中考数学模型专项突破：辅助圆系列最值模型（含答案及解析）

大招

辅助圆系列最值模型

模型介绍

0【点睛1】触发隐圆模型的条件

(1)动点定长模型

若P为动点，但AB=AC=AP原理：圆A中，AB=AC=AP

则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径备注：常转全等或相似证明出定长

(2)直角圆周角模型

固定线段AB所对动角/C恒为90°原理：圆O中，圆周角为90。所对

弦是直径

则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角

(3)定弦定角模型

固定线段AB所对动角NP为定值原理：弦AB所对同侧圆周角恒相

等

则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆备注：点P在优弧、劣弧上运动皆

可

(4)四点共圆模型①

若动角NA+动角/C=180°原理：圆内接四边形对角互补

则A、B、C、D四点共圆备注：点A与点C在线段AB异侧

(5)四点共圆模型②

固定线段AB所对同侧动角NP=/C原理：弦AB所对同侧圆周角恒相

等

则A、B、C、P四点共圆备注：点P与点C需在线段AB同

侧

团【点睛2】圆中旋转最值问题

条件：线段AB绕点。旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点

(1)求CM最小值与最大值

(2)求线段AB扫过的面积

(3)求SAABC最大值与最小值

作法：如图建立三个同心圆，作OM_LAB,B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆

国结论:

①CMi最小，CM3最大

②线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积

③S-BC最小值以AB为底，CMi为高；最大值以AB为底，CM2为高

o

例题精讲

考点一：定点定长构造隐圆

【例1].如图，已知/CBD=2/BDC,ZBAC=44°,则NCA。的度数

A变式训练

【变式17].如图所示，四边形ABC。中，DC//AB,BC=\,AB=AC=AD=2.则8。的

A.旧B.715c.3V2D.273

【变式1-2].如图，点A,8的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C为坐标平面内一点,

BC=2,点M为线段AC的中点，连接OM,OM的最大值为.

考点二：定弦定角构造隐圆

【例2].如图，在△ABC中，BC=2,点A为动点，在点A运动的过程中始终有

45°,则△ABC面积的最大值为.

A变式训练

【变式2-1].如图，尸是矩形ABC。内一点，AB=4,AD=2,AP±BP,则当线段。尸最

【变式2-2].如图，边长为4的正方形A3C。外有一点E,NAE2=90°,尸为。E的中点,

连接CF,则CF的最大值为

考点三：对角互补构造隐圆

【例3].如图，在矩形ABC。中，AB=3,8C=5,点E在对角线AC上，连接作EF

-LBE,垂足为E,直线EF交线段。。于点尸，则里=.

BE

A变式训练

【变式3-1].如图，在四边形ABCZ)中，/BAD=/BCD=90°,NAC£)=30°,A£)=2,

E是AC的中点，连接DE,则线段DE长度的最小值为.

【变式3-2].如图，正方形ABC。的边长为2,点E是BC边上的一动点，点歹是C。上一

点，且C£=ORAF,DE相交于点O,B0=BA,则0c的值为

实战演练

1.如图，在平面直角坐标系中，点4、8的坐标分别为(-3,0)、(0,4),以点A为圆心,

以AB长为半径画弧交x轴上点C,则点C的坐标为()

B.(2,0)

C.(-8,0)D.(2,0)或(-8,0)

2.如图，在矩形ABC。中，已知AB=3,BC=4,点P是8C边上一动点（点P不与8,C

重合），连接AP,作点8关于直线AP的对称点则线段MC的最小值为（）

C.3D.\410

3.如图，在矩形ABCD中，AB=8,8c=6,点尸在矩形的内部，连接必，PB,PC,若

ZPBC=ZPAB,则PC的最小值是（)

C.2^13-4D.4A/13-4

4.如图所示，NMON=45°,RtAABC,ZACB=90°,BC=6,AC=8,当A、8分别在

射线OM、ON上滑动时，OC的最大值为（)

D.I4/2

5.如图，已知AB=AC=AD,NCBD=2NBDC,N3AC=44°，则/CA。的度数为

6.如图示，A,2两点的坐标分别为(-2,0),(3,0),点C在y轴上，且NACB=45

7.如图，RtAABC+,AB±BC,AB=6,BC=4,尸是△ABC内部的一个动点，且满足/

PAB+ZPBA=9Q°,则线段CP长的最小值为.

8.在△ABC中，AB=4,ZC=45°，则&AC+BC的最大值为

9.如图，等边△ABC中，AB=6,点点E分另I］在2C和AC上，且B£)=CE,连接AD、

BE交于点F,则C尸的最小值为.

10.如图，正方形ABC。中，AB=2,动点E从点A出发向点O运动，同时动点尸从点。

出发向点C运动，点E、尸运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过

程中线段AG8E相交于点P,则线段。P的最小值为.

11.如图，四边形4BC。中，ZABC=ZACD=ZADC=450,△DBC的面积为8,则8C

长为_______

12.己知：在△ABC中，AB=AC=6,NB=30°,E为BC上一点、,BE=2EC,DE=DC,

ZADC^60°,则AD的长.

13.如图，在正方形ABC。中，AD=6,点E是对角线AC上一点，连接。E,过点E作跖

LED,连接。尸交AC于点G,将△跳G沿所翻折，得到△E&W.连接DM.交EF于

点、N.若AP=2.则△EMN的面积是

14.如图，在正方形ABC。中，4。=8,点E是对角线AC上一点，连接。E,过点E作斯

-LED,交A8于点孔连接。F,交AC于点G,将△£人?沿EF翻折，得到△EFM,连

接DM,交EF于点N,若点尸是A8的中点，则句0=,地=.

15.如图，在矩形A8CZ）中，AB=6,4。=8,点E,尸分别是边CD,BC上的动点，且/

AFE=9Q°

(1)证明：△ABFsMCE；

(2)当。E取何值时，/AED最大.

16.如图，将两张等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中，点。(0,0),

A(0,4).将RtZXOCD绕点。顺时针旋转，连接AC,BD,直线AC与8。相交于点P.

(1)求证：AP1BP；

(2)若点。为OA的中点，求P。的最小值.

17.(1)【学习心得】

于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆

的知识解决，可以使问题变得非常容易.

例如：如图1,在△ABC中，AB^AC,/BAC=90°,。是△ABC外一点，5.AD=AC,

求/BOC的度数.若以点A为圆心，为半径作辅助04则点C、。必在OA上，Z

BAC是OA的圆心角，而/3OC是圆周角，从而可容易得到NBOC=°.

(2)【问题解决】

如图2,在四边形A8C。中，ZBAD=ZBCD=9Q°,ZBDC=25°,求NB4C的度数.

(3)【问题拓展】

如图3,如图，E,F是正方形ABC。的边上两个动点，满足AE=D£连接CF交

2。于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段。〃长度的最小值是—.

18.如图，已知抛物线y=a?+bx+6"WO)的图象与无轴交于点A(-2,0)和点B(6,

0),与y轴交于点C,点。为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的表达式及顶点。的坐标；

(2)如图①，连接2C,点尸是线段BC上方抛物线上一动点，若△P8C的面积为12,

求点P的坐标；

（3）如图②，已知。8的半径为2,点。是08上一个动点，连接A。，DQ,求。。+工

4

AQ的最小值.

图①图②

19.模型分析

如图在△ABC中，ADL2C于点。，其中N54C为定角，为定值，我们称该模型为定

角定高模型.

问题：随着点A的运动，探究3C的最小值（△ABC面积的最小值）.

（1）当NA4C=90°时（如图①）：

第一步：作△ABC的外接圈O。；

第二步：连接OA;

第三步：由图知AO2A。，当A0=A。时，BC取得最小值.

（2）当N&lC<90。时（如图②）：

第一步：作△ABC的外接圆O。；第二步：连接。4,OB,0C,过点。作于点

E：

第三步：由图知AO+OE'A。，当AO+OE=A。时，BC取得最小值.

那么NBAC>90°呢？

结论：

当A。过△ABC的外接圆圆心。（即A8=AC）时，BC取得最小值，此时△ABC的面积

最小

当/A4C<90°时，请根据【模型分析】（2）中的做法将下面证明过程补充完整.

求证：当A。过△ABC的外接圆圆心。（即A8=AC）时，8c取得最小值，此时AABC

的面积最小.

证明：如解图，作△ABC的外接圆。。，连接。A,OB,0C,过点。作。ELBC于点E,

设。。的半径为r,NBOE=NBAC=ci,AD=h,

.,.BC=2BE=2OB,sir\a=2r'sma,

,.,sina为定值，，要使8C最小，只需…

自主探究：我们知道了当AD过△ABC的外接圆圆心。（即A8=AC）时，AABC的面

积取得最小值,那么要使AABC的周长取得最小值，需要满足什么条件呢？

图①

20.如图，抛物线y=a%2+_|x+c与x轴交于A,3两点（点B在点4左侧），与y轴交于点

C,直线y=fcc+b经过点A,C,且。4=2OC=4.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E为AC上方抛物线上一动点，过点E作E/〃y轴交AC于点后求线段跖的

最大值；

（3）在（2）的结论下，若点G是无轴上一点，当NCG尸的度数最大时，求点G的坐标.

回口模型介绍

0【点睛1］触发隐圆模型的条件

(1)动点定长模型

/一、'、

若P为动点，但AB=AC=AP原理：圆A中，AB=AC=AP

则B、C、P二点共圆，A圆心，AB半径备注：常转全等或相似证明出定长

(2)直角圆周角模型

c，-----、

------------o------------^8

4L----------------------——\/

\/

\/

、✓

、/

**---*•

固定线段AB所对动角NC恒为90°原理：圆0中，圆周角为90°所对

弦是直径

则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角

(3)定弦定角模型

W

1，

1t1

!乂尸(动)

产%

4*^7日R

固定线段AB所对动角/P为定值原理：弦AB所对同侧圆周角恒相

等

则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆备注：点P在优弧、劣弧上运动皆

可

(4)四点共圆模型①

Do~

(动4(动)4、______/B

若动角/A+动角/C=180°原理：圆内接四边形对角互补

则A、B、C、D四点共圆备注：点A与点C在线段AB异侧

(5)四点共圆模型②

O'

固定线段AB所对同侧动角ZP=ZC原理：弦AB所对同侧圆周角恒相

等

则A、B、C、P四点共圆备注：点P与点C需在线段AB同

侧

0【点睛2】圆中旋转最值问题

0

/

条件：线段AB绕点。旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点

（1）求CM最小值与最大值

（2）求线段AB扫过的面积

（3）求S—BC最大值与最小值

作法：如图建立三个同心圆，作OMLAB,B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆

团结论：

①CMi最小，CM3最大

②线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积

③S/VIBC最小值以AB为底，CMi为高；最大值以AB为底，CM2为高

同国例题精讲

考点一：定点定长构造隐圆

【例如图，已知AB=4C=A。，ZCBD=2ZBDC,ZBAC=44°,则/CA。的度数

：.B,C,。在以A为圆心，AB为半径的圆上，

：.ZCAD=2ZCBD,ZBAC=2ZBDC,

■:NCBD=2NBDC,/BAC=44°,

.-.ZCA£）=2ZBAC=88O.故答案为：88°

A变式训练

【变式17].如图所示，四边形ABC。中，DC//AB,BC=1,A2=AC=A£>=2.则3。的

A.旧B.V15c.3V2D.273

解：以A为圆心，A3长为半径作圆，延长A4交OA于凡连接。尸.

VDC//AB,

.,.DF=BC,

：.DF=CB=1,BF=2+2=4,

:必是OA的直径,

/.ZFZ)B=90°,

【变式1-2].如图，点A,B的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C为坐标平面内一点,

BC=2,点M为线段AC的中点，连接OM,OM的最大值为.

解：为坐标平面内一点，BC=2,

点C的运动轨迹是在半径为2的。8上,

如图，取。£>=。4=4,连接OD,

0M是△ACD的中位线，

最大值时，CD取最大值，此时B、C三点共线,

此时在RtAOBD中，BD=742+42=4^2>

:.CD=2+4如,

的最大值是1+2a.

故答案为：1+2我.

考点二：定弦定角构造隐圆

【例2].如图，在△ABC中，8C=2,点A为动点，在点A运动的过程中始终有

45°,则△ABC面积的最大值为.

解：如图，AABC的外接圆。。，连接。8、OC,

VZBAC=45°,

/.ZBOC=2ZBAC=2X45°=90°,

过点。作OOLBC,垂足为。，

'：OB=OC,

：.BD=CD=—BC=1,

2

'：ZBOC=9Q°,ODLBC,

：.OD=­BC^\,

2

0B=VOD2+BD2=&'

•••8C=2保持不变，

边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大,

此时BC边上的高为：&+1,

」.△ABC的最大面积是：1X2X(V2+D=6+1.

2

故答案为：V2+1.

A

0

BC

A变式训练

【变式2-1].如图，尸是矩形A2CD内一点，A2=4,AO=2,AP1BP,则当线段。尸最

解：以为直径作半圆O,连接OD,与半圆0交于点P',当点P与P'重合时，DP

2

'：AD=2,ZBAD=90°,

：.OD=2近,ZADO=ZAOD=ZODC=45

：.DP'=0D-OP'=26-2,

过P作PELCD于点E,则

P'E=DE=^-DP'=2-A/2)

2

:.CE=CD-DE=®+2,

：-CP'=VP"E2<E2=2>/3-

故答案为：2a.

【变式2-2].如图，边长为4的正方形ABC。外有一点E,NAEB=90°,产为。E的中点,

连接CF,则CF的最大值为.

；NA班=90°,

...点E在这个08上，

延长。C至尸，使CO=PC,连接BE,EH,PH,过H作MILLCO于M,

\'EF=DF,CD=PC,

:.CF=、PE,

2

RtZWEB中，是AB的中点，

：.EH=—AB=2,

2

RtZXPHM中，由勾股定理得：=^22=2^,

PH=A/HH2+PH24+8

,?PE^EH+PH=2+2A/13，

当P,E,”三点共线时，PE最大,CF最大,

.•.5的最大值是岳+1

考点三：对角互补构造隐圆

【例3].如图，在矩形ABCZ）中，AB=3,BC=5,点E在对角线AC上，连接BE,作EF

LBE,垂足为E,直线EF交线段。C于点尸，则变=.

BE

解：如图，连接2R取8尸的中点。，连接OE,OC.

•・•四边形A5CO是矩形，EFLBE,

・・・四边形对角互补，

：.B,C,F,E四点共圆,

：.ZBEF=ZBCF=90°,AB=CD=3,BC=AD=5,

♦：OB=OF,

：.OE=OB=OF=OC,

AB,C,F,E1四点在以。为圆心的圆上,

・•・NEBF=NECF,

tanZEBF—tanZACD,

.空=妈=§

"EBCD3

A变式训练

【变式3-1].如图，在四边形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90°,ZACD=30°,AD=2,

E是AC的中点，连接则线段。E长度的最小值为.

解：VZBAD=ZBCD=90°,

；.A、B、C、。四点共圆，且8。为直径，取3。中点O,则圆心为点O,

连接AO、CO,取A。中点R连接ERDF,

VZACD=30°,

AZAOD=60°,

,：OA=OD,

为等边三角形,

.\OA=OD=OC=ZAD=2,

：.ZAFD=9Q°,则£>/=%，

「所是△AOC的中位线，

；.EF=—OC=1,

2

在△£)£/中，DF-EFWDE,

.•.当。、E、b三点共线时，OE取到最小，最小值为百-1.

的最小值为«-L

【变式3-2].如图，正方形A8C。的边长为2,点E是BC边上的一动点，点尸是C。上一

点，MCE=DF,AR相交于点。，BO=BA,则OC的值为.

•..四边形4BCD是正方形，

：.AD=DC,ZADF=ZECD=ZABC=90°,

"：DF=CE,

：./\ADF^/\DCE,

：.ZDAF=ZEDC,

VZEDC+ZADO^90°,

/.ZDAF+ZADO=90°,

AZAOD=90°,

.,•四边形ABE。对角互补，

；.A、B、E、。四点共圆，

取AE的中点K,连接BK、OK,作OM_LCD于

则KB=AK=KE=OK,

'：BA=BO,

：.ZBAO=ZBOA=ZAEB=/DEC,

'：AB=DC,/ABE=NDCE,NAEB=/DEC,

：.AABE会LDCE,

.•.B£=EC=1,

：.DF=EC=FC=1,

DE={F+22=VS，

/\DFO^/\DEC,

.0D=0F=DF

••而ECDE'

-0D_OF_1

・丁丁正，

；.0。=汉1_,0/=匹，

55

'：^-DO'OF=^"DF'OM,

22

.・.OM=Z,

5

.\MF=A/QF2_0H2=1,

CM=1+—=—,

55

在RtZXOMC中，OC=AOM24cM2=2\^3,

5

故答案为

BJM|实战演练

1.如图，在平面直角坐标系中，点A、8的坐标分别为（-3,0）、（0,4）,以点A为圆心,

C.（-8,0）D.（2,0）或（-8,0）

解：•.•点A、2的坐标分别为（-3,0）、（0,4）,

：.OA=3,OB=4,

22

.,.AB=^3+4=5,

：.AC=5,AC=5,

•••C'点坐标为（2,0）；C点坐标为（-8,0）.

故选：D.

2.如图，在矩形A8CD中，已知A8=3,8C=4,点尸是8c边上一动点（点P不与8,C

重合），连接AP,作点8关于直线AP的对称点则线段MC的最小值为（）

A.2B.上C.3D.-710

2

解：连接AM,

1点3和M关于AP对称，

：.AB=AM=3,

在以A圆心，3为半径的圆上，

...当A,M,C三点共线时，CM最短，

'."AC=yj32+42=5'AM=A5=3,

：.CM=5-3=2,

故选：A.

3.如图，在矩形ABC。中，AB=8,8c=6,点尸在矩形的内部，连接必，PB,PC,若

NPBC=ZPAB,则PC的最小值是（）

D.-------------------------,C

A.6B.V73-3C.2713-4D.4A/13-4

解：：四边形ABC。是矩形，

ZABC=90°,

AZABP+ZPBC^90°,

ZPBC=ZPAB,

：.ZPAB+ZPBA^90°,

ZAPB=90°,

...点尸在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O,连接OC交。。于P,此时PC最小,

D,-------------------------,C

OC=VOB2+BC2=^42+62=2^/^，

；.PC的最小值为2百§-4,

故选：c.

4.如图所示，/MON=45°,RtAABC,ZACB=9Q°,BC=6,AC=8,当A、8分别在

射线OM、ON上滑动时，OC的最大值为()

N

一

0AM

A.12A/2B.14C.16D.14/2

解：如图，在Rt^ABC中，由勾股定理得42=462+82=10;

在AB的下方作等腰直角△AQB,ZAQB=90a,作8H_LQC于H,

B

(S

X、J/

____,

・,・点。在以点。为圆心，为半径的圆上，

VZAQB+ZACB=180°,

・••点A、aB、。共圆，

：.ZBCQ=ZBAQ=45°,

:.BH=CH=3®

在RtABQH中,由勾股定理得。〃=4、历，

・"。=7近，

当点C、。、。共线时，OC最大，

：.OC的最大值为OQ+CQ=5近+7近=12近,

故选：A.

5.如图，已知AB=AC=AZ),/CBD=2NBDC,NA4c=44°，则/CAD的度数为

,D

B,

u

解：\AB=AC=ADf

：.B,C,。在以A为圆心，A3为半径的圆上,

：.ZCAD=2ZCBD,NBAC=2NBDC,

•：NCBD=2/BDC,ZBAC=44°,

：.ZCAD=2ZBAC=S8°.

故答案为:88°.

6.如图示，A,8两点的坐标分别为(-2,0),(3,0),点C在y轴上，且NACB=45

则点C的坐标为

解：在x轴的上方作等腰直角△ABHFB^FA,NBA尸=90°,以P为圆心，物为半径作

OF交y轴于C,连接CB,CA.

2

■:B(-2,0),A(3,0),△ABF是等腰直角三角形,

：.F(A,5),FA=FB=FC=^^.设C(0.m),

222

则(2.)2+(1,2=(2,

222

解得m=6或-1(舍弃)

：.C(0,6),

根据对称性可知C(0,-6)也符合条件，

综上所述，点C的坐标为(0,6)或(0,-6).

故答案为(0,6)或(0,-6).

7.如图，RtAABC+，AB±BC,AB=6,BC=4,尸是△ABC内部的一个动点，且满足/

PAB+ZPBA^9Q°,则线段CP长的最小值为2

A

解：'：ZPAB+ZPBA^9Q°,

/.ZAPB=90°,

尸在以AB为直径的圆周上（P在△ACB内部），

连接OC,交。。于P,此时CP的值最小，如图,

VAB=6,

：.0B=3,

：BC=4,

.••由勾股定理得：0C=5,

：.CP=5-3=2,

故答案为：2.

8.在△ABC中，AB=4,ZC=45°,则&AC+8C的最大值为.

解：过点8作8OLAC于点。，

VZC=45°,

.•.△88为等腰直角三角形，

:.BD=CD,

设BD=CD=a,延长AC至点尸，使得CF=a,

VtanZAFB=-A,=A,

2a2

作△ABF的外接圆O。，过点0作OE_LAB于点E,则AE=2AB=2,NAOE=NAFB,

2

.■.tanZAO£=—,

2

；.0E=4,OA=^22+42=2A/5-

.,•&AC+BC=&G4C+券BC)=&(AC+CF)=&AFW&(OA+OF),

二我AC+8C的最大值为&X4V5=4\/l0.

故答案为：4V10.

9.如图，等边△ABC中，AB=6,点。、点E分别在BC和AC上，S.BD=CE,连接A。、

BE交于点F,则CF的最小值为.

解：如图，：△ABC是等边三角形，

：.AB=BC=AC,ZABC=ZBAC=ZBCE=60°,

,:BD=CE,

：.AABD^ABCE(SAS)

：.ZBAD=ZCBE,

又,/ZAFE=ZBAD+/ABE,

：.ZAFE=ZCBE+ZABE=ZABC,

.•./AFE=60°,

：.ZAFB=nQ0,

点尸的运动轨迹是。为圆心，。4为半径的弧上运动(ZAOB=120°,04=2百)，

连接0C交。0于N,当点尸与N重合时，。厂的值最小，最小值=0C-0N=4我-2百

—2^3-

故答案为2a.

10.如图，正方形中，AB=2,动点E从点A出发向点。运动，同时动点尸从点。

出发向点C运动，点£、尸运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过

程中线段A尸、BE相交于点P,则线段。P的最小值为

•.•动点尸，E的速度相同，

：.DF=AE,

又：正方形ABC。中，AB=2,

J.AD^AB,

在△ABE和中,

'AB=AD

<ZBAE=ZADF,

AE=DF

AABE^ADAF,

ZABE=ZDAF.

VZABE+ZBEA^90°,

：.ZFAD+ZBEA=9Q°,

AZAPB=9Q°,

:点尸在运动中保持/APB=90°,

.•.点P的路径是一段以AB为直径的弧，

设的中点为G,连接CG交弧于点尸，此时CP的长度最小,

AG=BG=^AB=\.

2

在Rt/XBCG中，DG=A/AG2+AD2=Vl2+22=>

"：PG=AG=\,

:.DP=DG-PG=4^>-1

即线段DP的最小值为泥-1,

故答案为：Vs~1-

11.如图，四边形A3CQ中，ZABC=ZACD=ZADC=45°,△DBC的面积为8,则5C

长为.

解：如图，作DHL3c交3c的延长线于"，取CD的中点0,连接04,0B.

*：DHLBH,

：.ZDHC=90°,

・•・四边形D4CH对角互补，

・・・A,C,H,。四点共圆，

*：ZDAC=90°,CO=OD,

：・OA=OD=OC=OH,

/.A,C,H,。四点在以。为圆心的圆上，

VAC=A£>,

：.ZCHA=ZAHD=45°,（没有学习四点共圆，可以这样证明：过点A作AM，。”于

M,过点A作AN_L3H于N,证明之△ANC,推出AM=AN,推出AH平分NMHN

即可）

VZABC=45°,

・・・NA4H=90°,

：.BA=AH,

VZBAH=ZCAD=90°,

：.ZBAC=ZHADf

VAC=A£>,AB=AH,

•••ABAC名△HAO（SAS）,

：.BC=DH,

.,.SABCD=—XBCXDH=AXBC2=16,

22

；.8C=4或-4（舍弃），

故答案为4.

12.己知：在△ABC中，AB=AC=6,/B=30°，E为BC上一点,BE=2EC,DE=DC,

解：连接AE,过点A作8c于〃点，在RtZkABH中,

VZB=30°,：.AH=^AB=3.

2

利用勾股定理可得BH=3M，

根据等腰三角形性质可知CH=BH=3M，2C=6«.

:.CE=]BC=2M.

：.HE=CH-CE=y/3.

在RtzXAHE中，由勾股定理可求4£=27巧.

所以AE=CE,ZCAE=ZACB^30°,

所以NAEB=60°=AADC,

四边形AEC。对角互补，

...点A、。、C、E四点共圆，

/.ZADE=ZACE=30°,

所以NCZ)E=NAOC-NADE=30°.

,:DE=DC,：.ZDEC=15°.

：.ZAED^nOQ-75°=45°.

过点A作AMIDE于M点,

^-AE=V6.

贝ijAM=

在RtZXAMD中，ZADM=30o,

：.AD=2AM=2A/6.

故答案为2A/6，

13.如图，在正方形ABCO中，AO=6,点石是对角线AC上一点，连接OE,过点石作£尸

LED,连接。尸交AC于点G,将△WG沿族翻折，得到△EFM.连接。M.交EF于

点N.若A尸=2.则△EMN的面积是

解：如图，取。尸的中点K,连接AK,EK.连接GM交跖于H.

・・•四边形AC。是正方形，

：.AD=AB=6,ND4B=90°,AB//CD,ND4C=NC4B=45

■:DELEF,

：.ZDEF=ZDAF=90°,

J四边形A尸£D对角互补，

AA,F,E,。四点共圆，

•：DK=KF,

：.KA=KD=KF=KE,

：.ZDFE=ZDAE=45°,

：.ZEDF=ZEFD=45°,

：.DE=EF,

VAF=2,AD=6,

：.DF=V22+62=2折，

:.DE=DF=2娓,

'.'AF//CD,

•FG=AF=1

"DGDC3'

:.FG=FM=^^~,

2

:.GM=®FM=E

:.FH=GH=HM=,

2

'：EF±GM,

:.GH=HM=y~2_,

2

：.EH=EF-FH=2爬-=

22

'：MH//DE,

•MH=HN=f^"=]

"DEEN275了

:.EN=&EH=8l豆,

55

:.SAENM=、・EN，MH=L，^^-•叵=$.

22522

故答案为国.

2

14.如图，在正方形ABC。中，4。=8,点E是对角线AC上一点，连接。E,过点E作斯

LED,交AB于点尸,连接。E交AC于点G,将△EEG沿EF翻折，得到△E&0,连

接。交所于点N,若点尸是AB的中点，则9=,岖=.

解：•.,将沿翻折，得到

：.FG=FM,

•..四边形A2CO是正方形，

J.AB//CD,

：.AAGF^ACGD,

•.D•-F二AF一'，

DGCD

:点尸是A8的中点，

：.AF=^CD,

2

•••F-G-=1"，

DG2

・「AD=8,

：.AF=4,

•**DF=VAD2+AF2=4病,

：.FM=FG=^^-；

3

VAC是正方形ABCD的对角线，

/.ZCAZ)=45O,

'：EFA.DE,

；./DEF=90°=/BAD,

：.ZBAD^ZDEF=1SO°,

・••点A,D,E,/四点共圆，

：.ZDFE=ZDAC=45°,

：.ZEDF=45°,

；.DE=EF=^-DF=2yT^,

连接GM,交所于尸,

EN=VI5=1

在RtZVJEN中,

瓦二2折三,

故答案为：生叵；1

32

15.如图，在矩形ABC。中，AB=6,AD=8,点E,尸分别是边CD,BC上的动点，且/

AFE=90°

(1)证明：△ABFsMCE；

(2)当。E取何值时，/AED最大.

(1)证明：•.,四边形ABCD是矩形，

.•./B=NC=90°,

VZAFE=90°,

AZAFB+ZEFC=90°,VZEFC+ZFEC=90°,

：./AFB=NFEC,

：.^ABF^AFCE.

(2)取AE的中点O,连接OQ、OF.

VZAFE=ZADE=90°(对角互补)，

，A、D、E、一四点共圆,

ZAED=ZAFD,

当。。与8C相切时，NAF。的值最大，易知BP=CF=4,

△ABFsAFCE,

.AB=BF

"FCEC"

.6-4

••--1,

4EC

：.EC=^-,

3

:.DE=DC-CE=6-旦=卫.

33

.•.当£>E=独时，/AED的值最大.

3

16.如图，将两张等腰直角三角形纸片042和OCD放置在平面直角坐标系中，点。(0,0),

A(0,4).将RtZiOC。绕点。顺时针旋转，连接AC,BD,直线AC与8。相交于点P.

(1)求证：APXBP；

(2)若点。为的中点，求P。的最小值.

(1)证明：•••△043和△OC。都是等腰直角三角形,

：.OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=90°,

ZA0C+ZC0B=ZCOB+ZBOD=90°,

ZAOC=/BOD,

在△AOC和△30£)中，

'OA=OB

<ZAOC=ZBOD-

OC=OD

.♦.△AOC4△BOD(SAS),

：.ZOAC=ZOBD,

'：AOAB是等腰直角三角形，

：.ZOAB+ZOBA=90°,

：.ZOAC+ZCAB+ZABO=90°,

：.ZOBD+ZCAB+ZABO=90°,

：.ZAPB=90°,

：.AP±BP；

(2)解：如图，,：AP±BP,

点P在以48为直径的圆E上运动，由点圆最值可得，

当P,Q,E三点共线，且点P在E。的延长线上时，尸。最小,

:△042是等腰直角三角形，A(0,4),

.•.04=08=4,

：.AB=yf2OA=4-/2,

是AB的中点，。是。4的中点,

：.QE=^OB=2,

是圆E的半径，

；.PE=—AB=2y/2>

2

：.PQ=PE-QE=2M-2,

PQ的最小值为2&-2.

17.(1)【学习心得】

于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆

的知识解决，可以使问题变得非常容易.

例如：如图1,在△ABC中，AB=AC,/3AC=90°,。是△ABC外一点，5.AD=AC,

求/BDC的度数.若以点A为圆心，为半径作辅助04则点C、。必在OA上，Z

BAC是OA的圆心角，而NBOC是圆周角，从而可容易得到N8Z)C=45°.

(2)【问题解决】

如图2,在四边形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90a,ZBDC=25°,求NB4C的度数.