中考数学复习：最值问题（胡不归）练习（解析版）

中考数学专题复习最值问题（胡不归）练习

1.如图，在44BC中，乙4=90。，ZB=60°,2B=2,若。是BC边上的动点，则22。+DC的

最小值（）

A."2.y[3+6B.6C.+3D.4

【答案】B

【分析】

作点A关于BC的对称点A',连接AA',A'D,过D作DELAC于E,易得2DE=CD,AD=A'D,从

而得出AD+DE=A'D+DE,当A',D,E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长是

3,进而求出2AD十CD的最小值.

【解析】

如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA',A'D,过D作DELAC于E

ZBAC=90°,ZB=60。，AB=2

.*.BH=1,AH=V3,AA，=273，ZC=30。

ADE=|CD,即2DE=CD

VA与A'关于BC对称

/.AD=A'D

AAD+DE=A'D+DE

.,.当A',D,E在同一直线上时

AD+DE的最小值等于A'E的长，

在RtaAA'E中：A'E=sin60°XAA，=^X2V3=3

...AD十DE的最小值为3

.,.2AD十CD的最小值为6

故选B

【点睛】

本题主要考察了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD+DE的最小值是解题关键.

2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数_7=炉-2为+。的图象与x轴交于力、C两点，与y

轴交于点方（0,-3）,若夕是x轴上一动点，点〃（0,1）在y轴上，连接被则正外+"

的最小值是（）

A.4B.2+2V2C.2V2D.|+|V2

【答案】A

【分析】

过点尸作PJIBC于J,过点〃作DH1BC于H.根据&P0+PC=V2(PD+孝PC)=&

(PD+PJ),求出DP+P/的最小值即可解决问题.

【解析】

解：过点尸作5呢于/过点、D悴DH1BC千H.

，.,二次函数产=x?-2x+c的图象与p轴交于点£(0,-3),

c--3,

二次函数的解析式为尸下-2x-3,令尸0,Xs-2x-3=0,

解得x=-1或3,

：.A(-1,0),B(3,0),

OB=OC=3,

,：ZBOC^90°,

：.ZOBC=ZOCB=^°,

,：D(0,1),

：.OD=\,BD=4,

■:DH上BC,

:"DHB=9G,

设DH=x,则BH=x,

\"DH2+BH2=BD2,

.".x2+x2=42,

.'.%=2V2>

:.DH=2四,

'JPJLCB,

：.^PJC=90°,

：.P]=^1PC,

回。+PC=&(P。+孚PC)=V2(PD+PJ)，

\'DP+PJ>DH,

：.DP+PJ>2y/2,

.•.以HY的最小值为2&,

.,・V^PD+PC的最小值为4.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解

题的关键是学会用转化的思想思考问题.

3.如图，正方形和5的边长为4,点£为边力〃上一个动点，点夕在边切上，且线段露=4,

点G为线段露的中点，连接加、CG,则应核曲的最小值为.

【分析】

因为的=手郎=2,所以G在以。为圆心，2为半径圆上运动，取W=l,可证△0/s△5£

从而得出然后根据三角形三边关系，得出的是其最小值

【解析】

：.DG=^EF=2,

...点G在以〃为圆心，2为半径的圆上运动,

在切上截取。/=1,连接G/,

・DI_-G_l

**~DG~~CD~2,

：.ZGDI=ACDG,

:.XGDIs^cDG,

.IG__DI_1

**CG-DG-2)

：.IG=^CG,

：.BG*G=BG+IG》BI,

...当£、G、/共线时，BG总CG最小=BL

在Rt△式7中，67=3,比=4,

.,.87=5,

故答案是：5.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点G的运动轨迹是解题的关键.

4.如图，欧中，/BAC=75°,/ACB=6G°,AC=4,则△力欧的面积为二点〃点£,

点尸分别为阳AB,"'上的动点，连接应，EF,FD,则△比F的周长最小值为一

BDc

备用图

【答案】6+2遮3V2+V6

【分析】

(1)过点力作力于〃根据/切片75°,N460°,即可得到

(2)过点£作切上〃于/作点〃关于力£的对称点瓶点尸关于况1的对称点儿连接做

BN,BJ,MN,MN交AB于F,交灰;于〃，此时△跳7D'的周长=威的长，然后证明△为W

是等腰直角三角形，砌的值最小时，腑的值最小，再根据垂线段最短可知，当BF与BJ童合

时，题的值最小，由此求解即可.

【解析】

解：①如图，过点力作力此理于〃

：.AAHB=AAH(=^°,

,：ZBAC=7^>°,ZC=Q0°,

：.ZB=180°-ABAC-Z<7=45°,ZHAC=30°

:.B生AH,HC=|T1C=2

,,AH=、AC?—HC?~2

:.AH=BH=2W，

：.BC=BHVCH=2^2,

：.SAABC=^BC'AH=^(2V3+2).百=6+26.

②如图，过点s作于/作点尸关于四的对称点必点尸关于理的对称点儿连接

BM,BN,BJ,MN,MN交AB于F,交BC于D,此时△殛7D'的周长=就的长.

'：BF=BM=BM,ZABM=AABJ,/CBJ=/CBN,

：.4MBN=2/ABC=90°,

△囱W是等腰直角三角形，

•••砌的值最小时，可的值最小，

根据垂线段最短可知，当"与"重合时，砌的值最小，

2SAABC_12+4V3

.•."V的最小值为员7=3^^+V6>

・•・△西的周长的最小值为3金+份.

故答案为：6+2g,3V2+V6.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，

垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

5.如图，在边长为4的正方形力M2内有一动点A且BP=^.连接四将线段空绕点夕逆

时针旋转90°得到线段内连接徵DQ,则9/修的最小值为

【答案】5

【分析】

连接必AQ,先证明△区W△力％得票;挈即四=2,在四上取力£=1,证明△的0

WEQ=^QD,故2Ms=砌々》绥求出6F即可.

【解析】

解：如图，连接44AQ,

•.•四边形力£切是正方形，气绕点尸逆时针旋转90°得到线段尸0,

：.ZACB=ZPCQ=^°,

AZBCP=AACQ,cos/ACB=^=丝,cosZPCQ=^=^,

ylc2QC2

/ACB=/PCO,

:.XBCPsXACQ,

•.•-A-Q=_y-[-2

BP2

"：BP=^Z，

：.AQ=2,

...0在以月为圆心，N0为半径的圆上,

在49上取力£=1,

,嚼=4—/QAE=/DAQ,

:.ZQAESXDAQ,

•嚼=抑国=加

：.^DQ^CQ=ENCgCE,

连接CE,

CE=7DE2+CD2=5,

孤？W的最小值为5.

故答案为：5.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关

键在于能够连接力乙AQ,证明两对相似三角形求解.

6.如图，皿BCD中，ZDAB=30°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小

值等于.

AB

【答案】6

【分析】

过点P作PELAD交AD的延长线于点E,根据四边形ABCD是平行四边形，得至UAB//CD,推出

PE=|PD,由此得到当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利

用NDAB=30°,ZAEP=90°,AB=6求出PB+PE的最小值=1AB=3,得到2PB+PD的最小值等于

6.

【解析】

过点P作PE±AD交AD的延长线于点E,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

，AB〃CD,

.\ZEDC=ZDAB=30°,

1

.,.PE=jPD,

V2PB+PD=2(PB+|PD)=2(PB+PE),

.•.当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，

VZDAB=30°,ZAEP=90°,AB=6,

APB+PE的最小值=|AB=3,

A2PB+PD的最小值等于6,

故答案为：6.

匕

【点睛】

此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为

三点共线的形式是解题的关键.

7.如图，在平面直角坐标系中，直线/分别交x、p轴于反。两点，点4C的坐标分别为

(3,0)、(0,-3),且/次方=60°,点夕是直线,上一动点，连接仍叫4P+苧PC的最小

值是

【分析】

作NOC沪120°,过点尸作尸6工。于点G,利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理

求得陷争C当尔P、G在同一直线时，阴苧除阴陷力G的值最小，再利用含30度角的

直角三角形的性质以及勾股定理即可求解.

【解析】

解：,点4C的坐标分别为(3,0)、(0,-3),

：.OA=3,0(=3,

作N06层120°,

•：/OCB=60°,

典\/0CB=//FCS,

过点尸作PG：四于点G,如图：

c(^-PC,由勾股定理得陷务C,

，2

：.AP^POA^PG,

2

当力、P、G在同一直线时，力上陷力G的值最小,

延长4G交y轴于点F,

'：ZFCG=&0°,ZCG/^9Q°,

：.ZCFG=3Q°,

:.C百2CG,GP^CF,

2

在欣△处尸中，ZA0^9Q°,N如4=30°,

:.A斤20A=6,01^^30A=3V3»

：.O^OI^O(=3y/3-3,

：.G唱(3V3-3)=|-竽，

：.AG=A/^FG=6_23V323V3,

2+2=2+2

即仍争仁的最小值为I+竽.

故答案为：汽渔.

【点睛】

本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，

得到当尔P、。在同一直线时，加喑陷ARP能加的值最小是解题的关键.

8.如图，直线尸x-3分别交x轴、y轴于反力两点，点C(0,1)在y轴上，点尸在x轴

上运动，则遮夕什必的最小值为一.

【答案】4

思路引领：过尸作如，惑于〃依据△力如是等腰直角三角形，可得N胡行N力及=45°=

ZBPD,进而得到△薇0是等腰直角三角形，故如二当阳，当C,P,〃在同一直线上时，

CD1AB,心功的最小值等于垂线段切的长，求得切的长，即可得出结论.

答案解析：如图所示，过户作于〃

,直线尸£-3分别交x轴、y轴于82两点，

令x=0,贝Uy=-3；令y=0,则x=3,

：.A(0,-3),B(3,0),

:・AO=BO=3,

又・.・//如=90°,

△力必是等腰直角三角形，

：.ZBAO=ZABO=45°=4BPD,

：.△应W是等腰直角三角形，

：.^2.PaPB=^2.（"+当心）=V2QPC+PD）,

当GP,〃在同一直线上，即々a力£时，通功的值最小，最小值等于垂线段切的长,

此时，△25是等腰直角三角形，

即爪49的最小值为2鱼，

，鱼尸田刃的最小值为鱼x272=4,

故答案为：4.

9.如图，矩形眼切中力6=3,BC=陋,£为线段相上一动点，连接阳则“£+"的最小

【答案】3

思路引领在射线四的下方作N例6=30°,过点£作£7,加于T,过点。作皿加于H.易

证£7=*£，推出/加欧=侬£72幽求出纺即可解决问题.

答案解析：•••四边形力时是矩形，

：.ZB=90°,

：.tanZCAB=—=^-,

AB3

：.ZCAB=3Q°,

：.AC=2BC=2^3,

在射线49的下方作/例6=30°,过点£作£7工力〃于T,过点。作幽L4/于H.

,：ETVAM,N£4T=3O°,

D

T'、、

9：ZCAH=60°,N或=90。,AC=2小

：.CH=AC-si^°=2V3x^=3,

^AE+EC=CE+ET^CH,

：.^AE+EC^3,

.,•9*欧的最小值为3,

故答案为3.

10.如图，四边形2版是菱形，AB=8,且N［优'=60°,〃为对角线加（不含方点）上任意

【分析】

如图，过点力作力7T6C于7,过点、M作MHLBC千H,根据菱形的性质和30°角的直角三角形

的性质可得肥/=也我于是可得4册3我的最小值即为NT的长，再利用解直角三角形的知识求

解即可.

【解析】

解：如图，过点力作”，理于。过点〃作的吐和于〃

•四边形力反力是菱形，/ABC=60°,

AADBC=^AABC=3Qa,

,：MHVBC,:./BHMS,

1

：.A^BM=AM^MH,

'：ATVBC,:./ATB=9Q°,

.\AT=AB,sir\QQ°=4g,

'：AT,

:.AM^M44W，

1

，血介那24班，

册例的最小值为4遮，

故答案为：4百.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识,

属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键.

11.ZAOB=30°,OM=2,〃为加上动点，求他+［勿的最小值.

【答案】V3

思路引领：作/BON=/AOB=30°,过点〃作此工加于点C,交加于点〃'，当此工加时,

（此时点）即为点切掰9+义勿=帆。的值最小，最小值是©/的长，

答案解析：如图，

作/B0N=/A0B=3G°,过点〃作必L卯于点C,交加于点〃，

所以当航工加时，（此时点）即为点切

物+1勿=帆切的值最小，最小值是的长，

...在班△(%¥中，Z0MC=3Q°,0M=2

：.CM=V3.

答：切的最小值为VI.

12.如图，在平面直角坐标系中，直线L：尸争十板和直线4：y=-gx+S相交于y轴上

的点B,且分别交X轴于点A和点C.

(1)求△力优1的面积；

(2)点£坐标为(5,0),点尸为直线,上一个动点，点夕为y轴上一个动点，求当露+6F

最小时，点〃的坐标，并求出此时用十孝。的最小值.

【答案】(1)SAAB(=2^3-,(2)点尸坐标为(1,竽)；/+孝利的最小值为呼+乎.

【分析】

(1)根据乙的解析式可得从£坐标，把点£坐标代入尸-gx+b可求出6值，进而可得

出点。坐标，即可求出力C、阳的长，利用三角形面积公式即可得答案；

(2)如图，作点。关于直线,的对称点C',连接E,交,于尸，根据"B、。坐标可得

△力比'是直角三角形，可得点C在直线人上，根据两点间距离公式可得出C坐标，可得

C£为露+6F的最小值，利用待定系数法可得出直线£的解析式，联立直线。£与《解

析式即可得出得尸的坐标；作二、四象限对角线4过点尸作尸于G交y轴于己可得

NG0M5°,可得陷*OP,可得产。为所+当8的最小值，过点尸作轴，交心于0,

可得△々的为等腰直角三角形，可得陷乌叔，由人的解析式为尸-x及点6的坐标可得点。坐

标，进而可得附的长，即可得咫的长，可得答案.

【解析】

(1),:L：y=¥x+V^，

当A=0时，y=V3>当尸0时，A=-3,

：.A(-3,0),B(0,V3))

，.,点1直线L-y=-gx+b上,

*'•b=y[3,

，直线/2的解析式为尸-Wx+W，

当7=0时，A=l,

(1,0),

：.A(=4,0代痘,

：.SAAB(^AC-OB=|x4xV3=2V3.

(2)如图，作点。关于直线4的对称点0,连接0E,交乙于修

'：A(-3,0),B(0,y/3),C(1,0),

：.Aff=(-3)-+(V3)2=12,BC=Y-+(V3)2=4,A^=4'-=16,

'：AC-=Aff+BC-,

...△N欧是直角三角形，

.•.点C在直线人上，

..•点。与点C'关于直线4的对称，

CC=204,

设点C(勿，-V3®+V3-)

)2+(-V3®+V3)2=42,

解得：0/7=-1,勿,=3,

•••点0在第二象限，

J7F-1,

-V3®+V3=2V3

•:FC=FC；

上EF+FC',

...当C、F、£三点共线时)+少的值最小，

设直线C£的解析式为尸Ax+4

-f—k+b=2V3

•'I5k+b=0'

k=—叵

解得:匕=遥，

3

直线£的解析式为y=—争+竽,

y=-受+竽

联立直线0£与乙解析式得

y=亨％+V3

'x=1

解得:

y叶

AF（L公）.

3

如图，作二、四象限对角线人，过点歹作用工人于G,交y轴于修过点6作园，x轴，交，

于Q,

直线的解析式为尸-右/GO六45°,

.•.△aw是等腰直角三角形，

：.PG^HOP,

2

:.G、P、6三点共线时，阳+孝。的值最小，最小值为用的长,

■：/G0六45°,N尸修90°,

，N成份45°,

.•.N阀345°,

.•.△我笫是等腰直角三角形，

:.F代FQ,

2

VFCL竽)，直线人的解析式为产，，

.•.0(1,-1),

：.FQ=^H-(-1)

33

陷幻0返X(±^+1)=亚+正，

22332

本题考查一次函数的综合、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线,

熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质是解题关键.

13.如图，矩形O4BC的顶点2、C分别在％、y轴的正半轴上，点B的坐标为(2①4),一次函数

y=一争+5的图象与边。C、AB、X轴分别交于点。、E、F,2。/。=30。,并且满足。D=BE,

点M是线段DF上的一个动点.

(1)求匕的值；

(2)连接。M,若/ODM的面积与四边形。2EM的面积之比为1:3,求点M的坐标；

(3)求。M+^MF的最小值.

【答案】(1)b=3；(2)(3)|

【分析】

(1)利用矩形的性质，用b表示点E的坐标，再利用待定系数法即可求解；

(2)首先求出四边形(MED的面积，再根据条件求出aODM的面积，即可解决问题；

(3)过点M作MN_L%轴交于点N,则。M+2MF=OM+MN,即可转化为求。M+MN的最小

值，作点。关于一次函数的对称点O,过点。，作X轴的垂线交%轴于点M,交一次函数于点M,

即。M+MN的最小值为。W，，算出长度即可.

【解析】

(1)在)/=一冷％+b中，令％=0,则y=b,

•••点D的坐标为(0力),

OD=BE,B(2V3,4)-

.­•EQMA-b),

把E(2低4-b)代入y=—净%+b中得：4-b=-^x2V3+&-

解得：b=3；

(2)由⑴得一次函数为y=一争+3,£)(0,3),£,(273,1)，

・•.0D=3,AE=1,0A=2^3，

・•・S四边形OADE-次。。+也.。2="X(3+1)x=4存

•・•/ODM的面积与四边形。2EM的面积之比为1:3,

・・•/ODM的面积与四边形O4DE的面积之比为1:4,

S&ODM~四边形0ADE—V3>

设点M的横坐标为a,则"3。=后

解得：。=竽，

把％=竽代入、=一当为+3中得：y=

•••时(竽,9;

如图所示，过点M作MN1%轴交于点N,

•••Z.DFO=30°,

MN/MF,

1

OM+^MFOM+MN,

作点。关于一次函数的对称点。,且〃。'与直线）7交于。点，过点O作久轴的垂线交%轴于点

N',

OM-O'M,

OM+=OM+MN=O'M+MN,

当O、M、N在同一直线时OM+MN最小，

即。M+2MF=0M+MN=O'M+MN的最小值为。

•••乙DFO=30°,

ZODF=60°,^DOQ=30°,NO'OM=90°—30°=60°,

在RtaOOQ中，0Q=。。-sin60°=3x苧=竽，

00'—20Q-3遥，

在Rt△ONO中.O'N'=。。6也60°=3ax立=J

22

...OM+aMF的最小值为，

【点睛】

本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角

形以及胡不归问题，属于中考压轴题.

14.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+"+c的图象经过点力（-1,0）,B（0,

-V3）＞C（2,0）,其对称轴与x轴交于点〃

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）点〃为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点儿使得以4B,M,"为顶点的

四边形为菱形，求点〃的坐标；

（3）若夕为y轴上的一个动点，连接加，求处的最小值.

【答案】（1）T鱼-92-竽，-竽）；（2）（i,孕或（1,—¥）或（1,-V3+

2，8N8，2N2N

巫）或（，一取一叵）或（/一隹）；（3）巫

2/2Z64

思路引领：（1）将从B、。三点的坐标代入尸a/+6x+c,利用待定系数法即可求出二次函数

的表达式，进而得到其顶点坐标；

（2）当以4B,M,"为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以力为圆心26为半径画弧

与对称轴有两个交点，此时4/=48②以方为圆心为半径画弧与对称轴有两个交点，此时

BM=AB；③线段力方的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时4/=幽分别列出方程，求解即

可；

（3）连接力£,作DH1AB于H,交如于尸，此时白济外最小.最小值就是线段应，求出血

即可.

a—b+c=0

答案解析：（1）由题意c=-V3,解得

4。+2b+c=0

•••抛物线解析式为y=争二争—W，

,:y=』—叵xf=叵（X，）2—"

22v228

...顶点坐标（，一竽）；

（2）设点〃的坐标为弓，y）.

,：A（-1,0）,B（0,-V3）-

，册=]+3=4.

①以力为圆心力£为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM=AB,

则4+1）2+尸=4,解得尸土?，

即此时点〃的坐标为4，g）或《，一写）；

②以方为圆心力笈为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM=AB,

则0）2+（y+V3）2=4,解得_7=—再+半或旷=一百一半

即此时点〃的坐标为（，一班+华）或（］一板—字）；

③线段4方的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM=BM,

则弓+1）2+必=（1）2+（y+V3）2,解得y=—洛

N/6

即此时点〃的坐标为"，一半）.

乙6

综上所述，满足条件的点〃的坐标为号约或弓，一马或（1,—6+字）或

乙N乙N乙N乙

—四一字）或（1,一号）；

LN6

（3）如图，连接阳作朗，居于〃交0B于P,止匕时也济外最小.

1

：.PH=^PB,

：.^PB^PD=PH^PD=DH,

，此时全济电（最短（垂线段最短）.

在中，•：/AHD=90°,AD=§/物〃=60°,

•,「八。DH

..sin60=—）

：.DH=旭,

4

.•.切外物的最小值为乎.

15.在平面直角坐标系中，将二次函数y=a%2（a>o）的图象向右平移1个单位，再向下平移2

个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与%轴交于点4B（点4在点B的左侧），。4=1,

经过点4的一次函数y-kx+b（k丰0）的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点

为D,44BD的面积为5.

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求44CE面积的最大值，并求出此时点E的坐标

(3)若点P为久轴上任意一点，在⑵的结论下，求PE+/2的最小值.

【答案】⑴y=#T—|；y=1x+|；(2)/"E的面积最大值是此时E点坐标为G，—同；

(3)PE+|PZ的最小值是3.

【分析】

(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点4(-1,0)代入可求得a的值，由的面积为5可

求出点。的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由4。的坐标可利用待定系数法求出一

次函数解析式；

⑵作EM||y轴交2D于M,如图，利用三角形面积公式，由=S/ME—S^CME构建关于£

点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题；

(3)作E关于%轴的对称点F,过点F作于点”，交%轴于点P,贝【」

乙BAE=LHAP=LHFE,利用锐角三角函数的定义可得出EP+|aP=FP+HP,此时FH最小,

求出最小值即可.

【解析】

解：(1)将二次函数y=a/(a>0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛

物线解析式为y=a(x—l)2-2,

'：OA=I,...点z的坐标为(一1,0),

代入抛物线的解析式得，4a-2=0,/.a=i

•••抛物线的解析式为y=|(%一1尸一2,即y=1%2—x-1.

令y=0,解得％i=—1,无2=3,AB(3,0),

：.AB=OA+OB=4,

•.•/ZBD的面积为5,：.SAABD=^AB-yD^S,：.yD=1,

代入抛物线解析式得，|=解得巧=—2,久2=4,...D(4,|),

设直线的解析式为y=kx+b,

4k+b=l,解得:

—k+b=0

**•直线力D的解析式为y=暴+,

(2)过点E作EM||y轴交2D于M,如图，设E(a[a2—a—|),则M(a[a+9，

111c31o3

.\EM=-a+---a2+Q+万=--a2+-a+2,

•・•S/ZCE=S/ZME-='|xEM・l='|(—!a2+|a+2)xl=一3小—3a—4),=—[

(a」)?+得

\2/16

.•.当a=|时，/ZCE的面积有最大值，最大值是此时E点坐标为同.

(3)作E关于%轴的对称点尸，连接EF交%轴于点G,过点F作FH12E于点H,交X轴于点P,

•.•£1(1，一豹，071=1,

9O

：2LAGE=^AHP=909

PHEG,：.PH=^AP

/.sinz.EAG=

APAE

：E、F关于％轴对称，：.PE=PF,

：.PE+"P=FP+HP=FH,此时FH最小,

,乙AEG=LHEF,

AGFH4

sin^AEG=sinzHEF=—=—=7

AEEF5

.”后+至4的最小值是3.

主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判

定与性质、锐角三角函数的有关计算和利用对称的性质求最值问题.解(1)题的关键是熟练

掌握待定系数法和相关点的坐标的求解；解(2)题的关键是灵活应用二次函数的性质求解；

解(3)题的关键是作E关于％轴的对称点F,灵活应用对称的性质和锐角三角函数的知识，学

会利用数形结合的思想和转化的数学思想把求PE+/M的最小值转化为求的长度.

16.已知抛物线y=a/+c(aA0)过点4(1,0),B⑶0)两点，与p轴交于点C,OC

=3.

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

⑵过点力作垂足为例求证：四边形4W为正方形；

(3)点刀为抛物线在直线欧下方图形上的一动点，当/PBC面积最大时，求点夕的坐标；

⑷若点。为线段%上的一动点，问：ZQ+^QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值;

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)抛物线的表达式为：y=x2-4x+3,顶点。(2,—1)；⑵证明见解析；⑶点P(|

,-J);(4)存在，ZQ+^QC的最小值为苧.

【分析】

(1)设交点式丫=a(x—l)(x-3),利用待定系数法进行求解即可；

(2)先证明四边形ADBM为菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证；

(3)先求出直线BC的解析式，过点P作y轴的平行线交BC于点N,设点P(x,x2—4x+3),则点

N(x,-x+3),根据5寸1^=》咽*013可得关于*的二次函数，继而根据二次函数的性质进行求

解即可；

(4)存在，如图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CF交x轴于点F,过点A作AH1CF,垂足

为H,交y轴于点Q,此时HQ=g,则AQ+如最小值=AQ+HQ=AH,求出直线HC、AH的解析

式即可求得H点坐标，进行求得AH的长即可得答案.

【解析】

解:(1)函数的表达式为:y=a(x—l)(x—3)=a(x2—4x+3),

即：3a=3,解得:a=l,

故抛物线的表达式为：y=x2—4X+3,

则顶点D(2,-1)；

(2)0B=0C=3,ZOBC=ZOCB=45°,

VA(1,O),B(3,0),/.0B=3,OA=L

：.AB=2,

...AM=MB=ABsin45°=丘,

又..力(2,-1),

AD=BD=7(2-1)2+(-1-0)2=VL

.\AM=MB=AD=BD,

四边形ADBM为菱形，

又•."AMB=90°,

•••菱形ADBM为正方形；

(3)设直线BC的解析式为y=mx+n,

将点B、C的坐标代入得：°，

解得：｛彳量A

所以直线BC的表达式为：y=-x+3,

过点P作y轴的平行线交BC于点N,

设点P(x,x2—4x+3),则点N(x,—x+3)>

则SAPBC=gPNxOB=|-(—x+3—x2+4x-3)=—1(x2—3x),

故SAPBC有最大值,此时x=5,

故点P(|,_6；

(4)存在，理由:

如图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CF交x轴于点F,过点A作AH1CF,垂足为H,交y

轴于点Q,

此时HQ=3CQ，

贝I)AQ+|QC最小值=AQ+HQ=AH,

在RtACOF中，ZC0F=90°,ZF0C=30°,0C=3,tanZFC0=1^,

•••0F=®

.*.F(-V3,0),

利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：y=V3x+3…①，

VZC0F=90°,ZF0C=30°,

r.ZCF0=90°-30°=60°,

VZAHF=90°,

.\ZFAH=90°-60°=30°,

.*.0Q=A0«tanZFAQ=^,

••.Q(0,争，

利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：y=一当x+亨…②,

联立①②并解得：x=上衿，

故点H(1-泮3丁),而点A(l,0),

贝UAH=J12+6V?_3+e

42

即AQ+娅的最小值为AH=芍旦

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，解直角三角形的应用，正方形的判定，最

值问题等，综合性较强，有一定的难度，正确把握相关知识，会添加常用辅助线是解题的关键.

17.已知抛物线y=/-5%+。Qb,c为常数，b>0）经过点4（一1,0）,点是%轴正半

轴上的动点.

（I）当匕=2时，求抛物线的顶点坐标；

（II）点。（"力）在抛物线上，当AM=2。，m=5时，求b的值；

（HI）点Q（b+另Q）在抛物线上，当岳1M+2QM的最小值为生/时，求5的值.

【答案】（I）（1,一4）；（II）b=3V2-l;（HI）b=4.

【分析】

（I）把b=2和点4（一1,0）代入抛物线的解析式，求出c的值，进行配方即可得出顶点坐标

（II）根据点4（一1,0）和）点。（丽⑦）在抛物线上和b>0得出点DS，—b—1）在第四象限，且

在抛物线对称轴％=2的右侧.过点。作DEJ.%轴，垂足为E,则点E(b,O),再根据D、E两点坐

标得出AADE为等腰直角三角形，得出例E,再根据已知条件AM=4),m=5,从而求

出b的值

(III)根据点QS+^Q)在抛物线上得出点Q(b+J—卜》在第四象限，且在直线％=匕的右

侧；取点N(O,1),过点Q作直线4V的垂线，垂足为G,QG与%轴相交于点M,得出争1M=GM,

此时"4M+2QM的值最小；过点Q作QH_Lx轴于点H,则点”(b+，)).再根据QH=MH得出

m与b的关系，然后根据两点间的距离公式和

&AM+2QM的最小值为甲，列出关于b的方成即可

【解析】

解：(I),••抛物线y=7—力%+。经过点4(—i,o),

1+b+c=0.即c=—b—1.

当匕=2时，y=/—2%—3=(%—I)2—4,

J抛物线的顶点坐标为(L—4).

(II)由(I)知，抛射线的解析式为y=/—bx—力―1.

•・•点0(/\)力)在抛物线y=x2—bx—b—1上，

2

/.yD=b—b-b—b—l=-b—1.

由b>0,得b>万>0,—b—1<0,

.•.点D(b,—b—1)在第四象限，且在抛物线对称轴％=g的右侧.

如图，过点。作DE1%轴，垂足为E,则点E(b,0).

：.AE=b+l,DE=b+l.得AE=DE.

.•.在Rt/ZDE中，^ADE=^DAE=45°.

：.AD=yplAE.

由已知AM=AD,m=5,

.,•5-(-l)=V2(b+l).

:.b=3^2—1.

(III),点Q(b+抄Q)在抛物线y=x2—bx—b—1上,

"(2=(5+：)—b(b+1)-b-l=-1-1.

可知点Q(b+]—5—6在第四象限，且在直线％=b的右侧.

NN4

考虑到+2QM=2(争4M+QM