析】借助等比数列求和公式可计算出数列｛%J的通项公式，借助通项公式即可得A；借助作差法后对〃

分奇偶进行讨论可得B；求出S,后对〃分奇偶讨论可得C、D.

【详解】由题意可得S=—L一-一L=_<_a2=也=21，即为=32,

「T3"

故%=翌.臼=-[J]，

对人“十7][-7]4卜,

故A正确；

对B,q“2=-V1；y=16-16

若"为奇数，贝1J%=16-[-；]=16+/^)

>0,

若〃为偶数，则—。2=16—[―g]=16-2'，随"的增大而增大,

tian-a2>a2-a2=0,故B正确;

2

;

64

s64

614+>3一

33•2»,且随"的增大而减小，

64«

S<64

64-一

33•23,随〃的增大而增大，

则当”=1时，J有最大值，即S"VS]=32,

当〃=2时，S〃有最小值，即S〃2S1=16,

故C错误，D正确.

故选：ABD.

11.设aeR,函数/(X)=—/+"一2,则()

A,当a<0时，函数/(x)为单调递增函数

B.点(0,-2)为函数y=/(x)图象的对称中心

C.存在使得函数y=/(x)图象关于直线x=b对称

D.函数/(x)有三个零点的充要条件是a〉3

【答案】BCD

【解析】

【分析】求导可得/'(月=-3/+*可判断A错误；利用对称中心定义可知满足/(力+/(-力=-4,

可知B正确;利用轴对称函数定义可知存在a,6满足口43廿时使得函数V=/(x)图象关于直线x=b对称，

即C正确；由三次函数性质利用导函数求得/(x)的单调性，再根据极值的符号即可判断D正确.

【详解】易知/'(x)=-3/+%

对于A,当a<0时，可知/'(x)=-3/+。<0恒成立，因此函数/(x)为单调递减函数，即A错误；

对于B,由/(x)=-x3+ax-2可得f(x)+f(-x)=-x3+ax-2-(-x)3-ax-2=-4,

即可得对于VxeR都满足/(x)+/(-"=-4,所以点(0,—2)为y=/(x)图象的对称中心，可得B正

确;

对于C,若函数y=/(x)图象关于直线X=b对称，则满足/(x)=/(2b—X),

又/(2b-x)=-(23-X)3+a(2b-x)-2,可得-x，+ax=-［2b-x^+a(2b-x),

整理2(6—x乂f_2bx+4b2—a)=0,当4/-a2Z?时，

即时，只有满足x=b时/(x)=/(2b—x)成立，

因此存在a,6满足a<3Z?时使得函数J=/(x)图象关于直线x=b对称，即C正确；

对于D,由A选项可知当aW0时，=-3/+a<0恒成立，E总数/(x)为单调递减函数，不合题

忌；

所以a〉0,令/'(》)=一3/+。=0,解得》=或》=—

易知xe一叫一或xejj|^+oo时，f'(x)<0,当xe—/-'J时，/'(1)>°；

因此可得/(x)在一°°，—和jJ^，+G0上单调递减，在一

上单调递增；

V3,

即/(X)在X=、和X=-A出分别取得极大值和极小值；

(一日七甘-毛-2<°

若函数/⑺有三个零点，可得:、，解得a>3；

，福Y卜。卜>。

因此充分性成立；

当a>3时，可知/(x)在一叫一J"［。1+°°上单调递减，在—A'jf］上单调递增；

且极小值=—"jf—2<。'极大值=—/Z卜〉。,

由三次函数性质可知此时/(x)有三个零点，即必要性成立，

所以函数/(x)有三个零点的充要条件是a>3,即D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：在求解三次函数零点个数时，关键是根据单调性限定出极值的符号，解不等式即可

得出参数取值范围.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知平面直角坐标系中，向量2=(—1,2),单位向量加=(》/)满足|£+4=*4，则x的值可以是

.(写出一个正确结果即可)

【答案】2叵(或一垣).

55

【解析】

【分析】借助模长与数量积的关系计算可得鼠否=o，再利用向量数量积的坐标公式与单位向量定义计算即

可得解.

【详解】由则(3+可2=(1•，即W+273+W、,一2H+W，

即73=0，即有。范=—x+2y=0,又W=JK+y2=d4y2+>2=1,

则y=±*，则x=2y=±2：.

故答案为：巫(或一垣).

55

13.已知/(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=ex+l+2x,则/(1)=.

【答案】1

【解析】

【分析】由奇函数性质可得/(1)=一/(一1).

【详解】由奇函数性质可得/(I)=-/(-1)=-e-1+1-2x(-1)=-1+2=1.

故答案为：1.

14.已知函数/(x)=asinx,aeZ.若y=/(/(x))的零点恰为y=/(x)的零点，则a的最大值是

【答案】3

【解析】

【分析】设/={x|/(x)=0},5=(x|/(/(x))=0},根据三角函数的性质及集合间的基本关系计算即

可.

显然，集合/非空.

当a=0时，显然A=B,

以下设awO,

此时A=｛x|asinx=0｝,B=^x|asin(asinx)=o｝=｛x|asinx=E，kez).

易知，6口/当且仅当对任意的xeR,有asiiuwE(keZ,左wO),

即时＜冗,故整数。的最大值为3.

故答案为：3

【点睛】思路点睛：利用函数的迭代及集合的基本关系结合三角函数的有界性计算即可.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知非零等差数列｛4｝满足：al0=a9-2ag,aA+o6o7=0.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵记｛a,,｝的前n项和为Sn,求S”的最小值.

【答案】(1)%=2〃—17

(2)-64

【解析】

【分析】(1)设出等差数列｛4｝的公差后，借助所给等式即可计算出公差与首项，即可得解；

(2)求出S,后由二次函数性质即可得

【小问1详解】

设等差数列｛%｝的公差为d,

由%。=a9—2a&可得%+9d=%+8d—2(%+7d),即2%=-15d,

由％+a6a7=0可得%+(4+5d)(q+6d)=0,即a；+1la^d+3Od2+%=0,

22

即有-llxyt/+3Qd-^-d=Q,化简得d(d—2)=0,

故d=0或d=2,则。i=0或%=—15,

由数列｛a“｝为非零数列，故d=2,%=-15,

故%=-15+2(〃-1)=2"-17；

【小问2详解】

S/T5+；-17)〃=/—16〃=(”8)2—6%

故当〃=8时，Sn有最小值58=-64.

16.己知函数/(X)=/+2卜+4.

(1)讨论/(x)的奇偶性；

(2)若/(x)在(-M)上具有单调性，求实数。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)(-oo,-l]U[l,+<»)

【解析】

【分析】(1)结合函数奇偶性定义，计算是否存在实数。，使得对任意的xeR,/(x)+/(-x)=0或

/(x)-/(r)=O恒成立；

(2)由函数单调性定义结合绝对值性质，分a21、a<-1及-1<。<1判断即可得.

【小问1详解】

/(x)定义域为R,/(-x)=x2+2|-x+a|,

则/(x)+/(-x)=x2+2|X+<7|+X2+2|-x+a|=2x2+2(|x+<7|+|-x+tz|),

则当xW0时，/(%)+/(-%)=2x2+2Qx+4+|-x+a|)〉0恒成立，

故/(x)不可能为奇函数，

/(x)-f(-x)=x~+2|x+tz|__21_x+tz|=2(|x+a|-1-x+4),

若以+4—卜x+a|=0恒成立，则有(x+a)"=(-x+a)",即a=0,

此时/(x)为偶函数，

综上所述，当a=0时，/(x)为偶函数，当a70时，/(x)为非奇非偶函数；

【小问2详解】

令一1<玉<々<1，则%1+%2+2〉0,占+工2-2<0,

当a21时,则/（再）-=>+2（再+。）-W-2（%+。）

=X；_X；+2（X]―%）=_》2）（2++》2）<0，

此时/（X）在（-1,1）上单调递增，符合要求；

当。<一1时,则/（再）-/（》2）=%；-2（%1+a）-考+2（%+a）

=x；—x,—2（石—X2）=（X]-%2）（+%—2）〉0,

此时/（X）在（-1,1）上单调递减，符合要求；

「/、।x2+2x+2a.-a<x<\

当一1<Q<1时，则/（%）=%9+2,+4={,

x—2x—2a,—l<x<—a

由二次函数性质可知，/⑺在上单调递增，在（-4,1）上单调递减,

故此时不符合要求；

综上所述，ae（-oo,-l]u[l,+oo）.

71八2sin4—2cosB+cosA

17.在△ZBC中，已知4+5>—，tanB=—；------------------；——

32sin5-2cos4+sin4

（1）证明：sinC=1+—cosC；

2

（2）若45=2,求△48C面积的最大值.

【答案】（1）证明见解析

（2）1

【解析】

【分析】（1）借助三角恒等变换公式与三角形内角即可得证；

JT

（2）由（1）中所得结合同角三角函数基本关系与N+8〉一可得C,再借助面积公式结合余弦定理与基

3

本不等式即可得解.

【小问1详解】

,八2sin^4-2cosB+cosAsin5

由tan8=----------------------------=-------,

2sin8-2cosZ+sinZcos5

则有2sinAcosB-2cos2B+cosAcosB=2sin25-2sin5cos^4+sin^4sinB，

即2sin/cos8+2sin5cosZ+cosNcos5-sinNsin8=2sin25+2cos2B

即2sin(4+B)+cos(4+B)=2,即2sinC—cosC=2,

故sinC=1+—cosC；

2

【小问2详解】

由sinC=1+—cosC,则sin2C=1+—cos2C+cosC=1-cos2C,

24

化简得cosc]cosC+3]=0,即cosC=0或cosC=-y,

jr9TT9TT1jr

由N+8〉一，则。＜—，贝ijcosC〉cos—=——，故cosC=0,即。=—,

33322

则由余弦定理AB2=+8c2一2zc.8C.cosC可得4=AC?+8C?,

则4=2。2+8。222ZC-8C，即ZC-8CV2,

当且仅当/C=5C=行时，等号成立，

故S=--AC-BCsmC=AC'BC＜1,

△az5c22—

即△4BC面积的最大值为1.

18.已知函数/(x)=(x+a)lnx-x(czGR).

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点(1,/。))处的切线方程；

(2)若函数/(x)有两个极值点，求a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，确定函数/(x)零点的个数.

【答案】(1)x-y-2=0

(2)0＜。＜一

e

(3)一个

【解析】

【分析】(1)利用导数的几何意义，对/(X)求导即可得解；

(2)利用二次求导，分类讨论aWO,与0＜。＜,三种情况，结合导数与函数极值的关系即可得解;

ee

(3)利用(2)中结论，分析得了(x)的极大值的正负情况，结合零点存在定理即可得解.

【小问1详解】

因为/(%)=(x+")lnx—x,x>0,所以/'(x)=lnx+2,

当a=l时，/(x)=(x+l)lnx-x,//(x)=lnx+—,

JC

所以/(l)=(l+l)xlnl—1=—1,/,(l)=tal+pl,

则曲线V=/(x)在点(1,/。))处的切线方程为>+l=lx(x—l),即x—y—2=0.

【小问2详解】

a

函数/(X)有两个极值点，则/'(X)=InX+—=0有两个不等正根，

x

人/、ia，/、1ax-a

令g(x)=lnx+—,g(x)=-----=——,

XXXX

当aVO时,g'(x)20,g(x)单调递增,即/'(X)单调递增,

则/(x)至多只有一个极值点，不满足题意；

当。〉0时，令g'(x)<0,得0<x<a；令g'(x)>0,得x>。；

则g(x)在(0,a)上单调递减，在(。,+功上单调递增，g(x)min=g(a)=ln<7+l,

当。2工，即lna+120时，g(x)>0,即/'(x)20,

e

则/(X)在(0,+“)上单调递增，无极值点，不满足题意；

当0<〃<，时，g(a)=lna+l<0,

e

]1—x

令机(x)=lnx-x+1,贝！=——1=----,

XX

令机’(x)>0,得0<x<l；令加'(x)<0,得X>1；

所以加(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+⑹上单调递减,

所以加(x)2机(l)=lnl—1+1=0,所以InxWx—l,

则lnxWx-l<x,故即

aac、"

aa

则geQ=---\-ae=ae-2

\JaIaJ

令/z(x)=e"—%〉e,则h\x)=ex-2x,

令〃(x)=e“—2x,x〉e,则"(x)=e'—2〉0,则〃(%)在(e,+8)上单调递增,

所以〃(x)>〃(e)=e'-2e>0,所以〃(x)单调递增,

从而/z(x)〉/z(e)=ee—e?〉0,即血>幻,

所以ge">0,从而存在西e(0,a),使得g(xJ=0,

I)

(1_11

又ge。=—+ae。〉0,e。〉。，

\)a

所以存在%£(见+°°)，使得g(%2)=。，

此时/(X)有两个极值点，满足题意综上，所以0<。<」.

e

【小问3详解】

在(2)的条件下，设/(X)的两个极值点为王,》2，且0<再<。<X2,

则由(2)知，当0cx<再或x>%2时,g(x)〉0，即/'(x)〉0；

当X[<X<X2时，g(x)<0,即/'(x)>0；

所以/(X)在(0,芭),(Z，+°°)上单调递增，在(为%)上单调递减，

a

又In石H—=0,即a=_%]In1],

%

所以/(再)=(西+④山/一玉=(玉_X]lnxJlnX]_Xi=f((lnxj2_lnX]+l)<0,

1L111

则/(/)</(西)<0，又/e。=ea+a——ca1-1

?I)aaJ

令t(x)=(x-l)ex,x〉e,

由(2)知InxVx-l,所以lneXWe"—l，即e"2x+l，

所以(x-l)e'+l>(x-l)(x+l)+l=x2>0,

则—l]eZ+l〉0,所以

)I)

所以/(x)在(0,9)上没有零点，在(％，+s)上有一个零点,

即/(x)仅有一个零点.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法:

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图

象，然后将问题转化为函数图象与X轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形

结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/(x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线歹=a与函数

y=g(x)的图象的交